1、§11.4三角形內角和定理的教學設計 梁銘慧一、 教材與學生現實的分析 1、三角形的內角和定理是從“數量關系”來揭示三角形內角之間的關系的，這個定理是任意三角形的一個重要性質，它是學習以后知識的基礎，并且是計算角的度數的方法之一。在解決四邊形和多邊形的內角和時都將轉化為三角形的內角和來解決。其中輔助線的作法、把新知識轉化為舊知識、用代數方法解決幾何問題，為以后的學習打下良好的基礎，三角形內角和定理在理論和實踐中有廣泛的應用。2、三角形內角和定理的內容，學生在小學已經熟悉，但在小學是通過實驗得出的，要向學生說明證明的必要性，同時說明今后在幾何里，常常用這種方法得到新知識，而定理的證明需

2、要添輔助線，讓學生明白添輔助線是解決數學問題（尤其是幾何問題）的重要思想方法，它同代數中設末知數是同一思想。 3、學生在小學里已知三角形的內角和是180°，前面又學習了三角形的有關概念，平角定義和平行線的性質，而且也滲透了三角形的內角和是180°的證明，它的證明借助了平角定義，平行線的性質。用輔助線將三角形的三個內角巧妙地轉化為一個平角或兩平行線間的同旁內角，為定理的證明提供了必備條件。盡管前面學生接觸過推理論證的知識，但并末真正去論證過，特別是在論證的格式上，沒有經過很好的鍛煉。因此定理的證明應是本節引導和探索的重點。輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，只要教師

3、設置恰當的問題情境，學生再由實驗操作、觀察、抽象出幾何圖形，用自主探索的方式是可發完成的，并且這樣的過程 可以更好地發展他們的創造能力和實驗能力。從本節開始訓練學生將命題翻譯為幾何符號語言，寫出已知、求證，學會分析命題的證明思路，對培養學生的思維能力和推理能力將起到重要的作用。二教學程序設計學習目標 （1） 知識與技能 ： 掌握“三角形內角和定理”的證明過程，并能根據這個定理解決實際問題。 （2） 過程與方法 ： 通過學生猜想動手實驗，互相交流，師生合作等活動探索三角形內角和為180度，發展學生的推理能力和語言表達能力。對比過去撕紙等探索過程，體會思維實

4、驗和符號化的理性作用。逐漸由實驗過渡到論證。通過一題多解、一題多變等，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發展。  （3）情感態度與價值觀：    通過猜想、推理等數學活動，感受數學活動充滿著探索以及數學結論的確定性，提高學生的學習數學的興趣。使學生主動探索，敢于實驗，勇于發現，合作交流。教學重點：三角形內角和定理的證明思路及應用。教學難點：三角形內角和定理的證明方法。創設問題情境你能回答本章情境導航中提出的問題嗎？1、提出問題我們知道三角形的內角和等于180°，即三角形三個內角和等于平角，你能用剪紙拼圖的方法驗證這個結論嗎？教師引導學生用準

5、備好的三角形硬紙片剪紙拼圖，如圖，把A剪下放在1位置上，B剪下放在2位置上，較直觀得到三角形內角和是180°。 教師指出：這只是實驗得出的命題，不能當做定理，只有經過嚴格的幾何證明，證明命題的正確性，才能作為幾何定理，今后，在幾何里，常采用這種方法得到新知識。那么如何證明此命題是真命題呢？能否用學過的舊知識來證明呢？ 2、教師引導要證三角形三個內角和是180°，觀察圖形，三個角間沒什么關系，能不能象前面那樣，把這三個角拼在一起呢？拼成什么樣的角呢？學生思考與180°有關的角后回答，可拼成：平角，兩平行線間的同旁內角。教師引導，要把三角形三個內角

6、轉化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個角轉化為平角或兩平行線間的同旁內角呢？下面同學們利用準備好的3三角形紙片拼一拼，畫一畫。3、學生通過自主探究，可以得出以下幾種輔助線的作法 （教師演示課件） 如圖11-4，延長BC得到一平角BCD，然后以CA為一邊，在ABC的外部畫1=A。                 

7、;    11-4   如圖11-4，延長BC，過C作CEAB        如圖11-5，過A作DEAB                     11-5       如圖11-6，在BC邊上任取一點P，作PRAB，P

8、QAC。11-6       如圖11-7，在ABC內部任取一點P，過P點作QRBC，MNAB。STAC。11-7        如圖11-8，在ABC外部任取一點P，過P點作QRBC，MNAB。STAC。11-8學生可能還有其它畫法。“抓住根本” 抓住“把三個角搬到一起，讓三個頂點重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角的定義”這一基本思想，可以把三個角集中到三角形的某一個頂點；可以把三個角集中到三角形的某一邊上；可以把三個角集中到三角形的內部的一點；可以把三個角集

9、中到三角形的外部的一點。學數學要善于抓住不變的根本，又要靈活地在變化中認識、處理和解決問題。讓學生學會“抓住根本”，而不在于有幾種證明方法。培養學生的推理與證明能力。師好，下面同學們來證明一下：三角形的內角和等于180°這個真命題。這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？生需要先畫出圖形，根據命題的條件和結論，結合圖形寫出已知、求證。師對，下面大家來證明，哪位同學能把證明過程敘述一下？（學生邊敘述證明過程，邊觀看課件上的分析和證明過程）11-4生甲已知，如圖11-4，ABC,求證：A+B+C=180°證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CEAB。則ACE=A（兩直線平行，

10、內錯角相等）ECD=B（兩直線平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180°（1平角=180°）A+B+ACB=180°（等量代換）師同學們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們僅僅添畫了射線CE、CD，使處于原三角形中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的內角和等于180°是真命題，這時稱它為定理。即：三角形的內角和定理:三角形的內角和等于180°你能用其他添加輔助線的方法，證明三角形內角和定理嗎？（找學生板演圖11

11、-5，11-6的證明過程。）從圖11-4及三角形內角和定理，你還發現了什么？由ACE=A，ECD=B，可知ACD=A+B，所以ACDA , ACDB挑戰自我1.求證：直角三角形的兩個銳角互余。DA2.已知：如圖，四邊形ABCD是一個任意四邊形。求證：A+B+ C+ D+ E=3600BC4,回顧聯系，形成結構（觀看課件）這堂課，我們證明了一個很有用的三角形內角和定理。證明的基本思想是：運用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內角集中在一起，拼成一個平角。輔助線是聯系命題的條件和結論的橋梁，今后我們還要學習它。我們還學習了兩個推論。還記得是什么嗎？5,作業課本128頁A組1，2題。第11章 幾何

12、證明初步 單元教學設計店子中學 梁銘慧教材分析(一)教學內容青島版數學八年級下冊第11章的主要內容定義與命題、為什么要證明、什么是幾何證明、三角形內角和定理、幾何證明舉例、反證法。(二)  教材所處的地位與作用本章是在學習了角、平行線、平面圖形的認識，軸對稱和軸對稱圖形以及全等形與相似形等內容的基礎上安排的。在這之前學生已積累了一定的觀察、實驗、歸納、類比、猜測、交流表達的技能和合情推理的能力。因此，學習平面圖形性質的證明，體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握演繹推理的基本格式，已勢必然。 要判斷一個數學結論是否正確，僅僅依靠經驗、觀察、實驗、歸納、類比是不夠的，必須一步一步、

13、有理有據地進行推理，肯定結論正確。推理的過程就是證明，它是根據數學事實，依據形式邏輯的原則，陳述判斷有關數學命題真假的一種規范化的表達模式，也是一種數學說理方式。學會用綜合法證明對培養學生的推理能力、抽象能力、想象能力和創造能力有著重要的、不可取代的作用。 本章只是幾何證明的初步，目的在于使學生掌握基本的證明格式，體會通過合情推理探索的某些結果，運用演繹推理加以證明，從而獲取數學結論的過程。這是繼續學習平行四邊形、圓以及高中數學知識的重要基礎。（三）單元教學目標（1）理解定義、命題、真命題、假命題、定理的含義，會區分命題的條件和結論，奠定推理論證的基礎。（2）會根據公理:同位角相等，兩直線平行

14、證明判定定理：同旁內角互補，兩直線平行和內錯角相等，兩直線平行，并能對上述公理、定理進行簡單的運用。（3）探索并掌握幾何證明的條件，并能運用它們判別兩個三角形是否全等。（4）經歷比較、證明等探究過程，提高分析、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對只是方法的總結，培養反思的習慣及縝密的數學思維能力。（5）了解反證法的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題。（四）本章教學重點、教學難點和關鍵 重點：知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的；學會用綜合法證明的格式，會利用全等三角形證明角平分線和線段垂直平分線的定理，以及等腰三角形和直角三角形的性質定理和判定定理。難點：區分命題的條件和結論，推理論

15、證能力的培養，反證法。關鍵：一步一步地，循序漸進地、由由簡到繁地引入推理證明，培養推理論證能力。二 學情分析在幾何證明初步這一章中，讓學生通過觀察、操作與類比，探索并掌握幾何證明的方法與步驟。理解定義、命題、真命題、假命題、定理的含義，特別是全等三角形的特征與性質以及識別方法。讓學生在以前的說理基礎上，進一步學習一些主要的推理論證的方法，加強數學的理性訓練。引導學生認識證明的必要性，學會由定理、公理出發，證明有關的命題，解決一些簡單的邏輯推理問題，使學生養成言必有據的正確思維習慣。三、單元教學思路與策略1、讓學生通過觀察、操作、探索來掌握幾何證明的步驟和方法，引導學生認識證明的必要性。2、教授教材內容時，教師應盡量提供大量的實例，并展開充分的交流，要求學生能在了解定義與命題的概念的基礎上，能對簡單的真命題、假命題做出判斷，讓學生自主討論，主動參與、探索。課堂教學一般由探索新知、引出概念等環節組成，但每個環節的時間安排不宜過多。3、在教學中通過多種思考方法的交流，激發學生放入發散性思維，在交流中，發展學生的邏輯思維及表達能力，所以在課堂上要注意給學生留出自主的空間。隨后引入典型或精選的例題，讓學生進一步感受到幾何證明的原理性，例如在證明三角形三個內角的和等于180度時，要請學生思考不