1、Wiener 濾波器的設計及Matlab 仿真實現1.實驗原理在許多實際應用中,人們往往無法直接獲得所需的有用信號,能夠得到的是退化了或失真了的有用信號。例如,在傳輸或測量信號s(n時,由于存在信道噪聲或測量噪聲v(n,接受或測量到的數據x(n將與s(n不同。為了從x(n中提取或恢復原始信號s(n,需要設計一種濾波器,對x(n進行濾波,使它的輸出y(n盡可能逼近s(n,成為s(n的最佳估計,即y(n = (n s。這種濾波器成為最優濾波器。 Wiener 濾波器是“理想”意義上的最優濾波器,有一個期望響應d(n,濾波器系數的設計準則是使濾波器的輸出y(n(也常用(n d表示是均方意義上對期望響

2、應的最優線性估計。Wiener 濾波器的目的是求最優濾波系數,1,0,1, k o o o o w w w w w -=,從而使(22n dn d E n e E n J -=最小。 通過正交性原理,導出(k r k i r wxd xi oi -=-=, 2,1,0,1,-=k該式稱為Wiener-Hopf 方程,解此方程,可得最優權系數,2,1,0,1, -=i w oi 。Wiener-Hopf 方程的矩陣形式為xd o x r w R =,解方程求得xd x o r R w 1-=2.設計思路下面我們通過具體的例子來說明Wiener 濾波器的設計方法:考慮如下圖所示的簡單通信系統。其中

3、,產生信號S(n所用的模型為95.01/(1(11-+=z z H ,激勵信號為3.0,0(WGN n w 。信號s(n通過系統函數為85.01/(1(12-=z z H 的信道,并被加性噪聲1.0,0(WGN n v 干擾,v(n與w(n不相關。確定階數M=2的最優FIR 濾波器,以從接收到的信號x(n = z(n + v(n中盡可能恢復發送信號s(n,并用MATLAB 進行仿真。H1(zH2(z最優濾波器w(ns(nz(nx(ny(ne(nd(nv(n-信道解:s (n 是一個AR (1過程,在x (n = z (n + v (n 中,z (n 是一個二階AR(2過程。 由于白噪聲產生z

4、(n 的系統函數相當于H (z = H1(z H2(z ,因此21118.01.0185.01(95.01(-+=-+=z z z z z A 。二階AR (2過程的參數1.01,2=a ,8.02,2-=a ,方差3.02W =。由二階AR (2參數可以確定(r z k ,由Yule-Walker 方程0(1(1(0(z z z z r r r r -=2(1(2,21,2z z r r a a ,以及AR 模型的方差表達式2(1(0(2,21,22w z z z r a r a r +=,反解1(,0(z z r r 得,9101.08.01(3.08.018.011(110(2221,2

5、22,222,22,2=-+-=-+-+=a a a a r wz 9510(1(2,21,2-=+-=a r a r z z由此確定z (n 的自相關矩陣為-=9109595910z R 進而有21.156.056.021.11.0100191095959102-=+-=+=I R R v z x 期望響應d (n = s (n ,接下來,求(k r xd -。 因為(n d k n x E k r xd -=-把(1(85.0(n d n z n z =-和(n v n z n x +=代入上式,得1(85.0(-=-k r k r k r z z xd故58.11(85.00(0(=-=

6、z z xd r r r50.10(85.01(1(-=-=-z z xd r r r從而有-=50.158.1xd r ,將此式帶入Wiener-Hopf 方程解得最優權系數為-=-8656.09052.01xd x o r R w 3.實驗源碼MATLAB 仿真實現該維納濾波器的程序: % Generate signal s(n N = 64;w = sqrt(0.3*randn(N,1; A1 = 1 0.95;s = filter(1, A1, w; d=s;% Transmit and add a noise A2 = 1 -0.85;z = filter(1, A2, s;v =

7、sqrt(0.1*randn(N,1; x = z + v;% Wiener Filteringy = filter(0.9052 -0.8656, 1, x;% plot the waveforms n = 0 : N-1; subplot(211;plot(n, d, 'b-x', n, x, 'r-o'legend('d(n', 'x(n' axis tight ; ylabel('Amplitude' xlabel('Time (n'title('Desired Response /

8、 Input Signal' subplot(212;plot(n, d, 'b-x', n, y, 'r-o'legend('d(n', 'y(n' axis tight ; ylabel('Amplitude' xlabel('Time (n'title('Desired Response / Output Signal'4.仿真結果及分析仿真結果如圖所示: 從圖中可明顯看出,y(n比x(n更接近于d(n,維納濾波器從接收到的信號x(n = z(n + v(n中盡可能地恢復出了發送信號s(n。5.實驗結論維納濾波器的設計目標是使濾波器誤差平方的集平均(期望值最小,在平穩并各態歷經的條件下,相當于