1、專題4 幾何證明【知識要點】 1.進一步掌握直角三角形的性質，并能夠熟練應用； 2.通過本節課的學習能夠熟練地寫出較難證明的求證； 3.證明要合乎邏輯，能夠應用綜合法熟練地證明幾何命題。【概念回顧】 1.全等三角形的性質：對應邊（ ），對應角（ ）對應高線（ ），對應中線（ ），對應角的角平分線（ ）。 2.在RtABC中，C=90°，A=30°，則BC：AC：AB=（ ）。 【例題解析】【題1】已知在ABC中，ABAC，BD平分求證：BCABCD 【題2】如圖，點為正方形的邊上一點，點為的延長線上的一點，且求證：. 【題3】如圖，AD為ABC的角平分線且BDCD求證：AB

2、AC. 【題4】已知：如圖，點B、F、C、E在同一直線上，BF=CE，ABED，ACFD，證明AB=DE，AC=DF. 【題5】已知：如圖，ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA3，PB4，PC5APCB求：APB的度數 【題6】如圖：ABC中，ACB=90°，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足是F，過B作BDBC交CF的延長線于D。（1） 求證：AE=CD;（2） 若AC=12，求BD的長. 【題7】等邊三角形CEF于菱形ABCD邊長相等. 求證：（1）AEF=AFE (2)角B的度數 【題8】如圖，在ABC中，C=2B，AD是ABC的角平分線，1=B，求證：

3、AB=AC+CD. 【題9】如圖，在三角形ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，BE的延長線交AC于點F.求證：AF=FC 【題10】如圖，將邊長為1的正方形ABCD繞點C旋轉到A'B'CD'的位置，若B'CB=30度，求AE的長.【題11】AD,BE分別是等邊ABC中BC,AC上的高。M,N分別在AD,BE的延長線上，CBM=ACN.求證AM=BN.【題12】已知：如圖，AD、BC相交于點O，OA=OD，OB=OC，點E、F在AD上，且AE=DF，ABEDCF.求證：BECF.【鞏固練習】 【練1】 如圖，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=

4、CF.（1） 請你判斷AD是三角形ABC的中線還是角平分線？請證明你的結論。（2） 鏈接BF,CE，若四邊形BFCE是菱形，則三角形ABC中應添加一個什么條件？ 【練2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊上的一個動點，且PB=PD，DE垂直AC，垂足為E。（1） 求證：PE=BO（2） 設AC=3a，AP=x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x之間的函數關系式。 【練3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點，AD，BC的延長線叫MN與E、F 求證DEN=F. 【練4】如圖，若C在直線OB上，試判斷CDM形狀。 【練5】已知ABC，AD是BC

5、邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊向形外作等腰直角三角形。求證：EF=2AD1、 【練6】如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，點P和點Q分別是從A和C兩點同時出發，做勻速運動，且他們的速度相同，點P沿射線AB運動，Q點沿點C在BC延長線上運動。設PQ與直線AC相交于點D，作PEAC于點E，當P和Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論。【提示】【題1】分析：在上截取，連接可得BADBED由已知可得：，CDCE，BCABCD【題2】分析：將ABF視為ADE繞順時針旋轉即可又，ABFADE（）【題3】分析：延長到使得易證ABDECD【題4】本題比較簡單，難點在BF+CF=CE+CF這，一

6、般剛接觸三角形證明的人會在這失手。證明：BF=CE 又BF+CF=BC CE+CF=EF BC=EF ABDE，ACFD B=E，DFE=BCA 又BF=CE DEFABC（ASA） AB=DE，AC=DF 【題5】順時針旋轉ABP 600 ，連接PQ ，則PBQ是正三角形。 可得PQC是直角三角形。 所以APB=1500 。 【題6】解析：如果遇到這類題，有時在圖形中隱藏著一些不明顯的條件，你就先試試一個角加公共角等于90°，再試其它角加這個公共角是否能等于90°，能說明它倆相等。 證明：（1）BDBC，CFAE DBC=ACB=EFC=90° D+BCD=90

7、° FEC+BCD=90° D=FEC 又DBC=ACE=90°，AC=BC DBCACE（HL） AE=CD（2）由（1）可知 BDCACE BC=AC=12，BD=CE AE是BC邊上的中線 BE=EC=BC=6 BD=CE BD=6【題7】解： CB=CE,CD=CF B=CEB，D=CFD B=D(菱形的對角相等） CEB=CFD CEF=CFE=60° CEB+CEF+AEF=180° CED+CFE+AFE=180° AEF=AFE (2)設B=X,則A=180°X，CEB=X AEF=AFE,A=AEF+AFE

8、=180° (180°X ) +2AEF=180° AEF=X/2 CEB+CEF+AEF=180° X+60°+X/2=180° X=80° B=80° 【題8】解析：這種類型的題，一般是一條長的線段被分為兩段，只能證AC、CD這兩條線段與AB這條線段平分的兩條線段AE、BE相等，從而證明出來。 證明：AED是EDB的一個外角 又1=B AED=2B AED=C=2B AD是ABC的角平分線 CAD=DAE 又AED=C，AD=DA ACDAED（AAS） AC=AE，CD=DE 1=B DE=BE CD=BE AB=AE+BE 又AC=AE，CD=BE AB=AC+CD【題9】解析：作CF的中點G，連接DG，則FG=GC 又BD=DC DGBF AEED=AFFG AE=ED AF=FG = 即AF=FC【題10】提示：證明三角形ABD和三角形CAF全等。AEBD四點共圓。四邊形EDCF是平行四邊形。（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形） 【題11】 證明：因為ABC為等邊三角形，AD垂直于BC、BE垂直于AC， 所以 BAM=CBN ， 又因為CBM=ACN 所以ABM=BCN