1、精選優質文檔-傾情為你奉上§7.4空間曲面和空間曲線本節以兩種方式來討論空間曲面：（1）已知曲面的形狀，建立這曲面的方程；（2）已知一個三元方程，研究這方程的圖形。7.4.1球面與柱面(一)球面空間中與一定點等距離的點的軌跡叫球面。 求球心在點，半徑為R的球面方程。設為球面上的任一點，則有，即，化簡得：。 球面上所有點的坐標都滿足方程，反之，不在球面上的點，其坐標都不滿足方程，因此，方程是球面的方程。當時，即球心在原點的球面方程為。 例1.指出方程表示何種曲面。解：， ，方程表示以為球心，3為半徑的球面。（二）柱面 動直線L沿給定曲線C平行移動所形成的曲面，稱為柱面。動直線L稱為柱面

2、的母線，定曲線C稱為柱面的準線。 ·· 現在來建立以面上的曲線：為準線，為母線的柱面方程。 設為柱面上任一點，過M作平行于，交面于點，由柱面定義可知點。故有。由于有相同的橫坐標和縱坐標，故也必滿足方程。反之，如果空間一點滿足方程，即，故且與必通過，即在過的母線上，于是必在柱面上，因此方程表示平行于。一般地 方程表示母線； 方程表示母線； 方程表示母線。 以二次曲線為準線的柱面稱為二次柱面。例如：方程表示圓柱面；方程表示橢圓柱面； 方程表示雙曲柱面；方程表示拋物柱面。 例2指出下列方程在空間直角坐標系中分別表示什么圖形？ （1） 母線平行于軸的橢圓柱面。 （2） 母線平行于軸

3、的拋物柱面。 （3） 母線平行于軸的雙曲柱面。 （4） 母線平行于軸的雙曲柱面。例3求母線平行于向量，準線為的柱面方程。解：設是準線上的任一點，則過平行于的直線柱面上，而方程為，其參數方程為 代入準線方程，得 ，故，代入， 則得所求柱面方程為。7.4.2 空間曲線（一）空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面與的交線。若曲面與的方程分別為與，則其交線的方程為 方程組稱為空間曲線的一般方程。 例4方程組表示上半球面和圓柱面的交線。例5方程組 表示圓柱面與球面的交線，它是平面上的一個圓。 注意：表示空間曲線的方程組不是唯一的。例如O也表示同一個圓，一般說來，用兩個方程的組合代替方程之一，仍表示

4、同一曲線。例6方程組()表示兩個圓柱的交線L在第一卦限的部分。此曲線亦可用方程組()表示。例7方程組表示在。 方程組表示在。（二）空間曲線的參數方程 空間曲線上動點M的坐標也可以用另一個變量函數來表示， 即 取定一個值時，由方程組就得到曲線上一點的坐標，通過變動，可以得到曲線上所有的點，方程組稱為曲線參數方程，參數。例7設質點在圓柱面上以均勻的旋轉，同時又以均勻的線速度平行于的方向上升。運動開始，即時，質點在處，求質點的運動方程。解：取為參數，質點的位置為，作，垂足為，則從到所經過的角，上升的高度為，即質點的運動方程為： 此方程稱為螺旋線方程。 也可以用其它變量作參數；例如令，則螺旋線方程為

5、， 這時，而參數為。（三）空間曲線在坐標面上的投影 1空間直線在坐標平面上的投影的概念 已知空間曲線和平面，從上各點向平面作垂線，垂足所構成的曲線稱為曲線在平面上的投影曲線。準線為曲線而母線垂直于平面的柱面稱為空間曲線關于平面的投影柱面。投影曲線就是投影柱面與平面的交線。 特殊地，以為準線，母線平行于軸的柱面稱為空間關于面的投影柱面，此投影柱面與面的交線稱為在面上的投影曲線。 同樣可以定義關于面、面的投影柱面和投影曲線。2投影曲線方程的求法 設空間的一般方程為 ，消去，得，它表示母線平行于軸的柱面方程。 因為柱面方程是由得到的，所以上點的前兩個坐標必滿足該方程，因此柱面過，故方程所表示的柱面就

6、是關于面的投影柱面。 而方程 就是在面上的投影曲線的方程。 同樣，從的方程中分別消去，得到柱面方程與，則與分別是在面和面上的投影曲線的方程。 例8求球面與旋轉拋物面的交線在面上的投影曲線方程。解：交線L為 (1)(2)得 ， （舍去），。 交線也可表示為：， 消去z，得交線關于面的投影柱面方程：。 交線在面上的投影曲線方程是， 它在面上是以（0，0，0）為圓心，2為半徑的圓。 若在曲線的方程中，出現有一個缺z項的方程時，則此方程所表示的曲面正巧是經過該曲線且母線平行于z軸的柱面，它就是曲線關于平面的投影柱面，這樣就可省略消去z的過程。例9求：、面上的投影曲線的方程。解：的投影曲線方程為。，投影

7、柱面方程：+=64， 故的投影曲線是一段拋物線：。7.4.3旋轉曲面的方程（一）旋轉曲面的定義 以一條平面曲線繞同平面上的一條直線旋轉所形成的曲面稱為旋轉曲面，這條定直線稱為旋轉曲面的軸。（二）旋轉曲面的方程MOMP 設在平面上的方程為，將旋轉一周，得到一個旋轉曲面。 設為旋轉曲面上的任意一點，過點M作垂直于z軸的平面，交z軸于點，交曲線L于點。 由于點是由點旋轉而得，故有 ， （1） ， ， （2）又在曲線上，。將（1），（2）代入，即得旋轉曲面方程：。 一般地，若在曲線L的方程中，z保持不變，而將，就得到曲線L繞z軸旋轉而成的旋轉曲面方程：。同理，旋轉而成的旋轉曲面方程為： 。 例10求直線旋轉一周所成的旋轉曲面的方程。 解：坐標面上的直線繞z軸旋轉， 將z保持不變， 則得， 即所求旋轉曲面方程為， 該方程表示的曲面稱為圓錐面，點稱為圓錐的頂點。 例11求拋物線，繞軸旋轉所得的旋轉曲面的方程。解：在方程中，將換成，而保持不變， 得，即為所求旋轉曲面的方程。 該曲面稱為旋轉拋物面。例12求橢圓繞軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程。解