1、精選優質文檔-傾情為你奉上第四節基本不等式知識能否憶起一、基本不等式1基本不等式成立的條件：a0，b0.2等號成立的條件：當且僅當ab時取等號二、幾個重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同號)ab2(a，bR)；2(a，bR)三、算術平均數與幾何平均數設a0，b0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數調和平均數 幾何平均數 算術平均數 平方平均數四、利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy

2、時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)小題能否全取1(教材習題改編)函數yx(x0)的值域為()A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)解析：選Cx0，yx2，當且僅當x1時取等號2已知m0，n0，且mn81，則mn的最小值為()A18 B36C81 D243解析：選Am0，n0，mn218.當且僅當mn9時，等號成立3(教材習題改編)已知0x1，則x的最小值為_解析：xx11415.當且僅當x1，即x3時等號成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，則z的最小值為_解析：由已知條件lg xlg y1，可得xy10.則2 2，故min2，當且僅當2y5x時取等號又xy10，即x2

3、，y5時等號成立答案：21.在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤2對于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用和使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和ab的轉化關系3運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等利用基本不等式求最值典題導入例1(1)已知x0，則f(x)2x的最大值為_(2)(浙江高考)若正數x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A.

4、B.C5 D6自主解答(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，當且僅當x，即x2時等號成立f(x)2242，f(x)的最大值為2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當且僅當x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.答案(1)2(2)C本例(2)條件不變，求xy的最小值解：x0，y0，則5xyx3y2，xy，當且僅當x3y時取等號xy的最小值為.由題悟法用基本不等式求函數的最值，關鍵在于將函數變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時，一種方法是消元，轉化為函數最值；另一種方法是將要求最值的表達式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達式放縮為

5、一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等號成立的條件以題試法1(1)當x0時，則f(x)的最大值為_(2)(天津高考)已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實數m的最大值是_解析：(1)x0，f(x)1，當且僅當x，即x1時取等號(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b23(當且僅當3a32b，即a2b時取等號)又a2b24(當且僅當a2b時取等號)，3a9b23218.即當a2b時，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得

6、m28，即m10.故m的最大值為10.答案：(1)1(2)18(3)10 利用基本不等式解決恒成立問題(山東)若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_審題視點 先求(x0)的最大值，要使得a(x0)恒成立，只要(x0)的最大值小于等于a即可解析 若對任意x0，a恒成立，只需求得y的最大值即可，因為x0，所以y，當且僅當x1時取等號，所以a的取值范圍是答案 當不等式一邊的函數(或代數式)的最值較易求出時，可直接求出這個最值(最值可能含有參數)，然后建立關于參數的不等式求解【訓練3】 (宿州模擬)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實數m的最大值是_解析 由x0，y0，xyx2y2

7、，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值為10.答案 10閱卷報告8忽視基本不等式成立的條件致誤【問題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點，其中使用的條件是“一正、二定、三相等”，在使用時一定要注意這個條件，而有的考生對基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時出現多次使用不等式時等號成立的條件相矛盾.,【防范措施】 盡量不要連續兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時應保證兩次等號成立的條件同時相等.【示例】已知a0，b0，且ab1，求的最小值錯因 兩次基本不等式成立的條件不一致實錄 a0，b0，且ab1，ab2.又2 ，而ab，4，24，故的最小值為4.正解 a0，b0

8、，且ab1，(ab)1232 32.當且僅當即時，的最小值為32.易錯提醒1.解答本題易兩次利用基本不等式，但它們成立的條件不同，這顯然是不能同時成立的，故不正確.2.使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.3.在運用基本不等式時，還要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.【試一試】 (四川)設ab0，則a2的最小值是( )A1 B2 C3 D4嘗試解答 a2a2ababa(ab)ab2 2 224.當且僅當a(ab)且ab，即a2b時，等號成立答案 D基本不等式的實際應

9、用典題導入例2(江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點已知炮彈發射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(1)求炮的最大射程；(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由自主解答(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實際意義和題設條件知x0，k0，故x10，當且僅當k1時取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因為a0，所以炮彈可擊中目標存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立

10、關于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當a不超過6千米時，可擊中目標由題悟法利用基本不等式求解實際應用題的方法(1)問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如“物價、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數學模型，轉化為數學問題求解(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據變量的范圍用對應函數的單調性求解.以題試法2(2012福州質檢)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件(1)據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要

11、使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元公司擬投入(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價解：(1)設每件定價為t元，依題意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元(2)依題意，x25時，不等式ax25850(x2600)x有解，

12、等價于x25時，ax有解x2 10(當且僅當x30時，等號成立)，a10.2.因此當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元1已知f(x)x2(x0)，則f(x)有 ()A最大值為0B最小值為0C最大值為4 D最小值為4解析：選Cx0，f(x) 2224，當且僅當x，即x1時取等號2(太原模擬)設a、bR，已知命題p：a2b22ab；命題q：2，則p是q成立的()A必要不充分條件 B充分不必要條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B命題p：(ab)20ab；命題q：(ab)20.顯然，由p可得q成立，

13、但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要條件3函數y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2解析：選Ax1，x10.yx122 222.當且僅當x1，即x1時，取等號4(陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(ab)，其全程的平均時速為v，則()Aav BvC.v Dv解析：選A設甲、乙兩地的距離為s，則從甲地到乙地所需時間為，從乙地到甲地所需時間為，又因為ab，所以全程的平均速度為va，即av0，b0，且不等式0恒成立，則實數k的最小值等于()A0 B4C4 D2解析：選C由0得k，而24(ab時取等號)，所以4，因此要使k恒成立，應有k4，即實數k的最小值等于4.7已知x

14、，y為正實數，且滿足4x3y12，則xy的最大值為_解析：124x3y2，xy3.當且僅當即時xy取得最大值3.答案：38已知函數f(x)x(p為常數，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實數p的值為_解析：由題意得x10，f(x)x1121，當且僅當x1時取等號，因為f(x)在(1，)上的最小值為4，所以214，解得p.答案：9(朝陽區統考)某公司購買一批機器投入生產，據市場分析每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關系為yx218x25(xN*)則當每臺機器運轉_年時，年平均利潤最大，最大值是_萬元解析：每臺機器運轉x年的年平均利潤為18，

15、而x0，故1828，當且僅當x5時，年平均利潤最大，最大值為8萬元答案：5810已知x0，a為大于2x的常數，(1)求函數yx(a2x)的最大值；(2)求yx的最小值解：(1)x0，a2x，yx(a2x)2x(a2x)2，當且僅當x時取等號，故函數的最大值為.(2)y2 .當且僅當x時取等號故yx的最小值為.11正數x，y滿足1.(1)求xy的最小值；(2)求x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，當且僅當，即y9x18時取等號，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x2y(x2y)19192 196，當且僅當，即9x22y2時取等號，故x2y的最小值為196.12為了響應國家號召，某地決

16、定分批建設保障性住房供給社會首批計劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1 000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費用提高20元已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑費用為800元(1)若建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為y萬元(綜合費用是建筑費用與購地費用之和)，寫出yf(x)的表達式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費用最低，應把樓層建成幾層？此時平均綜合費用為每平方米多少元？解：(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費用為720元，建筑第1層樓房建筑費用為7201 000720 000(元)72 (萬元)，樓房每升高一層，整層

17、樓建筑費用提高201 00020 000(元)2(萬元)，建筑第x層樓房的建筑費用為72(x1)22x70(萬元)，建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為yf(x)72x2100x271x100，綜上可知yf(x)x271x100(x1，xZ)(2)設該樓房每平方米的平均綜合費用為g(x)，則g(x)10x7102 710910.當且僅當10x，即x10時等號成立綜上可知應把樓層建成10層，此時平均綜合費用最低，為每平方米910元1(浙江聯考)已知正數x，y滿足x2(xy)恒成立，則實數的最小值為()A1B2C3 D4解析：選B依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當且僅當x2y時取等號)，即的

18、最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.2設x，y，z為正實數，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由已知條件可得y，所以3，當且僅當xy3z時，取得最小值3.答案：33某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1 800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？(2)某提供面粉的公司規定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優惠，問該廠是否考慮利用此優惠條件？請說明理由解：(1)設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意可知，面粉的保管等其他費用為36x6(x1)6(x2)619x(x1)，設平均每天所支付的總費用為y1元，則y11 80069x10 8092 10 80910 989，當且僅當9x，即x10時取等號即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少(2)因為不少于210噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購買一次面粉設該廠利用此優惠條件后，每隔x(x