1、倒立擺系統的建模及Matlab仿真1.系統的物理模型 考慮如圖(1)所示的倒立擺系統。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內運動的二維問題。圖(1)倒立擺系統假定倒立擺系統的參數如下。擺桿的質量：m=0.1g擺桿的長度：l=1m小車的質量：M=1kg重力加速度：g=9.8m/擺桿的質量在擺桿的中心。設計一個控制系統，使得當給定任意初始條件(由干擾引起)時，最大超調量d 10%，調節時間ts 4s ，通過小車的水平運動使倒立擺保持在垂直位置。2.系統的數學模型2.1建立倒置擺的運動方程并將其線性化。為簡化問題，在數學模型中首先假設：1)擺桿為剛體；2）忽略擺桿與支點之間的摩擦；3

2、）忽略小車與接觸面間的摩擦。設小車瞬時位置為z,擺心瞬時位置為（）,在u作用下，小車及擺均產生加速遠動，根據牛頓第二定律，在水平直線遠動方向的慣性力應與u平衡，于是有即： 繞擺軸轉動的慣性力矩與重力矩平衡，因而有即： 以上兩個方程都是非線性方程，為求得解析解，需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒立擺直立，在試駕合適的外力條件下，假定很小，接近于零時合理的，則，且可忽略項。于是有 聯立求解可得2.2列寫系統的狀態空間表達式。選取系統變量， 則即代入數據計算得到：3.設計控制器3.1判斷系統的能控性和穩定性，rank()=4,故被控對象完全可控由特征方程 解得特征值為 0，0，。出現大于零的特征

3、值，故被控對象不穩定3.2確定希望的極點希望的極點n=4，選其中一對為主導極點和，另一對為遠極點，認為系統性能主要由主導極點決定，遠極點只有微小影響。根據二階系統的關系式，先確定主導極點可得，于是取；取誤差帶，則，閉環主導極點為=-10.8j,遠極點選擇使它和原點的距離大于主導極點與原點距離的5倍，取3.3采用狀態反饋方法使系統穩定并配置極點狀態反饋的控制規律為，；狀態反饋系統的狀態方程為，其特征多項式為 希望特征多項式為 比較以上兩式系數，解得狀態反饋矩陣4.設計全維觀測器4.1判斷系統的能觀性，rank()=4,故被控對象完全可觀4.2確定觀測器的反饋增益全維觀測器的動態方程為；其特征多項

4、式為 取觀測器的希望極點為：-45，-45，-3+3j，-3-3j；則希望特征多項式為 比較以上兩式系數，解得觀測器反饋矩陣5.降維狀態觀測器的設計5.1建立倒置擺三維子系統動態方程設小車位移z由輸出傳感器測量，因而無需估計，可以設計降維（三維）狀態觀測器，通過重新排列被控系統變量的次序，把需由降維狀態觀測器估計的狀態變量與輸出傳感器測得的狀態變量分離開。將z作為第四個狀態變量，則被控系統的狀態方程和輸出方程變換為 簡記為：式中，=0，被控系統的n-q維子系統動態方程的一般形式為，式中,為子系統輸出量。故倒置擺三維子系統動態方程為5.2.判斷子系統的可觀測性A1=0 -1 0;0 0 1;0

5、11 0;C1= 1 0 0;Qg1=obsv(A1,C1);r=rank(Qg1)運行Matlab程序；結果為r=3,故該子系統可觀測降維狀態觀測器動態方程的一般形式為式中h=。考慮被控對象參數，單倒置擺降維觀測器動態方程的一般形式為5.3確定三維狀態觀測器的反饋矩陣h三維狀態觀測器的特征多項式為設希望的觀測器閉環極點為-45，-3+3j，-3-3j，則希望特征多項式為比較以上兩式系數，解得h=故所求三維狀態觀測器的動態方程為6.Matlab仿真分析6.1源程序通過Matlab對用全維狀態觀測器實現狀態反饋的倒置擺系統進行仿真分析，下面是文件名為Inversion_pendulum_syst

6、em.m的源程序%倒立擺系統建模分析%a)判斷系統能控性和能觀性clear all;clcA=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0;1;0;-1;C=1 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc);n=size(A);if rc=n disp('The system is controlled.')elseif rc<n disp('The system is uncontrolled.') endVo=obsv(A,C);ro=rank(Vo);if ro=n disp('The s

7、ystem is observable.')elseif ro=n disp('The system is no observable.')end%b)判斷系統穩定性P=poly(A),v=roots(P)Re=real(v);if(length(find(Re>0)=0) disp('The system is unstable and the ubstable poles are:') v(find(Re>0)else disp('The system is stable!');end% c)極點配置與控制器-全維狀態觀測

8、器設計與仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15;po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B,pc),G=acker(A',C',po)'Gp=ss(A,B,C,D); %將受控過程創建為一個LTI對象disp('受控對象的傳遞函數模型：');H=tf(Gp)Af=A-B*K-G*C;disp('觀測器控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0) %將觀測器-控制器創建為一個LTI對象disp('觀測器控制器的極點：');f_poles=pole(Gc)GpGc=G

9、p*Gc; %控制器和對象串聯disp('觀測器控制器與對象串聯構成的閉環系統模型：');Gcl=feedback(GpGc,1,-1) %閉環系統disp('閉環系統的極點和零點：');c_poles=pole(Gcl)c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgain(Gcl) %低頻增益N=1/lfg % 歸一化常數T=N*Gcl; %將N與閉環系統傳遞函數串聯x0=100 10 30 10 0 0 0 0;%初始條件向量t=0:0.01:1' %時間列向量r=0*t; %零參考輸入y t x=lsim(T,r,t,x0); %初始條件仿真p

10、lot(t,x(:,1:4),'-.',t,x(:,5:8) %由初始條件引起的狀態響應title('bf狀態響應')legend('x1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hat','x4hat')figure(2)step(T)title('bf階躍響應')figure(3)impulse(T)title('bf脈沖響應') 6.2 程序運行結果The system

11、 is controlled.The system is observable.P = 1 0 -11 0 0v = 0 0 3.3166 -3.3166The system is unstable and the ubstable poles are:ans = 3.3166K = -36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.9200G = 96 2594 -14826 -64984受控對象的傳遞函數模型 Transfer function:s2 - 1.776e-015 s - 10- s4 - 11 s2 觀測器控制器模型： a = x1 x2 x3 x4 x1 -9

12、6 1 0 0 x2 -2557 49.92 333.5 81.92 x3 1.483e+004 0 0 1 x4 6.495e+004 -49.92 -323.5 -81.92 b = u1 x1 -96 x2 -2594 x3 1.483e+004 x4 6.498e+004 c = x1 x2 x3 x4 y1 36.9 49.92 334.5 81.92 d = u1 y1 0 Continuous-time model.觀測器控制器的極點：f_poles = 1.0e+002 * -1.4948 + 1.8786i -1.4948 - 1.8786i 1.7424 -0.0328 觀

13、測器控制器與對象串聯構成的閉環系統模型： a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 -1 0 36.9 x3 0 0 0 1 0 x4 0 0 11 0 -36.9 x5 96 0 0 0 -96 x6 2594 0 0 0 -2557 x7 -1.483e+004 0 0 0 1.483e+004 x8 -6.498e+004 0 0 0 6.495e+004 x6 x7 x8 x1 0 0 0 x2 49.92 334.5 81.92 x3 0 0 0 x4 -49.92 -334.5 -81.92 x5 1 0 0 x6 49.92 333.5 81.92 x7 0 0 1 x8 -49.92 -323.5 -81.92 b = u1 x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 -96 x6 -2594 x7 1.483e+004 x8 6.498e+004 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 y1 1 0 0 0 0 0 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model.閉環系統的極點和零點：c_poles = -45.0000 -45.0000 -15.0001 -14.9999 -3.0000