1、圓錐曲線與方程 橢 圓 知識點一橢圓及其標準方程1橢圓的定義：平面內與兩定點F1，F2距離的和等于常數的點的軌跡叫做橢圓，即點集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；這里兩個定點F1，F2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距2c。（時為線段，無軌跡）。2標準方程： 焦點在x軸上：（ab0）； 焦點F（±c，0）焦點在y軸上：（ab0）； 焦點F（0, ±c） 注意：在兩種標準方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點總在長軸上；兩種標準方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 二橢圓的簡單幾何性質： 1.范圍 （1）橢圓（ab0） 橫坐標-ax

2、a ,縱坐標-bxb （2）橢圓（ab0） 橫坐標-bxb,縱坐標-axa 2.對稱性 橢圓關于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點 （1）橢圓的頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）線段A1A2，B1B2 分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 4離心率 （1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比，即稱為橢圓的離心率，記作e（）， 是圓；e越接近于0 （e越小），橢圓就越接近于圓;e越接近于1 （e越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢

3、圓本身的形狀有關，與其所處的位置無關。（2）橢圓的第二定義：平面內與一個定點（焦點）和一定直線（準線）的距離的比為常數e，（0e1）的點的軌跡為橢圓。（）焦點在x軸上：（ab0）準線方程：焦點在y軸上：（ab0）準線方程：小結一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四個量）， 特征三角形（2）基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）（3）基本線：對稱軸（共兩條線）5橢圓的的內外部（1）點在橢圓的內部.（2）點在橢圓的外部.6.幾何性質 （1） 最大角 （2）最大距離，最小距離例題講解：一.橢圓定義：方程化簡的結果是 2若的兩個頂點，的周長為，則頂點的軌跡方程是 3.已知橢圓=1上的一點P到橢

4、圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點距離為 二利用標準方程確定參數1.若方程+=1（1）表示圓，則實數k的取值是 .（2）表示焦點在x軸上的橢圓，則實數k的取值范圍是 .（3）表示焦點在y型上的橢圓，則實數k的取值范圍是 .（4）表示橢圓，則實數k的取值范圍是 .2.橢圓的長軸長等于 ，短軸長等于 , 頂點坐標是 ,焦點的坐標是 ,焦距是 ，離心率等于 ,3橢圓的焦距為，則= 。4橢圓的一個焦點是，那么 。三待定系數法求橢圓標準方程1若橢圓經過點，則該橢圓的標準方程為 。2焦點在坐標軸上，且，的橢圓的標準方程為 3焦點在軸上，橢圓的標準方程為4. 已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0），

5、求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；變式：求與橢圓共焦點，且過點的橢圓方程。四焦點三角形1橢圓的焦點為、，是橢圓過焦點的弦，則的周長是 。2設，為橢圓的焦點，為橢圓上的任一點，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？3設點是橢圓上的一點，是焦點，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點若，求的面積五離心率的有關問題1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為，則此橢圓的離心率為 3橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢

6、圓的離心率。5.在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率 最值問題：1.橢圓兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|·|PF2|的最大值為_，最小值為_2、橢圓兩焦點為F1、F2，A(3，1)點P在橢圓上，則|PF1|+|PA|的最大值為_，最小值為 _3、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值 最小值 。4.設F是橢圓=1的右焦點,定點A(2,3)在橢圓內,在橢圓上求一點P使|PA|+2|PF|最小,求P點坐標 最小值 .同步測試 1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為( )A 圓 B 橢圓

7、 C線段 D 直線 2、橢圓左右焦點為F1、F2，CD為過F1的弦，則CDF1的周長為_ 3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1<k<1 B k>0 C k0 D k>1或k<-14、求滿足以下條件的橢圓的標準方程 (1)長軸長為10，短軸長為6 (2)長軸是短軸的2倍，且過點(2，1) (3) 經過點(5，1)，(3，2) 5、若ABC頂點B、C坐標分別為(-4，0)，(4，0)，AC、AB邊上的中線長之和為30，則ABC的重心G的軌跡方程為_6.橢圓的左右焦點分別是F1、F2，過點F1作x軸的垂線交橢圓于P點。若F1PF2=60°，則橢

8、圓的離心率為_7、已知正方形ABCD，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的的離心率為_橢圓方程為 _.8已知橢圓的方程為，P點是橢圓上的點且,求的面積 9.若橢圓的短軸為AB，它的一個焦點為F1，則滿足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 10.橢圓上的點P到它的左焦點的距離是12，那么點P到它的右焦點的距離是 11已知橢圓的兩個焦點為、，且，弦AB過點，則的周長 12.在橢圓+=1上求一點P,使它到左焦點的距離是它到右焦點的距離的兩倍13、中心在原點、長軸是短軸的兩倍,一條準線方程為,那么這個橢圓的方程為 。14、橢圓的兩個焦點三等分它的兩準線間的距離,則橢圓的離心率=_.15、橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,準線方程為,橢圓上一點到兩焦點的距離分別為10和14,則橢圓方程為 _.16.已知P是橢圓上的點,若P到橢圓右準線的距離為8.5,則P到左焦點的距離為_.17橢圓內有兩點，P為橢圓上一點，若使最小，則最小值為 18、橢圓=1與橢圓=l(l>0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的離心率 (C)相同的準線 (D)以上都不對