1、精選優質文檔-傾情為你奉上 數值分析簡述及求解應用摘要：數值分析是研究分析用計算機求解數學計算問題的數值計算方法及其理論的學科，本文主要介紹了數值分析的一些求解方法的原理和過程，并應用在電流回路和單晶硅提拉過程中的，進一步體現數值分析的實際應用。關鍵字：解方程組 插值法 牛頓法一、引言隨著科學技術的發展，提出了大量復雜的數值計算問題，在建立電子計算機成為數值計算的主要工具以后，它以數字計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象。有可靠的理論分析，要有數值實驗，并對計算的結果進行誤差分析。數值分析的主要內容包括，函數逼近，曲線擬和，解的直接方法，解線性方程組的，求根，的數值解法。運用數值分析解決問

2、題的過程包括：實際問題數學建模數值計算方法上機計算求出結果。在自然科學研究和工程技術中有許多問題可歸結為求解方程組的問題,方程組求解是科學計算中最常遇到的問題。如在應力分析、電路分析、分子結構、測量學中都會遇到解方程組問題。在很多廣泛應用的數學問題的數值方法中，如三次樣條、最小二乘法、微分方程邊值問題的差分法與有限元法也都涉及到求解方程組。在工程中常會遇到求解線性方程組的問題，解線性方程組的方法有直接法和迭代法，直接法就是經過有限步算術運算，可求的線性方程組精確解的方法（若計算過程沒有舍入誤差），但實際猶如舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得近似解，這類方法是解低階稠密矩陣方程組級某些大型

3、稀疏矩陣方程組的有效方法。直接法包括高斯消元法，矩陣三角分解法、追趕法、平方根法。迭代法就是利用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法。將方程組的解看作是某極限過程的極限值，且計算這一極限值的每一步是利用前一步所得結果施行相同的演算步驟而進行。迭代法具有需要計算機的存儲單元少，程序設計簡單，原始系數矩陣在計算過程始終不變等優點，但存在收斂性級收斂速度問題。迭代法是解大型稀疏矩陣方程組（尤其是微分方程離散后得到的大型方程組）的重要方法。迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多種方法。 非線性是實際問題中經常用到出現的并在科學和工程中的低位也越來越重要，很多線性模型都是在一定條件下由

4、非線性簡化得到的。所以往往需要非線性的研究。非線性的數值解法有牛頓法，迭代收斂的加速解法，弦解法和拋物線法等。還有很多問題都可用常微分方程的定解來描述，主要有處置問題和邊值問題。常微分方程是描述連續變化的數學語言，微分方程的求解是確定滿足給定方程的可微函數y(x)。下面就數值分析中常用的一些方法和實例進行闡述。二、數值分析中的一些方法1、插值法許多實際問題都用y=f(x)來表示，有的函數雖然有解析式，但由于計算復雜實用不方便，為了找一個既能反映函數的特性又便于計算的函數，我們利用插值法可以得到這個簡單函數，插值法包括拉格朗日插值，牛頓插值，Hermite插值等多種方法。 拉格朗日插值是n次多項

5、式插值，其成功地用構造插值基函數的 方法解決了求n次多項式插值函數問題。牛頓插值也是n次多項式插值，它提出另一種構造插值多項式的方法，與Lagrange插值相比，具有承襲性和易于變動節點的特點。Hermite插值是利用未知函數f(x)在插值節點上的函數值及導數值來構造插值多項式的,起其提法為:給定n+1個互異的節點x0,x1,xn上的函數值和導數值。2、解線性方程組的方法關于線性代數方程組的數值解法一般分為兩大類：直接法和迭代法。例如用高斯消元法解線性方程組，先通過一系列的加減消元運算，也就是代數中的加減消去法，以使A對角線以下的元素化為零，將方程組化為上三角矩陣；然后，再逐一回代求解出x向量

6、。現舉例說明如下：第一步：消元過程將(1)/3使x1的系數化為1,再將(2)、(3)式中x1的系數都化為零，即由(2)-2×(1)(1)得 由(3)-4×(1)(1)得 將(2)(1)除以2/3，使x2系數化為1得再將(3)(1)式中x2系數化為零，由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)得將(3)(2)除以18/3，使x3系數化為1，得經消元后，得到如下三角代數方程組：第二步：回代過程由(3)(3)得 x3=1,將x3代入(2)(2)得x2=-2,將x2 、x3代入(1)(1)得x2=1,所以，本題解為x=1,2,-1T 第三步：用矩陣演示進行消元過程先將方程寫成增廣

7、矩陣的形式然后對矩陣進行初等行變換，再將增廣矩陣變換成上三角矩陣，即主對角線全為1，左下三角矩陣全為0，形式如下：即原方程組被等價轉化成為上三角方程組，然后，逐步回代得原方程組的解即可。3、解非線性方程組的方法解非線性方程組的方法包括牛頓法，迭代收斂的加速解法，弦解法和拋物線法等牛頓法實質是一種非線性方程逐步歸結為線性方程來求解的，牛頓迭代法原理如下：設已知方程f(x)=0的近似根X0則在X0附近f(x)可用一階泰勒多項式近似代替.因此, 方程f(x)=0可近似地表示為P(x)=0.用X1表示P(x)=0的根,它與的根差異不大. 設,由于滿足解得重復這一過程,得到迭代格式：這就是著名的牛頓迭代

8、公式,它相應的不動點方程為：三、數值分析的一些應用為了更好地說明說明數值分析在物理領域的應用,以及如何使用數值分析進行求解,本文將簡單介紹用直接法和逼近法求解一些實際問題. 1、在電網中的應用確定下圖電網中的回路電流。分析：在回路1中,電流I1流過三個電阻,且電壓降為；在回路2中的電流也流經回路1的一部分,即從D到A的分支,對應的電壓降為6I2伏特然而,回路1中電流在DA段的方向與回路2中選定的方向相反,因此,回路1中所有電壓降的代數和為由于回路1中的電壓為+60伏特,由基爾霍夫電壓定律,可得回路1的方程為,同理,可得回路2的方程為 , 其中, -6I1是回路1中流經DA分支的電流(因為電流與

9、回路2中的電流方向相反,所以電壓為負)；12I2是回路2中所有的電阻乘上回路電流的和； -2I3是回路3中流經CB分支上2歐姆電阻的電流,方向與回路2中該段的電流方向相反。回路3的方程為: 注意,在CB分支上10伏特的電池被當作是回路2和回路3中的一部分,但是由于回路3中電流方向,電池在回路3中為-10伏特出于同樣的道理,40伏特的電池也應取負值.綜合上述討論,上述電網的回路電流滿足下列線性方程組: 寫成矩陣形式為 (*) 對增廣矩陣進行行變換,得從而解得I1=3安培, I2=1安培, I3=-8安培I3取負值說明回路3中的實際電流與圖中顯示的電流方向相反.在方程組(*)中,如果將其系數矩陣記

10、為R,右端列向量記為u,i =(I1,I2,I3)T,則可得到以矩陣形式表示的歐姆定律:.2.在提拉單晶硅中的應用在提拉單晶硅的過程中，假定晶體導電，熔化物和晶體的平衡方程式是：該模型還包括坩堝的傳導,熔化物、晶體、坩堝、加熱元件表面和環境的熱輻射,以及融化物和周圍的環境的對流。利用格林第二定理，將面積分變成線積分Xi是邊界節點i出的方向矢量。是邊界線，A是橫截面積，對軸對稱的幾何解決方法，i擴散方程式：Km是橢圓部分。（ri,zi）是節點i的坐標。在數值實現方法、邊界被分為溫度變化和接近溫度梯度的每個值，通過插值逼近中間節點值:是k的函數，是坐標，Ne是每個元素的節點數。方程(10) 、(1

11、2)代入(9)，形成N每個節點的微分/代數方程：T是節點處的溫度矢量，Q是節點的變化矢量。為了獲得一個邊界積分相當于瞬時的域積分,一般利用插值(23)。在這種方法中,對時間的導數形式是:X是位置矢量，x= r z T,N是節點數，fkx; xk是幾何的已知函數，kt是時間的未知系數，方程（13）變為：矩陣M的整數數域，注意到這矩陣的計算在一個固定的領域只計算一次,方程(16)應用到N結點,結果是:矩陣F是通過fkx; xk在節點處形成的，方程（18）代入方程（17），整數域里方程（9）變成：另外,為了避免整數域M在較復雜的幾何域,利用雙重定理，在這種方法中,節點fk x;Xk 是取代拉普拉斯節

12、點的一個新的節點：再將方程（21）代入（17），得到一個積分方程：如果節點，估測有相同的插值多項式k，利用溫度，矩陣M可寫成：, （23）,矩陣 ,是通過節點形成的。該模型的非線性介紹是通過自由表面傳導結合熱對流及熱輻射效應:數值分析作為一種計算方法，在各個學科中大量應用。四、結論數值分析是研究分析用計算機求解數學計算問題的數值計算方法及其理論的學科，是數學的一個分支，它以數字計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象。在科學研究和工程技術中有許多問題可歸結為求解方程組的問題。本文主要討論了插值法求函數，解線性方程組的求解方法，非線性方程組的解法及微分方程的解法，并通過在電流回路和單晶硅提拉過程中分析應用。進一步體現了數值分析的廣泛應用，實際上由于誤差的存在，一些問題只能求得近似解。對于良態方程組，只要求解方法穩定，即可得到比較滿意的計算結果。但對于病態方程組，即使使用穩定性好的算法求解也未必理想，還需進一步的研究。總之，數值分析可以通過計算方法進行一種比較完善的構造，使之更普遍化，能夠有舉一反三的思想，能夠解決一些實際中難解的問題，應用到各個領域。參考文獻：1李岳生,黃友謙.數值逼近.人民教育出版社.1978.2李慶陽,王能超，易大義.數值分析.北京:清華大學出版社.