1、第七章 應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析第一節(jié) 概 述在第一章中將應(yīng)力定義為內(nèi)力的集度或單位面積的內(nèi)力值。應(yīng)力又分正應(yīng)力和剪應(yīng)力兩種。前面各章的知識(shí)表明，受力桿件中任一點(diǎn)的應(yīng)力是隨截面位置及點(diǎn)的位置的不同而不同，如7-1（a）中a、b兩點(diǎn)分別在兩個(gè)截面上，其應(yīng)力是不同的。同一截面上的各點(diǎn)，如圖7-1（b）中b、c兩點(diǎn)的應(yīng)力一般情況下也是不同的。同一點(diǎn)不同方向的應(yīng)力也是不同的。過一點(diǎn)各個(gè)方向上的應(yīng)力情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力狀態(tài)分析就是要研究桿件中某一點(diǎn)（特別是危險(xiǎn)點(diǎn)）各個(gè)方向上的應(yīng)力之間的關(guān)系，確定該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力，為強(qiáng)度計(jì)算提供重要依據(jù)。研究應(yīng)力狀態(tài)的方法是過桿件中的任一點(diǎn)取出一個(gè)微小

2、的六面體單元體。如圖7-1（a）中過a點(diǎn)取出的單元體放大如圖7-2所示。單元體三個(gè)方向的邊長很小且趨于零，則該單元體代表一點(diǎn)，即a點(diǎn)，互相平行的平面上的正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力也相等。桿件在任意荷載作用下，從中所取出的單元體表面上一般既有正應(yīng)為又有剪應(yīng)力，如圖7-2所示。當(dāng)圖7-2所示的單元體各面上的即六個(gè)面上均沒有剪應(yīng)力作用時(shí)，這種面叫做特殊平面，并定義為主平面。該主平面上作用的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，用表示（），如圖7-3所示。各面均為主平面的單元體，稱為主單元體。三個(gè)主應(yīng)力中若有兩個(gè)等于零一個(gè)不等于零，該單元體稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-4（a）；三個(gè)主應(yīng)力中有一個(gè)等于零，兩個(gè)不等于零，該單元體稱為二

3、向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-4（b）；三個(gè)主應(yīng)力均不等于零，該單元體稱為三向應(yīng)力狀態(tài)，如7-3。單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)屬平面應(yīng)力狀態(tài)，三向應(yīng)力狀態(tài)屬空間應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向三向應(yīng)力狀態(tài)又稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。若從受力桿件中取出的單元體（如圖7-5）各面都沒有正應(yīng)力，而單元體承受側(cè)面（abba）上分布的剪應(yīng)力作用，為了滿足的平衡條件，則在另一個(gè)側(cè)面（cddc）上必須作用有大小相等且方向相反的剪應(yīng)力，但是這一對(duì)剪應(yīng)力的合力組成一個(gè)力偶，對(duì)軸z會(huì)產(chǎn)生力偶矩，那么，上、下兩個(gè)平面(acca, bddb）上也應(yīng)有剪應(yīng)力組成一個(gè)對(duì)z軸的力偶矩，以保持單元體的平衡，并且由推導(dǎo)可得。這就表明

4、，在互相垂直的二平面上的剪應(yīng)力的數(shù)值相等，且都指向（或背離）該二平面的交線。這就是在第三章中介紹的剪應(yīng)力互等定理。圖7-5所示的單元體的應(yīng)力狀態(tài)叫純剪應(yīng)力狀態(tài)。剪應(yīng)力互等定理不僅對(duì)于純剪應(yīng)力狀態(tài)的單元體是成立的，而且對(duì)于既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力作用的單元體是成立的，因此，圖7-2上的各剪應(yīng)力有的關(guān)系。本章主要研究二向應(yīng)力狀態(tài)下任意斜截面上的應(yīng)力；最大正應(yīng)力及作用平面方向；最大剪應(yīng)力及作用平面方向；平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)變分析；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系。這些都是桿件強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)，也是實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析的基礎(chǔ)。第二節(jié) 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析（解析法）圖7-6（a）所示的單元體是二向應(yīng)力狀態(tài)下的一般單元體

5、，因?yàn)橛幸粚?duì)平面為主平面，而且主平面上的主應(yīng)力等于零，屬二向應(yīng)力狀態(tài)，也屬平面問題，可以用平面圖7-6（b）來表示。均已知，以受拉為正，以使研究對(duì)象繞另一端作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正。2.1 斜截面上的應(yīng)力任意截面ef的外法線與作用面的外法線之間的夾角為（逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)），該斜截面上一般有兩個(gè)應(yīng)力，即正應(yīng)力和剪應(yīng)力。我們可以用截面法來求。取出ebf部分為為研究對(duì)象（如圖7-6（c），假設(shè)ef面的面積為dA，則eb面的面積為,bf面的面積為。選擇nOt軸。由可得即 （a）代入以下的三角函數(shù)關(guān)系：可得 （7-2-1） 由，整理后可得 （7-2-2）由式（7-2-1）、（7-2-2）可以求出二

6、向應(yīng)力狀態(tài)下任一斜截面上的應(yīng)力。2.2 主應(yīng)力、及作用平面方向由式（7-2-1）、（7-2-2）可以看出，因都是已知常量，故和均為的函數(shù)，用求極值的方法求的極值以及它們所在截面位置。由可得即 （b）但由式（7-2-2）知即有 式（b）說明，在剪應(yīng)力的平面上，正應(yīng)力是極值，即它比單元體上任何其它截面上的正應(yīng)力都要大（或都要小）。在第一節(jié)中已經(jīng)提到，我們通常把這種剪應(yīng)力等于零的平面叫主平面，而把作用在主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力。因此最大最小正應(yīng)力也叫主應(yīng)力。將式（b）進(jìn)一步簡化為若用表示主平面的外法線與x軸之間的夾角，并代入上式，即可得到 （7-2-3）由式（7-2-3）可確定主平面的位置，其中的

7、有兩個(gè)根。因，說明和都滿足式（7-2-3），即處于二向應(yīng)力狀態(tài)的單元體上有兩個(gè)主平面，且是互相垂直的。下面推導(dǎo)計(jì)算主應(yīng)力數(shù)值的公式。將和的值代入式（7-2-1）得到、值，經(jīng)過化簡后得 （7-2-4）式（7-2-4）是計(jì)算主應(yīng)力數(shù)值的公式。顯然，在二向應(yīng)力狀態(tài)下求得的這兩個(gè)主應(yīng)力和是分別作用在二互相垂直的主平面上。至于是作用在二個(gè)主平面的哪一個(gè)主平面上，是作用在哪一個(gè)主平面上，還必須進(jìn)一步判斷，才能確定每個(gè)主應(yīng)力的具體方向。確定主應(yīng)力具體方向的方法很多，這里我們介紹其中的一種。由式（7-2-3）可看出，的極限是（相應(yīng)于），即總是小于或等于90°，因此總是小于或等于45°的銳角

8、，即由確定方向的那個(gè)主應(yīng)力總是偏向于和中的較大者，較小的主應(yīng)力偏向于和中的較小者，因此，我們歸納出確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下：當(dāng)時(shí)，是與之間的夾角；當(dāng)時(shí)，是與（或）之間的夾角；當(dāng)時(shí)，主應(yīng)力的方向可由單元體上的應(yīng)力情況直觀判斷出來。將式（7-2-4）中包含的二式相加，可得到如下的關(guān)系 （7-2-5）式（7-2-5）說明在與同一主平面垂直的所有截面中，任意二互相垂直的截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù)。利用這一關(guān)系可檢查主應(yīng)力的計(jì)算結(jié)果是否正確，實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中有時(shí)也會(huì)用到它。2.3 、 及作用平面的方向欲求、的值，對(duì)求導(dǎo)并令其為零。即 （c）若用表示最大剪應(yīng)力所在平面的外法線n與x軸之間的夾角，則由式（c

9、）得出 (7-2-6)式（7-2-6）可以解出兩個(gè)角度，即和，從而確定兩個(gè)互相垂直的平面，分別作用著最大和最小剪應(yīng)力。有時(shí)也將最大剪應(yīng)力及最小剪應(yīng)力稱為主剪應(yīng)力。將式（7-2-6）與式（7-2-3）比較，可知即 或 （d）這說明最大剪應(yīng)力所在平面與主平面相交成45°角。求的值可以將的值代入式（7-2-2），進(jìn)行化簡后得最大和最小剪應(yīng)力的值 （7-2-7）將式（7-2-7）與式（7-2-4）比較，可見最大、最小剪應(yīng)力與主應(yīng)力在數(shù)值上的關(guān)系是單元體上最大、最小剪應(yīng)力的數(shù)值等于最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力之差的一半。當(dāng)單元體的三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值排列是時(shí)，最大、最小剪應(yīng)力的計(jì)算公式應(yīng)為 （7-2-

10、8）例題7-1 圖7-7（a）所示單元體，試用解析法求時(shí)斜截面上的應(yīng)力，主應(yīng)力大小及主平面方向，最大、最小剪應(yīng)力及作用平面方向。解 （1）利用公式（7-2-1）、（7-2-2）求斜截面上的應(yīng)力 （2）利用公式（7-2-3）、（7-2-4）求主平面方向及主應(yīng)力大小。 由于還有一個(gè)主應(yīng)力為零（二向應(yīng)力狀態(tài)），且主應(yīng)力應(yīng)按代數(shù)值排列。三個(gè)主應(yīng)力正確的排列應(yīng)為 根據(jù)確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則可知，應(yīng)該是之間的夾角為，與之間的夾角也為。見圖7-7（b）。（3）由式（d）及式（7-2-8）可得到最大、最小剪應(yīng)力的值及其作用平面或最大、最小剪應(yīng)力分別作用在和的平面上，剪應(yīng)力的方向可以由單元體的主應(yīng)力的箭頭直觀

11、判斷，如圖7-7（b）所示。2.4 二向應(yīng)力狀態(tài)的兩個(gè)特例（1）當(dāng)圖示7-6（a）單元體的時(shí)，即為單向應(yīng)力狀態(tài)（如圖7-4（a），式（7-2-1）、（7-2-2）化簡為下式 （7-2-9）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)圖示7-6（a）單元體的，即為純剪應(yīng)力狀態(tài)（如圖7-5）式（7-2-1）、（7-2-2）化簡為 （7-2-10）第三節(jié) 二向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析（圖解法）若對(duì)式（7-2-1）作如下的變動(dòng)并將上式及式（7-2-2）的等號(hào)兩邊分別平方相加，即可得到 （7-3-1）圖7-8（a）所示的單元體，、都是已知量，故式（7-3-1）中等號(hào)的右端為一常量。由解析幾何知識(shí)可知，式（7-3-1）為一圓方程。若

12、取直角坐標(biāo)系并以橫軸為軸，縱軸為軸，則式（7-3-1）所代表的圓的圓心在軸上，且離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為；圓的半徑為。我們把這種圓叫做應(yīng)力圓或莫爾（O.Mohr）圓。下面介紹怎樣根據(jù)已知單元體上的、作出應(yīng)力圓，以及怎樣應(yīng)用應(yīng)力圓求單元體任意斜截面上的應(yīng)力、，最大、最小正應(yīng)力及作用平面方向，最大、最小剪應(yīng)力及作用平面方向。取直角坐標(biāo)系，并以橫坐標(biāo)代表（向右為正），以縱坐標(biāo)代表（向上為正）。在坐標(biāo)軸上按比例量取，得到點(diǎn)D1；量得到點(diǎn)。作直線連接、并與軸交于C點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，為直徑作一圓，如圖7-8（b）所示。它就是表示圖7-8（a）所示單元體的二向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓。作出的應(yīng)力圓應(yīng)滿足式（7-3-1）證

13、明如下：圓心C在軸上，故此圓的圓心到原點(diǎn)O的距離為。在直角三角形CA1D1中，因，故，即為圓的半徑。它們都滿足式（7-3-1）利用應(yīng)力圓可求得單元體任意斜截面上的應(yīng)力。例如我們要求圖7-8（a）所示單元體的任意斜面截ef(它的外向法線和作用面的外法線間的夾角為)上的應(yīng)力和。從式（7-2-1）和（7-2-2）可以看出，和都隨2的正弦和余弦而變。故當(dāng)單元體與斜截面的角度為時(shí)，在應(yīng)力圓中應(yīng)從D1（，）開始，按單元體上的轉(zhuǎn)動(dòng)方向量一弧長，并使其所對(duì)應(yīng)的圓心角為2，在圓弧上得到點(diǎn)E，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)就分別代表ef面上的和。證明如下：上式右邊部分與式（7-2-1）的右邊部分完全相同，即。同時(shí)可以證明。

14、故應(yīng)力圓圓周上點(diǎn)E的坐標(biāo)即代表ef斜截面上的應(yīng)力情況。以上分析表明，表示應(yīng)力狀態(tài)的單元體面上的應(yīng)力和應(yīng)力圓圓周上的點(diǎn)有著相互的對(duì)應(yīng)關(guān)系，單元體上二截面的外向法線夾角為時(shí)，則在應(yīng)力圓上與此二截面相對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為2，且它們的轉(zhuǎn)向相同。應(yīng)力圓圓周上各點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)代表著單元體相應(yīng)面上的應(yīng)力。應(yīng)力圓圓周上橫坐標(biāo)最大的點(diǎn)為A點(diǎn)，最小的點(diǎn)為B點(diǎn)，所以且A、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零（即）因此。證明如下它和解析法得到的式（7-2-4）相同。另外，我們也可由圖7-8（b）求得主應(yīng)力的方向。因D1CA為與所夾的角的兩倍（即），而由D1轉(zhuǎn)至A是順時(shí)針轉(zhuǎn)角，故應(yīng)為負(fù)值。據(jù)此，我們只要在單元體上，自的方向

15、按順時(shí)針轉(zhuǎn)向量一角度就可得到主應(yīng)力的方向，的方向則與的方向垂直，如圖7-8（c）中所示。證明如下：由圖7-8（b）可以看出即 它和公式（7-2-3）完全相同。為了避免量角，也可用另一種方法得到的方向。如圖7-8（b）所示，由點(diǎn)（其坐標(biāo)表示外法線為x軸的面上的應(yīng)力）作垂直于軸的直線與圓周交于另一點(diǎn)K，連BK線（從幾何關(guān)系容易證明ABK=），在單元體上作與BK線平行的線，即為的方向線，至于表示方向的箭頭則由的正負(fù)號(hào)來決定。通常我們把點(diǎn)K叫做主點(diǎn)，把上面這種求主應(yīng)力方向的圖解法叫做主點(diǎn)法。圖7-8（b）所示的應(yīng)力圓上縱坐標(biāo)最大的點(diǎn)為點(diǎn)，最小的點(diǎn)為點(diǎn),即,。證明如下：即最大、最小剪應(yīng)力的數(shù)值等于應(yīng)力圓

16、的半徑，它的方向與主平面的方向在單元體上成45°角（因?yàn)閼?yīng)力圓上CD與CA之間的夾角是90°）。例7-2 圖7-7（a）所示單元體，試用應(yīng)力圓求時(shí)斜截面上的應(yīng)力，最大正應(yīng)力及作用面方向，最大剪應(yīng)力及作用面方向。解 作應(yīng)力圓按比例尺量 D1 D2連D1 D2直線交軸于點(diǎn)C，以C為圓心D1 D2為直徑作圓，該圓即為單元體的應(yīng)力圓。如圖7-9。從應(yīng)力圓的點(diǎn)D1起按單元體上的轉(zhuǎn)動(dòng)方向在應(yīng)力圓上量D1E弧所對(duì)應(yīng)的中心角等于，圓周上E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)。圓周上橫坐標(biāo)最大的點(diǎn)是A點(diǎn)，最小的點(diǎn)是B點(diǎn)，則：過D1點(diǎn)在垂直方向上作延長線交圓周于另一點(diǎn)K，連BK直線，即為的方向線，的方向與垂直。

17、最大、最小剪應(yīng)力即為應(yīng)力圓的半徑。，作用平面與主平面成45°的夾角。例7-3 圖7-10（a）所示單元體為純剪應(yīng)力狀態(tài)，若剪應(yīng)力試用應(yīng)力圓求其主應(yīng)力的數(shù)值和方向。解 作應(yīng)力圓，由，在坐標(biāo)系中作出點(diǎn)D1。由，在坐標(biāo)系中作出點(diǎn)D2。連D1D2交軸于C點(diǎn)（與坐標(biāo)原點(diǎn)重合），以點(diǎn)C為圓心D1D2為直徑作圓，即為純剪應(yīng)力狀態(tài)單元體的應(yīng)力圓。如圖7-10（b）所示。在應(yīng)力圓（如圖7-10（b）上可直接量得主應(yīng)力的大小為；從D1點(diǎn)在垂直方向上作延長線交圓周于另一點(diǎn)K，連BK直線，即為的方向線，從單元體上作BK的平行線，即得的方向，的方向與垂直。第四節(jié) 梁的應(yīng)力狀態(tài)分析、主應(yīng)力軌跡線4.1 梁的應(yīng)力

18、狀態(tài)分析若從圖7-11（a）所示的梁中某一截面上的某一點(diǎn)K取出單元體如圖7-11（b）所示。點(diǎn)K所在的截面位置及點(diǎn)K到中性層的距離均為已知，則K單元體上的應(yīng)力可以用式（7-1-2）和式（7-3-2）分別求出，。因?yàn)榱嚎v向截面上的正應(yīng)力忽略不計(jì)（互不擠壓，因此），而梁前后兩個(gè)面（即紙平面）為自由表面，則單元體abcd平面上既沒有剪應(yīng)力又沒有正應(yīng)力，這種無剪應(yīng)力的平面又叫主平面，主應(yīng)力，因此，該單元體屬于二向應(yīng)力狀態(tài)，可用平面圖（如圖7-11（c）表示。對(duì)于圖7-11（c）所示的單元體，可以用二向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分析中的式（7-2-1）和式（7-2-2）求其任意斜截面上的應(yīng)力 （1）同時(shí)也可用式（7-

19、2-3）、（7-2-4）求解單元體的主應(yīng)力大小及主平面方向： （2） （3）也可以運(yùn)用圖解法（應(yīng)力圓）求解類似圖7-11（c）單元體的主應(yīng)力大小和主平面方向。例7-4 有一懸臂梁如圖7-12（a）所示。試求距自由端400mm的截面k-k上A、B、C、D、E五點(diǎn)的主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置。解 （1）解析法在梁k-k截面上的內(nèi)力為：梁橫截面的慣性矩為：在梁k-k截面的A、B、C、D、E五點(diǎn)處取單元體如圖7-12（b）所示。（a）求點(diǎn)A的主應(yīng)力因 ， 根據(jù)定義，的平面為主平面，作用在主平面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，故在點(diǎn)A處的主應(yīng)力為：且點(diǎn)A處于單向應(yīng)力狀態(tài)，在該點(diǎn)處的橫截面和縱截面就是主平面。將點(diǎn)A 的主

20、應(yīng)力表示在單元體上，如圖7-12（b）所示。（b）求點(diǎn)B的主應(yīng)力因 , 將它們代入式（7-2-4）計(jì)算主應(yīng)力的數(shù)值，可得MPa由式（7-2-3）求主應(yīng)力的方向：解得 或 運(yùn)用前面所述判斷主應(yīng)力方向的規(guī)則進(jìn)行分析。因在點(diǎn)B處，故必偏向于，且兩者相交成小于45°的銳角，可見應(yīng)是與之間的夾角。在點(diǎn)B的單元體上，由x軸開始向反時(shí)針方向轉(zhuǎn)即可得到作用的主平面的外法線n，從而確定的方向及其所在主平面的位置。另一主應(yīng)力的方向及其所在主平面的位置則分別與的方向及其所在的主平面位置垂直。將點(diǎn)B的主應(yīng)力、的方向和所在主平面的位置表示在單元體上，如圖7-12（b）中所示。可見點(diǎn)B是處于二向應(yīng)力狀態(tài)。（c）

21、求點(diǎn)C的主應(yīng)力按同樣的方法可得 , 主應(yīng)力的方向： 運(yùn)用判斷主應(yīng)力方向的規(guī)則進(jìn)行分析。因在點(diǎn)C處，故和既不偏向于也不偏向于，這時(shí)可根據(jù)剪應(yīng)力的方向來判斷。從圖7-12（b）所示點(diǎn)C處的單元體圖可直觀地看出，應(yīng)與x軸相交成角，則應(yīng)與x軸相交成角，這與力的合成規(guī)律相符合。將點(diǎn)C處的主應(yīng)力和的方向和所在的主平面位置表示在單元體上，如圖7-12（b）中所示。因點(diǎn)C在梁的中性層上，故由上述結(jié)果可知，在梁中性層上的任一點(diǎn)，其主應(yīng)力大小與過該點(diǎn)橫截面上的剪應(yīng)力大小相等，且主應(yīng)力方向與x軸（梁軸線）相交成45°。因在這種單元體的四個(gè)面上只作用有剪應(yīng)力而沒有正應(yīng)力，故是處于純剪應(yīng)力狀態(tài)。（d）求點(diǎn)D的

22、主應(yīng)力按相同的方法求得：,，；，。因，故偏向于，即為與間的夾角。在點(diǎn)D的單元體上，從x軸開始向順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一角度，即得到作用的主平面的外向法線n。從而確定了主應(yīng)力、的方向及其所在主平面的位置，如圖7-12（b）中所示。（e）求點(diǎn)E的主應(yīng)力按相同方法求得：,，。與點(diǎn)A類似，點(diǎn)E也處于單向應(yīng)力狀態(tài)，該點(diǎn)處的橫截面和縱截面即為主平面。將點(diǎn)E的主應(yīng)力和主平面表示在單元體上，如圖7-12（b）所示。（2）圖解法我們也可用應(yīng)力圓求梁內(nèi)各單元體上主應(yīng)力的數(shù)值和方向。在圖7-12（c）中作出表示A、B、C、D、E各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓，在這些應(yīng)力圓上可量出主應(yīng)力的數(shù)值和畫出主應(yīng)力的方向。通過本例題中對(duì)梁同一橫截

23、面上五點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析，可對(duì)梁在橫力彎曲時(shí)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)有比較全面的了解。梁的上、下邊緣上的各點(diǎn)均屬單向應(yīng)力狀態(tài)；梁的中性層上各點(diǎn)一般情況下均屬純剪應(yīng)力狀態(tài)；其它各點(diǎn)屬二向應(yīng)力狀態(tài)，且。或， ，計(jì)算梁內(nèi)任意一點(diǎn)的主應(yīng)力時(shí)可將式（2）、式（3）改寫為 （4） （5）本例題還說明，在梁內(nèi)任意一點(diǎn)一般有兩個(gè)主應(yīng)力，必然是一個(gè)為拉應(yīng)力，另一個(gè)為壓應(yīng)力，二者的方向是互相垂直的。4.2 主應(yīng)力軌跡線對(duì)于任一平面結(jié)構(gòu)，我們都可求出其任意一點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力的大小及方向。由例題7-4還可看出沿梁高不同點(diǎn)處主應(yīng)力方向的變化也是有一定規(guī)律的。掌握構(gòu)件內(nèi)主應(yīng)力方向的變化規(guī)律，對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)非常有用。例如在設(shè)計(jì)鋼筋混凝土梁時(shí)

24、，若已知梁中主應(yīng)力方向的變化情況，即可判斷梁上裂縫可能發(fā)生的方向，從而恰當(dāng)?shù)嘏渲娩摻睿行У匕l(fā)揮鋼筋的抗拉作用。在工程設(shè)計(jì)中，有時(shí)需要根據(jù)構(gòu)件上各計(jì)算點(diǎn)的主應(yīng)力方向，繪制出兩組彼此正交的曲線，在這些曲線上任意一點(diǎn)的切線方向即為該點(diǎn)的主應(yīng)力方向。我們把這種曲線叫做主應(yīng)力軌跡線。其中的一組是的軌跡線（主拉應(yīng)力軌跡線），另一組是的軌跡線（主壓應(yīng)力軌跡線）。圖7-13表示了繪制梁的主應(yīng)力軌跡線的方法。首先如圖7-13（a）所示，對(duì)梁取若干個(gè)橫截面，且在每個(gè)橫截面上選定若干個(gè)計(jì)算點(diǎn)，然后求出每個(gè)計(jì)算點(diǎn)處的主拉應(yīng)力和主壓應(yīng)力的大小和方向，再按各點(diǎn)處的主應(yīng)力方向繪出梁的主應(yīng)力軌跡線，如圖7-13（b）所示

25、，其中的實(shí)線是主拉應(yīng)力的軌跡線，虛線是主壓應(yīng)力的軌跡線。通過對(duì)梁的主應(yīng)力軌跡線的分析可以看出，對(duì)于承受均布荷載的簡支梁，在梁的上、下邊緣附近（跨中部分）的主應(yīng)力軌跡線是水平線；在梁的中性層處，主應(yīng)力軌跡線的傾角為45°。因水平方向的主拉應(yīng)力可能使梁發(fā)生豎向的裂縫，傾斜方向的主拉應(yīng)力可能使梁發(fā)生斜向的裂縫。故在鋼筋混凝土梁中，不但要配置縱向抗拉鋼筋，而且常常還要配置如圖7-13（c）中所示的斜向彎起鋼筋。同樣，可繪出受集中荷載作用的懸臂梁的主應(yīng)力軌跡線（如圖7-14（a）及鋼筋混凝土梁的配筋圖（如圖7-14（b）。第五節(jié) 三向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力分析簡介和研究二向應(yīng)力狀態(tài)一樣，對(duì)于三向應(yīng)力狀

26、態(tài)的分析，也有解析法和圖解法。本節(jié)只對(duì)三向應(yīng)力狀態(tài)的分析作簡單的介紹。設(shè)已知三向應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力、和（如圖7-15（a），求過這一點(diǎn)的任一斜截面上的應(yīng)力情況。我們首先研究與一個(gè)主應(yīng)力（例如）平行的斜截面（如圖7-15（a）上的應(yīng)力情況。因方向與所截截面平行的主應(yīng)力在該截面上既不能引起正應(yīng)力也不能引起剪應(yīng)力，故在這些平行于的截面上的應(yīng)力只決定于和。在這種特殊情況下，這些截面上的和的求法就和在二向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)一樣，可用由和作出的應(yīng)力圓上的各點(diǎn)來表示（如圖7-15（b）。同理，與的方向平行的各截面上的應(yīng)力，可用由和作出的應(yīng)力圓上的各點(diǎn)來表示；與的方向平行的各截面上的應(yīng)力，可用由和作出的應(yīng)力圓上的各

27、點(diǎn)來表示。這樣，三個(gè)應(yīng)力圓上各點(diǎn)的坐標(biāo)值（如圖7-15（b）就代表著在單元體內(nèi)與任一主應(yīng)力的方向平行的截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。至于與三個(gè)主應(yīng)力的方向都不平行的任意斜截面，可以證明，它們上面的應(yīng)力將由圖7-15（b）中陰影部分上的各點(diǎn)D的坐標(biāo)來表示。從圖7-15（b）中可明顯地看出：在三向應(yīng)力狀態(tài)下，單元體的最大正應(yīng)力就是最大應(yīng)力圓上點(diǎn)A的橫坐標(biāo)所表示的主應(yīng)力，既最小主應(yīng)力就是最大應(yīng)力圓上點(diǎn)C的橫坐標(biāo)所表示的主應(yīng)為，即而最大剪應(yīng)力等于最大應(yīng)力圓D0的坐標(biāo)所表示的剪應(yīng)力，其大小等于最大應(yīng)力圓的半徑所代表的數(shù)值（或最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力的差的一半），且作用在與此二主應(yīng)力的方向成45°角的截

28、面上，即例題7-5 已知圖7-16（a ）所示單元體上的主應(yīng)力，。試用應(yīng)力圓求此單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力及其作用面，以及在其作用面上的正應(yīng)力數(shù)值。解 根據(jù)、作出三向應(yīng)力圓，如圖7-16（b）所示。從圖中可直接看出最大剪應(yīng)力的大小等于圓半徑所代表的數(shù)值，即其作用面與和的作用面成45°角（如圖7-16（a）中的陰影面所示）。在此作用面上的正應(yīng)力為第六節(jié) 平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)變分析上面研究了構(gòu)件中一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，現(xiàn)在再研究構(gòu)件中一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)。在第一章中對(duì)應(yīng)變作過定義，應(yīng)變分為線應(yīng)變、剪應(yīng)變二種。單位長度上的變形叫線應(yīng)變，用表示；直角的改變量叫剪應(yīng)變，用表示。所謂一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)，

29、是指構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)在各個(gè)不同方向上的應(yīng)變情況。當(dāng)構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)的所有應(yīng)變都發(fā)生在同一平面內(nèi)時(shí)，稱該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)為平面應(yīng)變狀態(tài)，我們著重介紹平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)變分析。6.1任意方向的應(yīng)變?cè)O(shè)點(diǎn)O為我們要求得其應(yīng)變狀態(tài)的點(diǎn)，且其在xOy坐標(biāo)內(nèi)的線應(yīng)變、和剪應(yīng)變。為求得點(diǎn)O沿任意方向的正應(yīng)變，可將xOy坐標(biāo)系繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一角（規(guī)定以逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正），得到一新坐標(biāo)系，如圖7-17（a）所示，直角的變化即為相應(yīng)的剪應(yīng)變。因我們研究的是小變形問題，故可先分別算出由各應(yīng)變分量、單獨(dú)存在時(shí)的，然后再按疊加原理將它們疊加起來以求得、同時(shí)存在時(shí)的線應(yīng)變。用類似的辦法可求得。首先推導(dǎo)線應(yīng)變的表達(dá)式。如圖7-17（b）所示，

30、從點(diǎn)O沿方向取一微段，并以它作為矩形OAPB的對(duì)角線，命矩形的邊長分別為dx與dy，則有 （a）在只有的情況下，假設(shè)OB邊不動(dòng)，矩形OAPB在變形后將成為，。因是小變形，的伸長可看做為 （b）由線應(yīng)變定義可得點(diǎn)O處沿方向的線應(yīng)變?yōu)?（c）在只有的情況下（如圖7-17（c），假設(shè)OA邊不動(dòng)，矩形OAPB在變形后成為，。同樣因是小變形，的伸長 （d）從而可得點(diǎn)O沿方向的線應(yīng)變?yōu)?（e）最后研究只有剪應(yīng)變的情況（如圖7-17（d）。假設(shè)矩形OAPB的OA邊固定不動(dòng)，在發(fā)生剪應(yīng)變后它變成菱形，且。在此情況下，的伸長量為 （f）從而可得點(diǎn)O沿方向的線應(yīng)變?yōu)?（g） 同樣還可證明，當(dāng)矩形OAPB的OB邊固

31、定不動(dòng)，或OA、OB兩邊都不固定時(shí)，也可得到式（g）所示的結(jié)果。按疊加原理，當(dāng)、和同時(shí)存在時(shí)，點(diǎn)O沿方向的線應(yīng)變應(yīng)等于式（c）、（e）、(g)的代數(shù)和，即 （7-6-1a）經(jīng)過三角函數(shù)關(guān)系的變換后可得 （7-6-1b）下面再推導(dǎo)剪應(yīng)變的表達(dá)式。因剪應(yīng)變是指直角的變化，故應(yīng)研究在圖7-17（b）、（c）、（d）所示三種變形情況下，沿軸和軸的邊OP和OQ的轉(zhuǎn)角，它們的代數(shù)和即等于剪應(yīng)變，且根據(jù)對(duì)剪應(yīng)變的正負(fù)號(hào)規(guī)定，使原直角減小者為正號(hào)的剪應(yīng)變，使原直角增大者為負(fù)號(hào)的剪應(yīng)變。在只有正值的的情況下（如圖7-17(b)），假設(shè)OB邊不動(dòng)，從變形前的矩形OAPB的對(duì)角線OP轉(zhuǎn)向變形后矩形的對(duì)角線的轉(zhuǎn)角可看

32、做為 （h）此轉(zhuǎn)角使直角增大了，故為負(fù)值。至于沿軸方向的微段在上述變形下的轉(zhuǎn)角，可將上式中的角代之以角求得，即 （i）上式中的負(fù)號(hào)表明角的轉(zhuǎn)向與角相反，即角也使直角，故同樣為負(fù)值。此二轉(zhuǎn)角之和即為剪應(yīng)變，即 （j）此式表明，當(dāng)為正值時(shí)為負(fù)值。同理可導(dǎo)出：在只有正值的的情況下（如圖7-17（c）的剪應(yīng)變 （k）為正值，表示。在只有正值的情況下（如圖7-17（d）的剪應(yīng)變 （l）根據(jù)疊加原理，當(dāng)、同時(shí)存在時(shí)，有 （7-6-2a）或 （7-6-2b）6.2 應(yīng)變圓將表示、的式（7-6-1b）、（7-6-2b）與表示、的式（7-2-1）、（7-2-2）比較，可知它們是相似的，只需將式（7-2-1）、（

33、7-2-2）中的，代以，；，代以，即可得式（7-6-1b），（7-6-2b）。故與應(yīng)力圓表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)相似，也可用應(yīng)變圓表示一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。但應(yīng)注意在畫坐標(biāo)軸時(shí)，表示線應(yīng)變的橫坐標(biāo)的正向仍指向右方，而表示角應(yīng)變的一半的縱坐標(biāo)的正向應(yīng)指向下方，如圖7-18所示。在應(yīng)變圓上的點(diǎn)D1，其橫坐標(biāo)代表沿x軸方向的線應(yīng)變，縱坐標(biāo)則代表xOy軸的直角改變量的一半，即剪應(yīng)變的一半；而在圓上的點(diǎn)D2，即通過點(diǎn)D1的直徑的另一端點(diǎn)，其橫坐標(biāo)代表沿y軸方向的線應(yīng)變，縱坐標(biāo)則代表xOy軸旋轉(zhuǎn)了90°以后的直角改變量的一半，即。顯然，若已知一點(diǎn)處的三個(gè)應(yīng)變分量，和，即可在坐標(biāo)系中定出D1，D2兩點(diǎn)，以D1

34、D2為直徑作出相應(yīng)的應(yīng)變圓。6.3 主應(yīng)變和最大剪應(yīng)變由圖7-18可以看出，應(yīng)變圓與坐標(biāo)軸的二交點(diǎn)A1和A2的縱坐標(biāo)都為零，它們的橫坐標(biāo)分別代表一點(diǎn)處的最大和最小線應(yīng)變，我們稱它們?yōu)橹鲬?yīng)變，并用符號(hào)、表示，因在應(yīng)變圓上A1，A2兩點(diǎn)間的圓心角為180°，故、方向之間的夾角為,即互相垂直。從應(yīng)變圓還可導(dǎo)出如下的表達(dá)式主應(yīng)變 （7-6-3）主應(yīng)變方向與x軸間的夾角 （7-6-4）最大剪應(yīng)變 （7-6-5）在彈性范圍內(nèi)，各向同性材料中任一點(diǎn)的主應(yīng)力指向與相應(yīng)的主應(yīng)變方向是一致的。例題7-6 已知構(gòu)件表面某點(diǎn)處的應(yīng)變，試求該點(diǎn)的主應(yīng)變的數(shù)值和方向。解（1）求該點(diǎn)主應(yīng)變的數(shù)值 （2）求主應(yīng)變的

35、方向 本題也可用圖解法求解。由圖7-19中所示的應(yīng)變圓可以量得它們與前面用解析法所得的結(jié)果相比，其微小的誤差是由圖解誤差所引起的，在容許范圍之內(nèi)。第七節(jié) 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系7.1 單向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系 圖7-20所示的單元體處于單向應(yīng)力狀態(tài)，在主應(yīng)力作用下，單元體是要產(chǎn)生變形的，在沿的方向上要伸長，在垂直于的方向上，即y軸和z軸方向上也要變形（縮短）。第一章所給出的定義是單位長度上的變形叫線應(yīng)變，在方向上的線應(yīng)變叫縱向線應(yīng)變，用表示；垂直于方向的線應(yīng)變叫橫向線應(yīng)變，用表示。實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)正應(yīng)力不太大時(shí)，和是成正比的，即或 （7-7-1）式（7-7-1）稱為胡克定律，E為材料的彈性模量（單位

36、是N/m2）。 橫向線應(yīng)變和縱向線應(yīng)變也是成正比的，即 （7-7-2）式中為材料常數(shù)，稱為泊松比。為正值，而與符號(hào)相反，因此，此值應(yīng)加絕對(duì)值符號(hào)。7.2 純剪應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系圖7-21所示的單元體為純剪應(yīng)力狀態(tài)，在剪應(yīng)力作用下，產(chǎn)生的變形是剪應(yīng)變，即直角的改變量。實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)剪應(yīng)力不太大時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變也是成正比的，即 或 （7-7-3）式（7-7-3）稱為剪切胡克定律，G為剪切彈性模量，單位為N/。7.3 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系下面我們進(jìn)一步研究在三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。圖7-22（a）表示從受力構(gòu)件中取出的一個(gè)單元體，因同時(shí)受到正應(yīng)力和剪應(yīng)力的作用，將同時(shí)產(chǎn)

37、生線應(yīng)變和角應(yīng)變。可以證明，在小變形情況下，剪應(yīng)力所引起的線應(yīng)變與正應(yīng)力所引起的線應(yīng)變相比，是高階微量，可忽略不計(jì)。故可認(rèn)為，正應(yīng)力只產(chǎn)生線應(yīng)變，剪應(yīng)力只產(chǎn)生角應(yīng)變，二者互不影響，從而可根據(jù)疊加原理，把圖7-22（a）所示的三向應(yīng)力狀態(tài)看做是只單獨(dú)作用有正應(yīng)力（如圖7-22（b）和只單獨(dú)作用有剪應(yīng)力（如圖7-22(c)）的兩種情況的疊加。在圖7-22（b）所示的單元體上同時(shí)作用有正應(yīng)力、和，需要利用疊加原理計(jì)算由它們所引起的線應(yīng)變、和。將圖7-22（b）所示的三向應(yīng)力情況，分解為三個(gè)單向應(yīng)力情況，如圖7-23中的實(shí)線圖形所示。首先分析沿x軸方向（即的方向）發(fā)生的線應(yīng)變：當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，在x軸方向

38、引起的線應(yīng)變是相對(duì)伸長（參看圖7-23（a）當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，在x軸方向引起的線應(yīng)變是橫向縮短（參看圖7-23（b）當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，在x軸方向引起的線應(yīng)變也是橫向縮短（參看圖7-23（c）故當(dāng)正應(yīng)力、共同作用時(shí)，在x軸方向引起的線應(yīng)變?yōu)橥瑯涌汕蟪鲅貀軸方向和沿z軸方向的線應(yīng)變和。將它們排列在一起，即得 (7-7-4)剪應(yīng)力、與剪應(yīng)變、之間，仍具有式（7-7-3）所示的關(guān)系。它們表達(dá)出空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系，稱為廣義胡克定律的表達(dá)式。若改用應(yīng)變來表示應(yīng)力，則由式（7-7-4）可得： (7-7-5)式中，,。當(dāng)取出的單元體為主單元體，其上作用的主應(yīng)力為、時(shí)，廣義胡克定律也可寫成如下的形式

39、(7-7-6)在二向應(yīng)力狀態(tài)下，式（7-7-5）和（7-7-4）可化簡為 （7-7-7）和 （7-7-8）式（7-7-7）和（7-7-8）不僅在求解結(jié)構(gòu)中的某些應(yīng)力問題和應(yīng)變問題時(shí)要經(jīng)常用到，而且在實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中也很有用。例如只要用儀器測(cè)出試件上某些測(cè)點(diǎn)處的線應(yīng)變和，即可用式（7-7-7）計(jì)算出這些測(cè)點(diǎn)的應(yīng)力。例題7-7 在對(duì)圖7-24所示的某船閘人字閘門進(jìn)行原型觀測(cè)時(shí)，通過電測(cè)法量測(cè)到板上面點(diǎn)k處的應(yīng)變是（壓縮）與（拉伸）。試用式（7-7-7）求點(diǎn)k處的正應(yīng)力、。已知人字閘門面板的材料為Q235鋼，其拉壓彈性模量，橫向變形系數(shù)（泊松比）。解 將、和的數(shù)值代入廣義胡克定律的表達(dá)式（7-7-7）

40、，即可得出面板上點(diǎn)k處的正應(yīng)力和：7.4 體積應(yīng)變當(dāng)單元體處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，其體積也將發(fā)生變化。設(shè)單元體各邊的原長分別為dx、dy、dz,則在變形前單元體的原體積為在變形后單元體的體積變?yōu)楣蕟挝惑w積的改變或體積應(yīng)變 （7-7-9a）將式（7-7-6）中的三個(gè)主應(yīng)變代入式（7-7-9a）中，則得 （7-7-9b）當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力相等，即時(shí)，則（7-7-9b）變?yōu)槭街?（7-7-10）稱為體積變形系數(shù)。由式（7-7-9b）可以看到，體積的改變僅取決于三個(gè)主應(yīng)力之和，而不取決于它們之間大小的比例。若將圖7-25（a）中所示單元體的應(yīng)力情況分解為如圖7-25（b）、（c）所示的兩種應(yīng)力情況，則可看出：在

41、圖7-25（b）所示的情況下，因在單元體的各面上都作用著數(shù)值相等的主應(yīng)力顯然其各個(gè)主應(yīng)變也都相等，故單元體只會(huì)發(fā)生體積改變而不會(huì)發(fā)生形狀改變。在圖7-25（c）所示的情況下，因作用在單元體上的三個(gè)主應(yīng)力之和等于零，故根據(jù)式（7-7-9b），單元體沒有體積改變而只會(huì)發(fā)生形狀改變。由此可知，圖7-25（a）中所示單元體變形時(shí)，其變形將同時(shí)包括體積改變和形狀改變。例題7-8 邊長為的混凝土塊，很密合地放在絕對(duì)剛硬的凹座里，并承受軸向壓力 (如圖7-26)，試求剛凹座壁上所受的壓力，以及混凝土塊內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)力。已知混凝土的泊松比。解 當(dāng)混凝土塊受到軸向壓力P作用時(shí)，它要發(fā)生橫向變形，但這種變形受到了剛

42、體凹座的限制，放在凹座上會(huì)產(chǎn)生反力Nx和Nz（設(shè)力P沿y軸方向作用）。由于對(duì)稱關(guān)系，所有作用在立體上的力都將相交于一點(diǎn)，靜力平衡方程都變成了00的恒等式。現(xiàn)在轉(zhuǎn)過來研究彈性變形，因凹座是絕對(duì)剛硬的，混凝土塊在里面不能發(fā)生（在x軸和z軸方向上的）橫向變形，即由式（7-7-4）可得 （a）此外有 （b）解聯(lián)立方程組（a）得到以a2遍乘各項(xiàng)，并代入有關(guān)數(shù)值得到故在混凝土塊里的應(yīng)力為習(xí) 題7-1 試用解析法及圖解法求圖示各單元體中指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。7-2 試用解析法及圖解法求圖示各單元體的主應(yīng)力的數(shù)值、方向和最大剪應(yīng)力的數(shù)值。7-3 已知平面應(yīng)力狀態(tài)下某點(diǎn)處的兩個(gè)截面上的應(yīng)力如圖7-3所示

43、。試?yán)脩?yīng)力圓求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值和主平面方位，并求出此兩截面間的夾角值。7-4 某點(diǎn)處的應(yīng)力如圖所示，設(shè) 、值為已知，試考慮如何根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接作出應(yīng)力圓。7-5 單元體各面上的應(yīng)力如圖所示（應(yīng)力單位為）。試用應(yīng)力圓求主應(yīng)力及最大剪應(yīng)力。7-6 已知一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓如圖所示。試用單元體表示出該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，并在該單元體上繪出應(yīng)力圓上A點(diǎn)所代表的截面。7-7 對(duì)圖中所示的梁進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，測(cè)得梁上點(diǎn)A處的應(yīng)變?yōu)椤Ｈ袅翰牧系膹椥阅Ａ浚此杀仍嚽罅荷宵c(diǎn)A處的正應(yīng)力。7-8 從構(gòu)件上測(cè)得某點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?，試求該點(diǎn)的主應(yīng)變數(shù)值和方向。7-9 用電測(cè)法測(cè)得構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)椋嚽笾鲬?yīng)變的數(shù)值和方向。7-

44、10 用試驗(yàn)的方法測(cè)得梁上某點(diǎn)處的應(yīng)變?yōu)椋Ｔ嚽笤擖c(diǎn)的主應(yīng)變數(shù)值和方向。7-11 有一處于二向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體，兩個(gè)主應(yīng)力的大小相等且，材料的彈性模量，泊松比。試求單元體的三個(gè)主應(yīng)變，并用應(yīng)變圓求出其最大剪應(yīng)變。7-12 用直角應(yīng)變花測(cè)得構(gòu)件表面上一點(diǎn)處三個(gè)方向的線應(yīng)變分別為，試作應(yīng)變圓，求該點(diǎn)處的主應(yīng)變數(shù)值和方向。7-13 圖示一處在三向應(yīng)力狀態(tài)下的單元體。已知三個(gè)主應(yīng)力為：，。（a）試求此單元體的最大剪應(yīng)力的大小和所在截面位置。（b）若材料的泊松比，彈性模量，試求此單元體的最大線應(yīng)變（絕對(duì)值）。7-14 圖示一體積為的立方體鋁塊，放入寬度正好是的鋼槽中。設(shè)在立方體頂面施加的壓力，鋁的橫向

45、變形系數(shù)。鋼槽的變形可以忽略不計(jì)，試求鋁塊的三個(gè)主應(yīng)力。7-15 有一直徑的實(shí)心鋼球。若使它承受均勻的靜水壓力，它的體積會(huì)減小多少（已知鋼的，答 案7-1 （a）（b）（c）（d）7-2 （a）（b）（c）（d） （e）（f）（g）（h）7-3 7-7 7-8 ，第七章 小結(jié)及學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、應(yīng)力狀態(tài)概念：受力桿件中任一點(diǎn)的各個(gè)不同截面上的應(yīng)力情況，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析主要是找出各類（特別點(diǎn)）的最大正應(yīng)力，最小正應(yīng)力，最大剪應(yīng)力，為了桿件能進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。從桿件中取出單元體（正立面體）有三對(duì)互相垂直的平面，若平面上沒有剪應(yīng)力作用，則該面稱主平面，若六個(gè)面上均無剪應(yīng)力作用，該單元體稱為主單

46、元體。主單元體上作用的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，主應(yīng)力用、。單元體一般有三個(gè)主應(yīng)力。三個(gè)主應(yīng)力中有任意二個(gè)為零，一個(gè)主應(yīng)力不為零，該單元體稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。三個(gè)主應(yīng)中有任意一個(gè)為零，二個(gè)主應(yīng)力不為零，稱為二向應(yīng)力狀態(tài)。三個(gè)主應(yīng)力均不為零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)和二向應(yīng)力狀態(tài)又稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，三向應(yīng)力狀態(tài)稱為空間應(yīng)力狀態(tài)，又可以將單向應(yīng)力狀態(tài)稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向應(yīng)力狀態(tài)與三向應(yīng)力狀態(tài)，稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。2、平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)包括單向和二向應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力分析的目的主要解決三個(gè)問題，求任意斜截面上的應(yīng)力；最大、最小正應(yīng)力（即主應(yīng)力）及作用平面方向；最大最小剪應(yīng)力及作用平面方向。解決的方法有解析法和圖解法。（1） 解析法： 任一斜截面上的應(yīng)力：主應(yīng)力大小及主平面方向：（為主平面方向角）最大最小剪應(yīng)力：（為 或 作用平面的方向角）（2）圖解法