1、線性代數的主要知識點第一部分 行列式概念：1 n階行列式展開式的特點：共有n!項，正負各半；每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列；每一項的符號為2 元素的余子式以及代數余子式 3 行列式的性質計算方法：1 對角線法則2 行列式的按行（列）展開 (另有異乘變零定理)第二部分 矩陣1 矩陣的乘積注意：不滿足交換率（一般情況下） 不滿足消去率 （由AB=AC不能得出B=C） 由AB=0不能得出A=0或B=0 若AB=BA，則稱A 與B是可換矩陣2矩陣的轉置 滿足的法則：，3矩陣的多項式 設，A為n階方陣，則稱為A 的n次多項式。對與對角矩陣有關的多項式有結論如下：（1）如果 ，則= （2）若，則4

2、逆矩陣：階矩陣A,，若，則A,B互為逆矩陣。 n 階矩陣A可逆； （或表示為）即A為滿秩矩陣； A與E等價； A可以表示成若干個初等矩陣的乘積； A的列（行）向量組線性無關； A的所有的特征值均不等于零求法：伴隨矩陣法：初等變換法：或， E是單位矩陣性質：（1）矩陣可逆，則的逆矩陣是唯一的（2）設是階矩陣，則有下列結論 若可逆，則也可逆，且 若可逆，則也可逆，且 若可逆，數，則可逆，且 若為同階矩陣且均可逆，則也可逆，且5方陣A的行列式：滿足下述運算規律（設為階方陣，為數） 6伴隨矩陣：行列式的各個元素的代數余子式所構成的如下的矩陣，稱為矩陣的伴隨矩陣（注意行與列的標記的不同）伴隨矩陣具有性質

3、：常見的公式有： 等7初等矩陣：由單位矩陣經過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對應著三種初等矩陣，分別記為：（1）（互換E的第、列）（2）（E的第行乘以不為零的數）（3）（把E的行的倍加到第行上）初等矩陣具有下述性質：初等矩陣的轉置仍為初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍為初等矩陣且、；初等矩陣的行列式分別是 -1，k, 1。8矩陣的初等變換：初等行變換: 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換： 對調兩行； 記為 對換第行 以數乘某一行中的所有元素； 記為 第行乘 把某一行所有元素的倍加到另一行對應的元素上去；記為 第行倍加到第行上。把定義中矩陣的行換成列，即得矩陣的初等列

4、變換的定義.矩陣的初等行變換和初等列變換統稱矩陣初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣的關系：設A是一個矩陣，則 對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的 階初等矩陣； 對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的 階初等矩陣 9矩陣的等價：如果矩陣經過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與矩陣B等價。 且若矩陣經過有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價； 若僅經過初等列變換，就稱A與B列等價。設為矩陣與行等價階可逆矩陣，使得與列等價階可逆矩陣，使得等價階可逆矩陣，階可逆矩陣，使得利用矩陣的初等變換解矩陣方程 ，可以： ，可以： ，從而解出X。10矩陣的秩：非零子式的最高階

5、數。記為 求法：A行階梯形矩陣B，=B的非零行的行數。 相關公式：若A是矩陣，則 =若設為矩陣， 均為可逆矩陣，則，則若均為矩陣，則 若 ，則 11分塊矩陣：主要記住：（1）分塊對角矩陣：設為階方程，若的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方塊，即其行列式與逆矩陣具有下述性質：若，則，故可逆，并有: 設是階方陣, 是階方陣,且,則另有：（2）設有分塊矩陣，其中分別為階、階可逆矩陣，則矩陣可逆且（3）設有分塊矩陣，其中分別為階、階可逆矩陣，則矩陣可逆且第三部分 向量組1 線性組合：給定向量組A：，對于任意一組實數，稱向量為向量組的一個線性組合，稱為該線性組合的系

6、數。 給定向量組A：和向量，如果存在一組數，使得 =則向量是向量組A的線性組合，也稱向量可以由向量組A線性表示 向量能由向量組A線性表示方程組 有解 矩陣A=（）的秩等于矩陣B=(，)的秩2等價：設有兩個向量組A：及B：，若B中的每個向量都可以由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。記為：（）（）主要結論：（1）矩陣A與B若行等價，則A的行向量組與B的行向量組等價； 若矩陣A與B若列等價，則A的列向量組與B的列向量組等價（2）向量組B：能由向量組A:線性表示存在矩陣K，使得B=AK方程AX=B有解（3）向量組A: 與向量組

7、B：等價 ，其中，A,B是向量組構成的矩陣（4）向量組B：能由向量組A:線性表示，則 R()R()3線性相關與線性無關對向量組A：，如果存在不全為零的一組數，使得： 則稱向量組A是線性相關的，否則稱為線性無關，也就是說當且僅當都是零時才能使（）式成立，則線性無關。主要結論：（1）向量組線性相關齊次線性方程組有非零解它所構成的矩陣=（）的秩小于；同樣 線性無關僅有零解（2）n個n維向量，線性相關行列式， 線性無關行列式（3）m個n維向量，當維數時，向量組一定線性相關。特別地，個維向量必線性相關；（4）若向量組A：線性相關向量組B: 一定線性相關；反之，向量組B若線性無關向量組A線性無關或敘述為：

8、整體無關，則任意部分無關；只要有一部分相關，則整體相關；（5）若向量組A：線性無關，而向量組B: ,線性相關必能由向量組A線性表示，且表達式唯一（6）若維向量組線性無關，則在每一個向量上再添加個分量所得到的維向量組也是線性無關的（7）向量組A：線性相關其中至少有一個向量是其余個向量的線性組合 ；線性無關每一個向量都不能由其余向量線性表示。（8）如果向量組A：可由向量組B: 線性表示，并且向量組A：線性相關；（逆否命題: A：線性無關且可由向量組B線性表示）4最大（極大）線性無關組：設有向量組A，如果在A中能選出個向量，滿足（1）向量組：線性無關；（2）向量組A中任意個向量（如果A中有個向量的話

9、）都是線性相關的那么稱是向量組A的一個最大（極大）線性無關部分組條件（2）也可以改為：向量組A中任意一個向量都可以由線性表示，結論:一個向量組的極大無關組是它的線性無關部分組中個數最多的那一個一個向量組的極大無關組不是唯一的向量組的任意一個極大無關組所含向量的個數是唯一確定的若向量組線性無關，其極大無關組就是其本身任一向量組和它的極大無關組等價 向量組中任意兩個極大無關組等價5向量組的秩：向量組中極大無關組所含向量的個數稱為向量組A的秩。記為：（）主要結論：（1）如果向量組 與向量組等價，則它們的秩相等（2）如果向量組 可由向量組線性表示，且 ，則（3）矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的

10、行向量組的秩6向量空間：設V為維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及乘數兩種運算封閉，那么就稱V為向量空間。（1）設是兩個已知的維向量，則集合 是一個向量空間。稱為由向量所生成的向量空間。（2）向量空間的基-設為向量空間，如果個向量，且滿足 線性無關； 中任何一個向量都可以由線性表示則稱向量組是向量空間的一個基，稱為向量空間的維數，并稱為維向量空間。（3）在中取定一個基，再取一個新基，設（），（），則=稱為從舊基到新基的過渡矩陣7向量的內積：(1) 設有維向量，令，稱為向量與的內積. 當與都是列向量時，有 .(2) 內積具有下列性質（其中為維向量，為實數）： ； ； . 當時，；當時

11、，施瓦茨（Schwarz）不等式 (3) 向量的長度：=，稱為維向量的長度。（范數）.(4) 向量的正交-當時，稱向量與正交.(5)正交向量組-兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組.正交向量組的性質若維向量是一組兩兩正交的非零向量組，則線性無關.（6）施密特（Schimidt）正交化過程：設是線性無關的：取；，.兩兩正交，且與等價第四部分 線性方程組1 解的判定：線性方程組其系數矩陣與增廣矩陣分別記為：，或（A,b）= 則方程組的矩陣表示形式為：若記：，則方程組的向量形式為： 判定定理：元非齊次線性方程組有解且有唯一解 ，有無窮多解對應的齊次線性方程組，稱謂原方程組的導出組。有結論：元齊次線性方程組僅有零解系數矩陣的秩元齊次線性方程組有非零解系數矩陣的秩若系數矩陣A為方陣，則有：元齊次線性方程組僅有零解 元齊次線性方程組有非零