1、第26章 解直角三角形一、選擇題1tan60°的值等于（）A1BCD22如圖，在ABC中，C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）ABCD3如圖，已知45°A90°，則下列各式成立的是（）AsinA=cosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA4如圖，AB為斜坡，D是斜坡AB上一點，斜坡AB的坡度為i，坡角為，ACBM于點C，下列式子：i=AC：AB；i=（ACDE）：EC；i=tan=；AC=iBC，其中正確的有（）A1個B2個C3個D4個5菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示AOC=45°，OC=，則

2、點B的坐標為（）A（，1）B（1，）C（ +1，1）D（1， +1）6如圖，先鋒村準備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A5cosBC5sinD7堤的橫斷面如圖堤高BC是5米，迎水斜坡AB的長時13米，那么斜坡AB的坡度是（）A1：3B1：2.6C1：2.4D1：28王師傅在樓頂上的點A處測得樓前一棵樹CD的頂端C的俯角為60°，又知水平距離BD=10m，樓高AB=24m，則樹高CD為（）A（2410）mB（24）mC（245）mD9m9某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距20海里客

3、輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達B處，那么tanABP=（）AB2CD10身高相等的四名同學甲、乙、丙、丁參加風箏比賽，四人放出風箏的線長、線與地面的夾角如下表（假設風箏線是拉直的），則四名同學所放的風箏中最高的是（）同學甲乙丙丁放出風箏線長140m100m95m90m線與地面夾角30°45°45°60°A甲B乙C丙D丁11如圖，在等腰RtABC中，C=90°，AC=6，D是AC上一點，若tanDBA=，則AD的長為（）A2BCD112如圖，在熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別為30°、45

4、6;，熱氣球C的高度CD為100米，點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（）A200米B200米C220米D米二、填空題13如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現設計斜坡BC的坡度i=1：5，則AC的長度是cm14如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，則船與觀測者之間的水平距離BC=米15如圖所示，一水庫迎水坡AB的坡度i=1：，則該坡的坡角a=度16在ABC中，A，B都是銳角，且滿足|sinA|+（cosB）2=0，則C的度

5、數為17將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是18如圖，正方形ABCD的邊長為2，過點A作AEAC，AE=1，連接BE，則tanE=三、解答題（共66分）19根據下列條件解直角三角形：（1）在RtABC中，C=90°，b=4，c=8；（2）在RtABC中，C=90°，A=60°，SABC=1220如圖，在ABC中，C=90°，sinA=，D為AC上一點，BDC=45°，DC=6，求AB的長21如圖，在RtABC中，C=90°，D是BC的中點，DEAB于E，tanB=，且AE=6，求DE的長22如圖所示，一條自西向東的觀光大道l上有A

6、、B兩個景點，A、B相距2km，在A處測得另一景點C位于點A的北偏東60°方向，在B處測得景點C位于景點B的北偏東45°方向，求景點C到觀光大道l的距離（結果精確到0.1km）23某山區計劃修建一條通過小山的公路，經測量，如圖，從山底B到山頂A的坡角是30°，斜坡AB長為100米根據地形，要求修好的公路路面BD的坡度為i=1：5（假定A，D兩點處于同一直線上）為了減少工程量，若AD20米，則直接開挖修建公路；若AD20米，就要重新設計問這段公路是否需要重新設計？24水利部門為加強防汛工作，決定對某水庫大壩進行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD如圖所示，已知迎水坡面A

7、B的長為16米，B=60°，背水坡面CD的長為米，加固后大壩的橫截面積為梯形ABED，CE的長為8米（1）已知需加固的大壩長為150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大壩背水坡面DE的坡度25如圖，有一艘漁船在捕魚作業時出現故障，急需搶修，調度中心通知附近兩個小島A、B上的觀測點進行觀測，從A島測得漁船在南偏東37°方向C處，B島在南偏東66°方向，從B島測得漁船在正西方向，已知兩個小島間的距離是72海里，A島上維修船的速度為每小時20海里，B島上維修船的速度為每小時28.8海里，為及時趕到維修，問調度中心應該派遣哪個島上的維修船？（參考數據：cos3

8、7°0.8，sin37°0.6，sin66°0.9，cos66°0.4）26如圖，蘭蘭站在河岸上的G點，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來，此時，測得小船C的俯角是FDC=30°，若蘭蘭的眼睛與地面的距離是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直線，迎水坡的坡度i=4：3，坡長AB=10米，求小船C到岸邊的距離CA的長？（參考數據：，結果保留兩位有效數字）第26章 解直角三角形參考答案與試題解析一、選擇題1tan60°的值等于（）A1BCD2【考點】特殊角的三角函數值【分析】根據記憶的特殊角的三角函數值即可得出答案【解答】

9、解：tan60°=故選C【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，一些特殊角的三角函數值是需要我們熟練記憶的內容2如圖，在ABC中，C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）ABCD【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理【分析】本題可以利用銳角三角函數的定義求解，sinA為A的對邊比上斜邊，求出即可【解答】解：在ABC中，C=90°，AB=13，BC=5，sinA=故選A【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊3如圖，已知45°A90°，則下列各式成立的是（

10、）AsinA=cosABsinAcosACsinAtanADsinAcosA【考點】銳角三角函數的增減性【分析】根據題意比較AC和BC的大小，根據銳角三角函數的概念寫出A的3個三角函數，比較得到答案【解答】解：45°A90°，ACBC，sinA=，cosA=，tanA=，cosAsinAtanA，故選：B【點評】本題考查的是銳角三角函數的概念和性質，根據銳角三角函數的概念比較各個三角函數的增減性是解題的關鍵4如圖，AB為斜坡，D是斜坡AB上一點，斜坡AB的坡度為i，坡角為，ACBM于點C，下列式子：i=AC：AB；i=（ACDE）：EC；i=tan=；AC=iBC，其中正確

11、的有（）A1個B2個C3個D4個【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【分析】根據坡度的定義i=tan=解答即可【解答】解：ACBM于點C，DEBC于E，i=tan=，AC=iBC，DE=iBE，ACDE=iBCiBE=CEi，i=，正確，故選C【點評】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記坡度的定義是解題的關鍵5菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示AOC=45°，OC=，則點B的坐標為（）A（，1）B（1，）C（ +1，1）D（1， +1）【考點】坐標與圖形性質；菱形的性質【專題】數形結合【分析】根據菱形的性質，作CDx軸，先求C點坐標，然后求得點B的坐標【解答】

12、解：作CDx軸于點D，四邊形OABC是菱形，OC=，OA=OC=，又AOC=45°OCD為等腰直角三角形，OC=，OD=CD=OC×sinCOD=OC×sin45°=1，則點C的坐標為（1，1），又BC=OA=，B的橫坐標為OD+BC=1+，B的縱坐標為CD=1，則點B的坐標為（+1，1）故選：C【點評】本題綜合考查了菱形的性質和坐標的確定，綜合性較強6如圖，先鋒村準備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A5cosBC5sinD【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【專題】壓軸題【分析】利用所給的角

13、的余弦值求解即可【解答】解：BC=5米，CBA=AB=故選：B【點評】此題主要考查學生對坡度、坡角的理解及運用7堤的橫斷面如圖堤高BC是5米，迎水斜坡AB的長時13米，那么斜坡AB的坡度是（）A1：3B1：2.6C1：2.4D1：2【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【分析】坡度=垂直距離÷水平距離【解答】解：由勾股定理得：AC=12米則斜坡AB的坡度=BC：AC=5：12=1：2.4故選C【點評】此題主要考查學生對坡度的理解及運用8王師傅在樓頂上的點A處測得樓前一棵樹CD的頂端C的俯角為60°，又知水平距離BD=10m，樓高AB=24m，則樹高CD為（）A（2410）

14、mB（24）mC（245）mD9m【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題【分析】過C作AB的垂線，構造矩形和直角三角形運用三角函數求AE然后求解【解答】解：作CEAB于E，則BD=CE由俯角為60°，可知FAC=60°，ACE=60°BD=10m，EC=10m在RtAEC中，AE=10mBE=ABAE=（2410）mCD=（2410）m故選A【點評】考查利用銳角三角形函數求物體的高度以及俯角的定義9某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距20海里客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達B處，那么

15、tanABP=（）AB2CD【考點】解直角三角形的應用-方向角問題【分析】根據題意作出圖形后知道北偏東30°與北偏西60°成直角，利用正切的定義求值即可【解答】解：燈塔A位于客輪P的北偏東30°方向，且相距20海里PA=20客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60°方向航行小時到達B處，APB=90° BP=60×=40tanABP=故選A【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是根據實際問題整理出直角三角形并利用正切的定義求值10身高相等的四名同學甲、乙、丙、丁參加風箏比賽，四人放出風箏的線長、線與地面的夾角如下表（假設風箏線

16、是拉直的），則四名同學所放的風箏中最高的是（）同學甲乙丙丁放出風箏線長140m100m95m90m線與地面夾角30°45°45°60°A甲B乙C丙D丁【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【專題】計算題【分析】根據題意畫出圖形，分別利用解直角三角形的知識求出風箏的高再進行比較即可【解答】解：如圖，甲中，AC=140m，C=30°，AB=140×sin30°=70m；乙中，DF=100m，D=45°，DE=100×sin45°=5070.71m；丙中，GI=95m，I=45°，GH=9

17、5×sin45°=67.18m；丁中，JL=90m，L=60°，JK=90×sin60°=4577.9m可見JK最大，故選D【點評】此題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，畫出圖形，直接根據解直角三角形的知識解答即可，要熟悉特殊角的三角函數值11如圖，在等腰RtABC中，C=90°，AC=6，D是AC上一點，若tanDBA=，則AD的長為（）A2BCD1【考點】解直角三角形；等腰直角三角形【分析】作DEAB于E，先根據腰直角三角形的性質得到AB=AC=6，A=45°，設AE=x，則DE=x，AD=x，在RtBED中，利用D

18、BE的正切得到BE=5x，然后由AE+BE=AB可計算出x=，再利用AD=x進行計算【解答】解：作DEAB于E，如圖，C=90°，AC=BC=6，ACB為等腰直角三角形，AB=AC=6，A=45°，在RtADE中，設AE=x，則DE=x，AD=x，在RtBED中，tanDBE=，BE=5x，x+5x=6，解得x=，AD=×=2故選A【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形也考查了等腰直角三角形的性質12如圖，在熱氣球C處測得地面A、B兩點的俯角分別為30°、45°，熱氣球C的高度CD為100米，

19、點A、D、B在同一直線上，則AB兩點的距離是（）A200米B200米C220米D米【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題【分析】在熱氣球C處測得地面B點的俯角分別為45°，BD=CD=100米，再在RtACD中求出AD的長，據此即可求出AB的長【解答】解：在熱氣球C處測得地面B點的俯角分別為45°，BD=CD=100米，在熱氣球C處測得地面A點的俯角分別為30°，AC=2×100=200米，AD=100米，AB=AD+BD=100+100=100（1+）米，故選D【點評】本題考查了解直角三角形的應用仰角、俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直

20、角三角形二、填空題13如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現設計斜坡BC的坡度i=1：5，則AC的長度是cm【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【分析】首先過點B作BDAC于D，根據題意即可求得AD與BD的長，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的長，繼而求得答案【解答】解：過點B作BDAC于D，根據題意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），斜坡BC的坡度i=1：5，BD：CD=1：5，CD=5BD=5×54=270（cm），AC

21、=CDAD=27060=210（cm）AC的長度是210cm故答案為：210【點評】此題考查了解直角三角形的應用：坡度問題此題難度適中，注意掌握坡度的定義，注意數形結合思想的應用與輔助線的作法14如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，則船與觀測者之間的水平距離BC=米【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題【分析】根據解直角三角形的應用，測得它的俯角為45°，利用得出AC=BC，即可得出答案【解答】解：在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，船與觀測者之間的水平距離BC=A

22、C=100米故答案為：100米【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，根據已知得出AC=BC是解決問題的關鍵15如圖所示，一水庫迎水坡AB的坡度i=1：，則該坡的坡角a=度【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【分析】坡角的正切值即為坡度，由此可求得a的度數【解答】解：由題意，設坡角，tana=i=，故坡角a=30°故答案為：30【點評】此題需要注意的是：坡度（即坡比）等于坡角的正切值；不要混淆概念16在ABC中，A，B都是銳角，且滿足|sinA|+（cosB）2=0，則C的度數為【考點】特殊角的三角函數值；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：偶次方【分析】由非負數的性質可知：s

23、inA=，cosB=，從而可求得A，B的度數，然后由三角形的內角和定理可求得C的度數【解答】解：|sinA|+（cosB）2=0，sinA=，cosB=A=45°，B=30°由三角形的內角和是180°可知C=180°30°45°=105°故答案為：105°【點評】本題主要考查的是特殊銳角三角函數值、三角形的內角和定理、非負數的性質的應用，求得A，B的度數是解題的關鍵17將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是【考點】相似三角形的判定與性質【分析】由BAC=ACD=90°，可得ABCD，即可證得ABEDCE

24、，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得：，然后利用三角函數，用AC表示出AB與CD，即可求得答案【解答】解：BAC=ACD=90°，ABCD，ABEDCE，在RtACB中B=45°，AB=AC，在RtACD中，D=30°，CD=AC，=故答案為：【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質與三角函數的性質此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用18如圖，正方形ABCD的邊長為2，過點A作AEAC，AE=1，連接BE，則tanE=【考點】正方形的性質；勾股定理；銳角三角函數的定義【專題】壓軸題【分析】延長CA使AF=AE，連接BF，過B點作BGAC，垂足為G，根據題干條

25、件證明BAFBAE，得出E=F，然后在RtBGF中，求出tanF的值，進而求出tanE的值【解答】解：延長CA使AF=AE，連接BF，過B點作BGAC，垂足為G，四邊形ABCD是正方形，CAB=45°，BAF=135°，AEAC，BAE=135°，BAF=BAE，在BAF和BAE中，BAFBAE（SAS），E=F，四邊形ABCD是正方形，BGAC，G是AC的中點，BG=AG=2，在RtBGF中，tanF=，即tanE=故答案為：【點評】本題主要考查了正方形的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理，此題能正確作出輔助線也是解答關鍵所在，此題是一道不錯的中

26、考試題三、解答題（共66分）19根據下列條件解直角三角形：（1）在RtABC中，C=90°，b=4，c=8；（2）在RtABC中，C=90°，A=60°，SABC=12【考點】解直角三角形【分析】（1）可先求得B，進而可求出A的度數，利用勾股定理再求得a即可；（2）先求得B，再根據邊之間的關系可用a和b表示出面積，從而求得a、b，再求得c即可【解答】解：（1）sinB=，B=30°，A=90°B=60°a=4（2）由A+B=90°，得B=30°SABC=12，ab=12，ab=24又tan A=tan 60

27、6;=，a=b，b2=24，b=2，c=2b=4，a=6【點評】本題主要考查特殊角的三角函數值及勾股定理，掌握含30°、60°角的直角三角形的性質是解題的關鍵20如圖，在ABC中，C=90°，sinA=，D為AC上一點，BDC=45°，DC=6，求AB的長【考點】解直角三角形【專題】計算題【分析】由已知得BDC為等腰直角三角形，所以CD=BC=6，又因為已知A的正弦值，即可求出AB的長【解答】解：C=90°，BDC=45°BC=CD=6又sinA=AB=6÷=15【點評】直角三角形知識的牢固掌握和三角函數的靈活運用21如圖，

28、在RtABC中，C=90°，D是BC的中點，DEAB于E，tanB=，且AE=6，求DE的長【考點】解直角三角形【分析】設CD=x，分別用x表示AB，BE的長，即可求得x的值，根據tanB=即可解題【解答】解：設CD=x，則BC=2x，tanB=，AC=x，AB=x，BD=x，BE=x，AE=ABBE，x=6，BD=2，DE=BD=2【點評】本題考查了直角三角形中三角函數的計算，考查了三角函數值在直角三角形中的運用，本題中求得BD的長是解題的關鍵22如圖所示，一條自西向東的觀光大道l上有A、B兩個景點，A、B相距2km，在A處測得另一景點C位于點A的北偏東60°方向，在B處

29、測得景點C位于景點B的北偏東45°方向，求景點C到觀光大道l的距離（結果精確到0.1km）【考點】解直角三角形的應用-方向角問題【分析】過點C作CDl于點D，設CD=xkm先解直角ACD，得出AD=CD=xkm，再解直角BCD，得出BD=CD=xkm，然后根據ADBD=AB，列出關于x的方程，解方程即可【解答】解：如圖，過點C作CDl于點D，設CD=x km在ACD中，ADC=90°，CAD=30°，AD=CD=x km在BCD中，BDC=90°，CBD=45°，BD=CD=x kmADBD=AB，xx=2，x=+12.7（km）故景點C到觀光

30、大道l的距離約為2.7km【點評】本題考查三角形知識的實際運用，難度適中，通過作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵23某山區計劃修建一條通過小山的公路，經測量，如圖，從山底B到山頂A的坡角是30°，斜坡AB長為100米根據地形，要求修好的公路路面BD的坡度為i=1：5（假定A，D兩點處于同一直線上）為了減少工程量，若AD20米，則直接開挖修建公路；若AD20米，就要重新設計問這段公路是否需要重新設計？【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【分析】將原題抽象為關于直角三角形ABC和直角三角形DBC的問題進行解答，求出AC的長，再求出AD的長，算出其差，即可判斷AD是否大于20米，然后再

31、作判斷【解答】解：在RtABC中，AB=100米，則AC=100×=50米，BC=ABcos30°=100×=50米，又因為BD的坡度是1：5，則=，解得DC=10米，于是有AD=ACDC=50103220，需要重新設計【點評】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，將原問題轉化為解直角三角形的問題是解答此類問題的基本思路24水利部門為加強防汛工作，決定對某水庫大壩進行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD如圖所示，已知迎水坡面AB的長為16米，B=60°，背水坡面CD的長為米，加固后大壩的橫截面積為梯形ABED，CE的長為8米（1）已知需加固的大壩長為15

32、0米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大壩背水坡面DE的坡度【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題【分析】（1）分別過A、D作下底的垂線，設垂足為F、G在RtABF中，已知坡面長和坡角的度數，可求得鉛直高度AF的值，也就得到了DG的長；以CE為底，DG為高即可求出CED的面積，再乘以大壩的長度，即為所需的填方體積；（2）在RtCDG中，由勾股定理求CG的長，即可得到GE的長；RtDEG中，根據DG、GE的長即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比【解答】解：（1）分別過A、D作AFBC，DGBC，垂點分別為F、G，如圖所示在RtABF中，AB=16米，B=60°，sinB=

33、，在矩形AFGD中，AF=16×=8（米），DG=8米SDCE=×CE×DG=×8×8=32（平方米）需要填方：150×32=4800（立方米）；（2）在直角三角形DGC中，DC=16米，GC=24米，GE=GC+CE=32米，坡度i=DG：GE=8：32=：4【點評】此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力解題的關鍵是牢記坡度是豎直高度與水平寬度的比值25如圖，有一艘漁船在捕魚作業時出現故障，急需搶修，調度中心通知附近兩個小島A、B上的觀測點進行觀測，從A島測得漁船在南偏東37°方向C處，B島在南偏東66°方向，從B島測得漁船在正西方向