1、1數學建模與數學實驗數學建模與數學實驗 插插 值值2實驗目的實驗目的實驗內容實驗內容2、掌握用數學軟件包求解插值問題。、掌握用數學軟件包求解插值問題。1、了解插值的基本內容。、了解插值的基本內容。11一維插值一維插值22二維插值二維插值33實驗作業實驗作業3一一 維維 插插 值值一、一、插值的定義插值的定義二、插值的方法二、插值的方法三、用三、用Matlab解插值問題解插值問題返回返回4返回返回二維插值二維插值一、二維插值定義一、二維插值定義二、網格節點插值法二、網格節點插值法三、用三、用MatlabMatlab解插值問題解插值問題最鄰近插值最鄰近插值分片線性插值分片線性插值雙線性插值雙線性插

2、值網格節點數據的插值網格節點數據的插值散點數據的插值散點數據的插值5一維插值的定義一維插值的定義已知已知 n+1個節點個節點, 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不相同，不妨設互不相同，不妨設),10bxxxan求任一插值點求任一插值點)(*jxx 處的插值處的插值.*y0 x1xnx0y1y節點可視為由節點可視為由)(xgy 產生產生,，g表達式復雜表達式復雜,，或無封閉形式或無封閉形式,，或未知或未知.。*x*y6 構造一個構造一個(相對簡單的相對簡單的)函數函數),(xfy 通過全部節點通過全部節點, 即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf計算插值，即計算插值，

3、即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y返回返回7 稱為拉格朗日插值基函數拉格朗日插值基函數。n0iiiny)x(L)x(P 已知函數f(x)在n+1個點x0,x1,xn處的函數值為 y0,y1,yn 。求一n次多項式函數Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如下其中Li(x) 為n次多項式：)xx()xx)(xx()xx)(xx()xx()xx)(xx()xx)(xx()x(Lni1ii1ii1i0in1i1i10i拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值8拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值特別地特別地:兩點一次

4、兩點一次(線性線性)插值多項式插值多項式: 101001011yxxxxyxxxxxL三點二次三點二次(拋物拋物)插值多項式插值多項式: 2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL .,滿足插值條件直接驗證可知xLn9 拉格朗日多項式插值的這種振蕩現象叫 Runge現象現象55,11)(2xxxg 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節點個數n+1，其中n為插值多項式的次數，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結果圖形.例例返回返回To MatlabTo Matlablch(larg1)lch(larg1)function y=

5、lagrange(x0,y0,x)ii=1:length(x0); y=zeros(size(x);for i=ii ij=find(ii=i); y1=1; for j=1:length(ij), y1=y1.*(x-x0(ij(j); end y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij);end 算例：給出f(x)=ln(x)的數值表，用Lagrange計算ln(0.54)的近似值。 x=0.4:0.1:0.8； y=-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144; lagrange(x,y,0.54)ans = -0.6

6、161 （精確解-0.616143)11( )()nnjkkjkjj kxxy xyxxRungeRunge現象現象問題的提出：根據區間a,b上給出的節點做插值多項式p(x)的近似值，一般總認為p(x)的次數越高則逼近f(x)的精度就越好，但事實并非如此。 反例： 在區間-5,5上的各階導數存在，但在此區間上取n個節點所構成的Lagrange插值多項式在全區間內并非都收斂。 取n=10,用Lagrange插值法進行插值計算。21()1fxx x=-5:1:5; y=1./(1+x.2); x0=-5:0.1:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2);繪制圖形

7、 plot(x0,y0,-r)插值曲線 hold on plot(x0,y1,-b)原曲線13分段線性插值分段線性插值其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxL計算量與n無關;n越大，誤差越小.nnnxxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxoy14To MATLABExam_1.m返回返回66,11)(2xxxg例例用分段線性插值法求插值用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差并觀察插值誤差.1.在在-6,6中平均選取中平均選取5個點作插值個點作插值(xch11)4.在在-6,6中平均選取中平均選取41個

8、點作插值個點作插值(xch14)2.在在-6,6中平均選取中平均選取11個點作插值個點作插值(xch12)3.在在-6,6中平均選取中平均選取21個點作插值個點作插值(xch13)15比分段線性插值更光滑。比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數學上，光滑程度的定量描述是：函數(曲線)的k階導數存在且連續，則稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。三次樣條插值三次樣條插值16 三次樣條插值, 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()1022

9、3niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs) 1, 1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii)()(limxgxSng g( (x x) )為被插值函數為被插值函數。17例例66,11)(2xxxg用三次樣條插值選取用三次樣條插值選取11個基點計算插值個基點計算插值(ych)返回返回To MATLABExam_118用用MATLABMATLAB作插值計算作插值計算一維插值函數：一維插值函數：yi=interp1(x，y，xi，method)插值

10、方法插值方法被插值點被插值點插值節點插值節點xixi處的插處的插值結果值結果nearest ：最鄰近插值：最鄰近插值linear ： 線性插值；線性插值；spline ： 三次樣條插三次樣條插值；值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省時：缺省時： 分段線性插值。分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法都要求x x是單調的，并且是單調的，并且xi不不能夠超過能夠超過x的范圍。的范圍。19 例：在例：在1-121-12的的1111小時內，每隔小時內，每隔1 1小時測量一次小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：溫度，測得的溫度依次為：5 5，8 8，9 9，1515，252

11、5，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。試估計每隔。試估計每隔1/101/10小時的小時的溫度值。溫度值。To MATLAB(temp)hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); % (直接輸出數據將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)20 xy機翼下輪廓線例例 已知飛機下輪廓線上數據如下，

12、求已知飛機下輪廓線上數據如下，求x每改變每改變0.1時的時的y值。值。To MATLABExam_2返回返回21二維插值的定義二維插值的定義 xyO O第一種（網格節點）：第一種（網格節點）：22 已知已知 m n個節點個節點 ),2 , 1;,.,2 , 1(),(njmizyxijji 其中其中jiyx ,互不相同，不妨設互不相同，不妨設bxxxam 21dyyycn 21 構造一個二元函數構造一個二元函數),(yxfz 通過全部已知節點通過全部已知節點,即即再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 23第二種

13、（散亂節點）：第二種（散亂節點）： yx0 024已知已知n個節點個節點),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 構造一個二元函數構造一個二元函數),(yxfz 通過全部已知節點通過全部已知節點,即即),1 ,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz 返回返回25 注意：注意：最鄰近插值一般不連續。具有連續性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近插值最鄰近插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節點的函數值即為所

14、求。返回返回26 將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數值依次簡記為： 分片線性插值分片線性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f427插值函數為：jii1ij1jy)xx(xxyyy)yy)(ff ()xx)(ff (f)y, x(fj23i121第二片(上三角形區域)：(x, y)滿足iii1ij1jy)xx(xxyyy插值函數為：)xx)(ff ()yy)(ff (f)y, x(fi43j141注意注意：(x

15、, y)當然應該是在插值節點所形成的矩形區域內。顯然，分片線性插值函數是連續的；分兩片的函數表達式如下：第一片(下三角形區域)： (x, y)滿足返回返回28 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構成。雙線性插值函數的形式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中有四個待定系數，利用該函數在矩形的四個頂點（插值節點）的函數值，得到四個代數方程，正好確定四個系數。雙線性插值雙線性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O返回返回29 要求要求x0,y0 x0,y0單調；單調；x x，y y可取可取為矩陣，或為矩陣，或x x取取行向量，行向量，y y取為列向量

16、，取為列向量，x,yx,y的值分別不能超出的值分別不能超出x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點插值方法用用MATLAB作網格節點數據的插值作網格節點數據的插值插值節點被插值點的函數值nearestnearest 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值30例：測得平板表面例：測得平板表面3 3* *5 5網格點處的溫度分別為：網格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63

17、 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)z=f(x,y)的圖形。的圖形。輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標畫出原始數據，畫出粗糙的溫度分布曲圖.2以平滑數據,在x、y方向上每隔0.2個單位的地方進行插值.31再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temp

18、s,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. To MATLABExam_332To MATLAB exam_5返回返回33 插值函數插值函數griddata格式為格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散點數據的插值計算作散點數據的插值計算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量取為列向量。被插值點插值方法插值節點被插值點的函數值nearestnearest 最鄰近插值最鄰近插值linearlinear 雙線性插值雙線性插值cubiccubic 雙三次插值雙三次插值v4-

19、 Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值34To MATLAB exam_6返回返回35作業作業1 1：在某海域測得一些點：在某海域測得一些點(x,y)(x,y)處的水深處的水深z z由下由下表給出，船的吃水深度為表給出，船的吃水深度為5 5英尺，在矩形區域（英尺，在矩形區域（7575，200200）* *（-50-50，150150）里的哪些地方船要避免進入。）里的哪些地方船要避免進入。xyz129 140 103.5 88 185.5 195 1057.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.54 8 6 8 6 8 8xyz157.5 107.5 77 81 162 162 117.5-6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.59 9 8 8 9 4 936 ) 1( .150,50200,75. 2hd三次插值法作二