1、第一章復數(shù)1 i 2 =-1 i =4一1 歐拉公式 z=x+iy實部Rez虛部Imz2運算 Zi 三 Z2 = Re Zi = Re Z2 Im zi = Im Z2 z1 _ z2 = Re z1 _ z2 Im z1 - z2 = Re z1 - Re z2 r I Im z1 Im z2Zi Z2=xi iyi x2 iy2=x1x2 ixi y2 ix2 yi - yi y2二x1x2 -yy2i xi y2 x2y1I 1Zi _ Z1Z2_xiiyix2-iy2_x?yy?.yx?-xy2& =：=22-i22-Z2 Z2Z2x2iy2x2-iy2x2y2%N2z = x

2、 iy共腕復數(shù):z Z =(x +iy '(x -iy )=x2 + y2 共腕技巧運算律Pi頁3代數(shù)，幾何表示z = x+iyz與平面點(x, y L一對應，與向量一一對應+ 2依 k=±1±2±3輻角當zw0時，向量z和x軸正向之間的夾角8 ,記作8 =Argz=80把位于-冗 < 備&九的小叫做Argz輻角主值記作£ =arg zo4如何尋找argz例：Z=1-i 一4冗 z=i 2冗z=1+i 4z=-1 幾5 極坐標：x = r cos 日,y=rsin8z = x+iy=r (cos + i sin 日)利用歐拉公式e&

3、#39; = cos - i sin -僅供個人學習參考可得到z =reiu6高次窯及n次方凡是滿足方程8n =z的值稱為z的n次方根，記作0 =yzz = rei(SkJI) = 0n 即 r =第二章解析函數(shù)1極限2函數(shù)極限復變函數(shù)對于任一 Z w D都有Ww E與其對應3 = f (z)注：與實際情況相比，定義域，值域變化例 f z )二 zlim f (z )= A z t z0稱f (z )當z t z0時以A為極限 z z當A = f已附，連續(xù) ' _ z-. x y /例1 證明f (z) = z在每一點都連續(xù)證： f (zf (z0 = z - z0 = z - z0

4、T 0 z T z0所以f (z )= z在每一點都連續(xù) I3導數(shù)例2f (z六C時有(C )=0證：對 Vz 有 ljmz)-f(z)=ym CC=0 所以(C)=0. z-0,z.z-0 ,-.；z例3證明f (z )= z不可導解：令 = z z0f z - f z°z -z° z -z0二 x -iyz zOz - z0z - z0 x iy當0T 0時，不存在，所以不可導。僅供個人學習參考定理：f (z )=u(x, y )+iv(x,y班z = x + iy處可導u u, v在(x, y處可微，且滿足C-R條件_:ujv；:u:xjy.:y.:vu. :v一旦f

5、 (z)=+i:x；x Fx例4證明f (z )= z不可導 解：f (z )=z =x -iy 其中 u(x, y )= x v(x, y )= -y u,v 關(guān)于 x,y 可微 包=1 =史=-1不滿足C-R條件所以在每一點都不可導.x二 y例 5 f z = Re z解：f z =Rez=xux, y =xvx, y =0I I- =1 #'=0不滿足C-R條件所以在每一點都不可導:x二 y例 6: f (z )= |z|2解： f(z)=|z|2 =X2 +y2其中 u x, y = x2 y2v x, y )=0根據(jù) C-R條件可得 2x = 0,2y = 0 = x = 0

6、, y = 0所以該函數(shù)在z = 0處可導4解析若f (z而z。的一個鄰域內(nèi)都可導，此時稱f(z )在z。處解析。 口 I j ,用C-R條件必須明確u,v四則運算 f_g = f -g f g z = f g g z IF.-/ !r(f g ) = f' g + f g ' (ez ) =ez例：證明 f z = ez ez = ez解：f z =ez = excosy iexsin y貝U u x, y = ex cos y v x, y = ex sin y = ex cos y = = ex cos y 二 xcy- -=-ex sin y = -v = -exsin

7、 y 任一點 z = x * iy 處滿足 C-R條件- y二 x所以 ez處處解析(z )=更 + i 史=ex cos y +iex sin y = ez ；:x；:x練習：求下列函數(shù)的導數(shù)解：f(z)=z2 z = (x2 + y2 儀+iy )=x3+ix2y + xy2+iy3 = x3 + xy2+i(x2y + y3)u(x, y )=x3 +xy2 v(x, y )= x2 y + y3所以-=3x2 + y2 - = x2 +3y2 x.:y=2xy- = -2xy根據(jù)C-R方程可得= 3x2+ y2 = = x2 +3y2.:yfxjx；:y所以當z = 0時f(z將在導數(shù)

8、且導數(shù)為0,其它點不存在導數(shù)。初等函數(shù)I常數(shù)H指數(shù)函數(shù)ez = ex cosy i sin y定義域 ez1 ez2 =ez1e2 ez42" = ez(cos2n+isin 2n )=ez (ez ) =ez II I .HI對數(shù)函數(shù)稱滿足z =eco的與叫做z的對數(shù)函數(shù)，記作6=lnz 分類：類比n/z的求法（經(jīng)驗）目標：尋找 包中=argco幅角主值可用:z=e z=rei1=u iv過程:iv ei 一u i e iv=re 尸 r=e,e =e所以。=u +iv = ln r +i ® +2kn )= ln r + iArgz = ln z +i(argz + 2

9、kn )k = 0,±1,±2 例：求 Ln(-1 )Ln (1+i )Ln(i )的值IV募函數(shù)對于任意復數(shù)a ,當z#0時=0,_1,-2 i 一 2例1:求i -i , u iv uz = re 一 - e 二 e e+的值 解：i1i =eln=e1iLni =1' ln"'" =e例 2：求 1.i 3 i =eln1,3r =e3 il=eV三角函數(shù)僅供個人學習參考定義：對于任意復數(shù)z = x+iy,由關(guān)系式可得z的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)例：求 sin 1 i cos 5 i解：sin(1+i )=工 Si"LeT

10、9;) 2i第三章復變函數(shù)的積分1復積分定理3.1設C是復平面上的逐段光滑曲線f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在C上連續(xù)，則If (z )=u(x, y )+iv(x, y )在 C上可積，且有 1 f (z)dz = .Qu(x, y dx-v(x, y )dy + i u(x,y dy+ v(x, y )dx 注：C是線方式跟一元一樣方法一：思路：復數(shù)一實化,_ L -. .把函數(shù)f (z)=u+iv與微分dz = dx + idy相乘，可得,方法二：參數(shù)方程法核心：把 C參數(shù)C: zt ：- <t < -例：求 fzdzC: 0- 1+i 的直線段 0C1T 1 ； 1

11、C2T1+i ,c角單： C: z t ,;-t it 0 MtM 1 C1 : zt )=t 0 <t <1結(jié)果不一樣2柯西積分定理 I I ：1 2刑 n =1例：17dz = 3C(z-a0 n#1C：以a為圓心，p為半徑的圓，方向：逆時針：ei”dz =2二七：ie% )dn解：C: z = a Pei z = x iy 0 _ 1 _ 2二積分與路徑無關(guān)：單聯(lián)通處處解析Kz=8 %x = a® sin8 )y = a 1 - cos-例：求(2z2 +8z+ldz,其中C是連接。到點(0,2m )的擺線: C解：已知，直線段L與C構(gòu)成一條閉曲線。因f(z)=2z

12、2+8z+1在全平面上解析, 僅供個人學習參考貝 U2z2 8z 1dz = 0C TL即 c 2z9z2 dz =2二i z - - i9 - z 8z 1dz = L 2z2 8z 1dz把函數(shù)沿曲線C的積分化為沿著直線段L上的積分。由于故 2z2 8z 1 dz = 2二a - -： 2a2 8 ：a 1 iC3關(guān)鍵：恰當參數(shù)合適準確帶入 z3不定積分定義3.2設函數(shù)f(z"區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，若D內(nèi)的一個函數(shù)中(z)滿足條件z定理3.7若可用上式，則f f(zdz = G(z)(z0 )z,z0 w D.z。 i例：計算oezdz,ii .解： f ezdz =ez =e'

13、 -1 002 i 2 一練習：計算ze3z 1dz1dz2z3e zi2 123z2 1 21 2 i 3z2 12. 4i -1e d(z )= ed(3z +1 )=6 224柯西積分公式僅供個人學習參考定理處處解析f(z件簡單|用曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)則f(a )= czf：dz例1:Jz =Tzez -1dziz艮zz .e 1dz = ez -1= 0ziz-0zf例2:解：f 1;sin zdz+ z2 -1sin z ,1 sin zdz 二z2 -12 izl z -1,1 sin zdz -2 izl z - 1dz = 2i sin1例3:'z|=2 (9 - z

14、f (z + 7 )dz解:z=-i-z-dz = 士9一 z2(z+7)'zHz注：C: z D解:找到f (z)f(z底D內(nèi)處處解析sinz z , dzizl2zz-1sin z zsinz z2.2sin z z sin z z=dz -4 dz = 2 i zz -1z| z-02z-25解析函數(shù)的高階導數(shù)公式：f nn!zw =r sin1 1-Jn! fz Ni Tzn1應用要點：z-D精準分離sin z一2.例：一 z|m z _0 2 1 Z2ni fsinz、-2!、2 J $=06調(diào)和函數(shù)若g(x, y滴足Ag-2- 2:gs g. 2. 2x二 y=0則稱g(x

15、,y)叫做D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)若f (z六u(x, y )+iv(x, y )在D內(nèi)解析.2 2-2所以二 u二 u二v r =-2- 2:x：vx二yex .y把u,v稱為共腕調(diào)和函數(shù)第四章級數(shù)理論1復數(shù)到Q匕距離d(z,0 >|z -<G談極限對 1若有z0 W D使彳d d(zn,Zo )= zn - z0 T 0 (nT8)此時zo為zn )的極限點記作4 = lim zn或zn t zo (n-s s)n 1二：推廣：對一個度量空間(x,d沛B可談極限2極限的性質(zhì)3zn =Xniyn > zo = X° Ty0 n .二4 J級數(shù)問題I / /I ,zSn =乙

16、+z2 +z3 + zn fen 部分和數(shù)列qQ若lim Sn =So = £ zn則4收斂，反之則發(fā)散。n一產(chǎn)na II I .性質(zhì)：1若£ zn £%都收斂，則 臣zn )±(Z儲)=£七±。n收斂2若一個收斂，一個發(fā)散，可推出發(fā)散3'Sn T SoSn+-> Son二若£ an|<= £ an絕對收斂! I右:Z an =+8但工an收斂，為條件收斂等比級數(shù)：Sn =z + z2 + +zn-'J :1 -zSn T z 1時收斂，其他發(fā)散(nT8)1。zqQ幕級數(shù)-Cn z-zo

17、 n n oQO=z - zo 則 Z Cnn n =o求收斂域=lim Cn1 5 Cn0 :二：二.二=& 色=0上=-hscn解：因為limCn 1例：求匚二的收斂半徑及收斂圓= lim =1所以級數(shù)的U斂半徑為R=1,收斂圓為z<1 ny1泰勒級數(shù)泰勒定理：設函數(shù)f (z而圓K:z-z0 k R內(nèi)解析，則f (z)在K內(nèi)可以展成幕級數(shù)0flf z 八 Cn z-z。n 0n其中，cn =f n Zon!,(n=0,1,2 ),且展式還是唯一的。例1:求f(z)=ez在z=0處的泰勒展式 解：f(z)=ez 在全平面上解析，f(nz) = ez, f(n0)=1 所以在z

18、= 0處的泰勒展式為1.一一例2:將函數(shù)f(z)=2展成z-i的號級數(shù)1 -z-1斛：f z )=：1 - z2(1-i) 一. n z-i ! I + ,1 i )羅朗級數(shù) 羅朗定理若函數(shù)f (z心圓環(huán)D： r < z - z0 < R(0 < r < R <00 )內(nèi)解析,OQ則當 zW D 時，有 f(z)= Z Cn(z-z0尸其中 cn=；±L n=0,1,2例：將函數(shù)f(z) =1在圓環(huán)(1) 1<|z<2(2) 2<|z<十的z -1 z -2內(nèi)展成羅朗級數(shù)。一，一， ,一 1 z ,一一 一解：(1)在1 <

19、 z <2內(nèi)，由于<1, 土 <1 ,所以(2)在2<z <一 -12十°°內(nèi)，由于一<1,一<1,所以孤立奇點定義：若函數(shù)f (z底Z0的去心鄰域0<z-Zo <R(0cRE+8 )內(nèi)解析，在Z0點不解析，則稱Z0為f(z)的孤立奇點。2n+z = 0為可去奇點2n 1!_2_4Sin zzzn例：=1 - -1z3!5!2n 3-z + +(-1 JA+ z = 0為一級極點3!2n -1 !.1111彳 n11Sin = + +(-1 ) -2nr + z = 0為本性田點 z z 3! z2n -1 ! z第5章

20、留數(shù)理論(殘數(shù))定義：設函數(shù)f(z )以有限項點z。為孤立奇點，即f(z)在z。的去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)解析，則稱積分工i f (z dz的值為函數(shù)f (z施點z0處的留數(shù)2 二i C I1記作：Re s f z , z0f z dz2二i C其中，C:|z-z°|=P<R, C的方向是逆時針。例1:求函數(shù)f(z)=§n三在z = 1處的留數(shù)。z t1解：因為z4-1以z =1為一級零點，而sin1#0,因此f(z )以z = 1為一級極點。 I Iz 1例2:求函數(shù)f(z)=e z在z = 0處的留數(shù)解：z=0是f(z )的本性奇點，因為1111

21、所以C4=1 -!2! 2!3! n -1! n!111可得 Res f z ,0 =1 2! 2!3! n -1!n!第7章傅里葉變換通過一種途徑使復雜問題簡單化，以便于研究。定義：對滿足某些條件的函數(shù)f(t %(-叼)上有定義，則稱Fg )=廣>« )e-dt為傅里葉變換。同時f (t )= r*f (t>e描d。為傅里葉逆變換 注：傅里葉變換是把函數(shù)f (t餞為函數(shù)F電)傅里葉逆變換是把函數(shù)F儂波為函數(shù)f (t )e：x：- 0 a求傅里葉變換或傅里葉逆變換，關(guān)鍵是計算積分 兩種常見的積分方法：湊微分、分部積分1復習積分： e - dx = e-di&x = a1一 cos 7x 1 sin 7x 1 dxsin 7x 1 d 7x 1 =77-2- x e ，dx =2e3x % x2 = 1 e623x2