1、12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中,A.B.C.D.2022年普通高等學校夏季招生考試數學文史類全國卷I數學文史類第I卷一、選擇題：本大題共只有一項為哪一項符合題目要求的.1文cos300。等于1答案：C cos300°= cos(300 ° - 360° ) = cos( 60° ) = cos60°=-22(文)設全集 1,2,3,4,5,集合 M 1,4 , N= 1,3,5，貝U NA(M)等于()A. 1,3 B答案：C.1,5 C . 3,5 D . 4,5匚M= 2,3,5,- Nn(m =1,3,5 n 2,3

2、,5 = 3,5.3假設變量x, y滿足約束條件y 0 那么z= x 2y的最大值為y 20A. 4答案:線性約束條件對應的平面區域如下圖，由z = x 2y得y=-2-，當直2線 y=-2Z在y軸上的截距最小時，z取得最大值，由圖知，當直線通過點A時，在y軸2上的截距最小，由，解得 A(1 , 1).所以 Zmax= 1 2 X ( 1) = 3.04.各項均為正數的等比數列 an中，a1a2a3= 5, a?a8a9= 10,那么a4asa6等于A. 5、2 B . 7 C . 6 D . 4： 2答案：A 數列an為等比數列，由 aia2a3= 5得& = 5，由a7a*a9=

3、10得as = 10,所 以 a2as= 50,即(a2a8)= 50,即a5= 50,所以 a5 = 5 -、2 (an> 0).所以a4a5a6 =a5=5.2.5(文)(1 x) 4(1 - , X )3的展開式中x2的系數是()A. - 6 B . 3 C . 0 D . 3答案：A (1 -X)4(1 - JX)3 的展開式中 X2 項為 c4 ( -X)1 C2 ( -&)2+ c4 (-2 0 2x) C3 = - 6X ,其系數為一6.6(文)直三棱柱 ABC-ABC中，假設/ BAG= 90°, AB= AC= AA,那么異面直線 BA與AG所成的角等

4、于()A. 30° B . 45° C . 60° D . 90°答案：C不妨設AB= AC= AA= 1,建立空間直角坐標系如下圖，那么B(0，- 1,0),A(0,0,1), A(0,0,0), C( -1,0,1),mr二 BA, = (0,1,1)uuurAG = ( -1,0,1)umr二 cos BA ,uuuuAC1 > =UULT UUUUBA1 AC 1UUU-BA AC1UULT UJLU BA1 , AC1 >= 60°.異面直線BA與AC所成的角為60°7(文)函數f (x) = |lgx|.假設a

5、b,且f(a)= f (b)，貝Ua+ b的取值范圍是()A. (1 ,+s) B . 1 ,+s)C. (2 ,+s) D . 2 ,+s)答案：C函數f(x) = |lg x|的圖象如下圖,由圖象知a, b一個大于1, 一個小于1,不妨設a> 1,0 v bv 1.- f(a) = f(b),1 f(a) = |lg a| = Ig a= f(b) = |lg b| =- Ig b= Ig .b1 a=b a+ b= b+ - >2b - = 2b V b 8(文)F1、F2為雙曲線 C: x2- y2= 1的左、右焦點，點 P在C上，/ RPF2= 60°,那么|

6、PF| PF| 等于()A. 2 B . 4 C . 6 D . 8答案：B在厶PFF2中，IF1F2I2 =|PF|2 + |PR|2 2|PF|PRI cos60°2=(| PF| - | P冋)+ |PF| P冋,即(2、,2)2= 22+ | PF| PF ,解得 | PF| I PF2| = 4.9正方體ABCAB1CD 中,BB與平面ACD所成角的余弦值為()A：3D.答案：DB(1,1,1).不妨設正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系，那么D(0,0,0)，耳1,1,0),uuur平面ACD勺法向量為DB1 = (1,1,1),uuurJJLIJ JUT DB, B

7、B, JJJJ JUT DBi BBi又 BB1 = (0,0,1),uuunujur二 cos DB1 , BB, > BB與平面ACD所成角的余弦值為1 (J3)2 = 毎.Y 33110 設 a= log 32, b= ln2 , c = 5 ,那么()2A. av bv c B . bv c v aC. cv av b D . cv bv aln 2答案：C / log 32 = 2 v ln2，要比擬 log 2ln 31 11與5 =，只需比擬log 23 log 2 32與,5 =log 22 -.5 ，只需比擬 3 與 2,2> 2 = 4 >3, log 3

8、 2>5 - . cv av b.2uur UUU11.圓O的半徑為1, PA PB為該圓的兩條切線， A B為兩切點，那么 PA PB的最小值為A. 4+、2 B . 3+、2C.- 4+ 22 D . 3+ 2.2答案：D如圖，設/ APO= e,muuuu uuu 2urn 22PA PB = | PA| cos2 0= | PA | (1 2sin e )2 1=(I OP 1)(1 2 昇OP= |OP2+ 3OP；.：:：2 3,224 f當且僅當|OP2=2，即| OP =、2時，“=成立.OP12.在半徑為 2的球面上有 A B C、D四點，假設 AB= CD= 2，那么

9、四面體 ABC啲體 積的最大值為()A.2.3B.3 C . 2、,3 D.38.33答案：B 不妨取AB± CD過CD作平面PCD使ABL平面PCD交AB于P.設點P到CD的距離為h,那么有V四面體ABCD=1 X 2X31 x 2X h= - h.當直徑通過AB與 CD的中點時，hmax= 2 '、22 12 =.故 Vmax=、填空題：本大題共 4小題，每題5分，共20分把答案填在題中橫線上.x 213(文)不等式> 0的解集是x2 3x 2答案：x| 2vxv 1，或 x>2解析:不等式x 2x2 3x 2> 0可化為(x 2)( x2+ 3x +

10、2) >0,即(x 2)( x+ 1)( x + 2) >0,解得2v xv 1,或 x>2.原不等式的解集為x| 2v xv 1，或x> 2.14文a為第二象限的角,sin a3，那么 tan2 a5答案:24734解析：T a 為第二象限角，sin a = ,. COS a = 一55丄sin3-ta n a =.cos 4 tan2 a2ta n1 tan21 ；224715文某學校開設 A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門，假設要求兩類課程中各至少選一門，那么不同的選法共有 種.用數字作答答案：30解析：分兩類：選 A類選修課2門，B類選修課1門

11、，有C； C4 = 12種；選A 類選修課1門，B類選修課2門，有CC= 3X 6= 18種.共有12+ 18= 30種.16.F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段 BF的延長線交C于點D,uuu uuu且BF = 2FD，那么C的離心率為.答案：于2 2xy解析：如圖，設橢圓的標準方程為2 +2 = 1(a>b> 0)不妨設B為上頂點，F為右abuuu uur焦點，設 D(x, y).由 BF = 2 FD，得(c， b) = 2(x c, y),(X2(c-b) 由D在橢圓上得:/3 2(2C)2a2 c 2 a三、解答題:本大題共 6小題，共70分解容許寫出文字說明

12、、證明過程或演算步驟.17 10分文記等差數列an的前n項和為S，設S3= 12,且2ai, a2, a3 + 1成等比 數列，求S.答案：解：設數列an的公差為d.依題設有22a1 (a 3 1) a2a1 a2 a312亦 a12 2a|d d2 2a10即円 1a1 d 4解得 a1= 1, d = 3 或 a1= 8, d= 4.1因此 S= n(3 n- 1)或 S= 2n(5 n) 218 (12分) ABC的內角A, B及其對邊a, b滿足a+ b= acotA+ bcot B,求內角答案：解：由a+ b= acot A+ bcot B及正弦定理得sin A+ sin B= co

13、sA+ cos B,sin A cosA= cosB sin B,從而 sin Acos cos As in = cos Bs in sinBcos,4444sin( A- ) = sin( E).44又 0 V A+ Bvn,故 A=一B,B=442所以C=.219 (12分)投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審.假設能通過兩位初審專家 的評審，那么予以錄用；假設兩位初審專家都未予通過，那么不予錄用；假設恰能通過一位初審專家的評審，那么再由第三位專家進行復審，假設能通過復審專家的評審，那么予以錄用，否那么不予錄用.設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為

14、03各專家獨立評審.(1) 求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2) 求投到該雜志的4篇稿件中，至少有 2篇被錄用的概率.答案：解：(1)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；C表示事件：稿件能通過復審專家的評審；D表示事件：稿件被錄用.那么 D= A+ B C,= 0.5 X 0.5 = 0.25 , P(B) = 2X 0.5 X 0.5 = 0.5 , P(C) = 0.3 ,RD) = F(A+ B- C)=F(A) + F(B- C)=F(A) + F(B) F(C)=0.25 + 0.5 X 0.3=0.40.(2)記A表示事件：

15、4篇稿件中沒有1篇被錄用；A表示事件：4篇稿件中恰有1篇被錄用； A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被錄用.A2 = A0+ A.RA) = (1 0.4) 4= 0.129 6 ,F( A) = C4 X 0.4 X (1 0.4) 3 = 0.345 6 ,F( A2) = RA+ A) = P(Ad) + F(A)=0.129 6 + 0.345 6=0.475 2 ,F(A) = 1 R A) = 1 0.475 2 = 0.524 8.20 12 分如圖，四棱錐 S ABCDK SDL底面 ABCD AB/ DC AM DC AB= AD= 1,DC= SD= 2, E為棱SB上的一

16、點，平面 EDC_平面SBC證明SE= 2EB(2)求二面角ADEC勺大小.答案：解法一：(1)連結BD取DC的中點G連結BG 由此知DG= GC= BG= 1，即 DBC為直角三角形，故 BCL BD又SDL平面 ABCD故BCL SD所以BCL平面BDS BCL DE作BKL EC K為垂足.因平面 EDC_平面SBC故BKL平面EDC BKL DEDE與平面SBC 內的兩條相交直線 BK BC都垂直，DEL平面 SBC DEL EC DEL SBSB= . SD2 DB2 = .6 ,DE=SD DB = JSB 3 'EB=、DB2_DE = 6 , SE= SB- EB= 6

17、 ,33所以SE= 2EB 由 SA=AD2 =45 ,AB= 1 ,SE= 2EB,ABL SA 知 AE= JSA)2 (- AB)2V 33DP =.3=1,又 AD= 1, 故厶ADE為等腰三角形.取ED中點F,連結AF,貝U AF丄DE AF= <AD連結 FG 貝U FG/ EC FGL DE所以/ AFG是二面角A DE- C的平面角.連結 AG AG= J2 , FG= , DGDF = -6 ,3cos / AFG=AF2 FG2 AG22AF FG所以二面角ADEC勺大小為120°解法二：以D為坐標原點，射線 DA為x軸正半軸，建立如下圖的直角坐標系Dxyz

18、.設 A(1,0,0)，那么 B(1,1,0) , C(0,2,0) , S(0,0,2)uur(1) SC = (0,2，- 2),uuuBC = ( 1,1,0) 設平面SBC的法向量為n= (a, b, c),uuu uuu uuuuuu由 n 丄 SC , n 丄 BC 得 n SC = 0, n BC = 0.故 2b 2c= 0, a+ b= 0.令 a= 1,貝U b= 1, c = 1, n= (1,1,1)uiruuu又設SE =入EB (入> 0),那么E(-1LULTDE =(-12,1+ 入),UUUDC = (0,2,0)設平面CDE的法向量mi= (x, y,

19、 z),UUUTUULT由 ml DE , ml DC，得UULTUULTm- DE = 0, m- DC = 0.故 一+y + - = 0,2 y= 0.1 1 1令 x = 2,貝U m= (2,0，入). 由平面 DECL平面 SBC(得 mL n, nrn = 0, 2入=0,入=2.故 SE= 2EB222111t 211由(1)知曰,-),取 DE中點 F,那么 F( , - , -) , FA=(,-,-),333333333uu uur故 FA DE = 0,由此得 FAL DEuuu 242 uuu uuur又 EC =(,),故 EC DE = 0,由此得 ECL DE3

20、33向量FA與 EC勺夾角等于二面角 ADEC勺平面角.ULU UUUULU UUUFA EC1于疋 cos FA , EC > = uuu uuu = 一，FD EC 2所以二面角ADEC勺大小為120°21 (12分)(文)函數 f(x) = 3ax4 2(3 a + 1)x2+ 4x.1(1)當a= 時，求f(x)的極值；6 假設f(x)在(一1,1)上是增函數，求 a的取值范圍.答案：解:2 1(1) f '(x) = 4(x 1)(3 ax + 3ax 1).當 a= 時，f'( x) = 2( x+ 2)( x 61)2 , f(x)在(一R , 2

21、)內單調遞減，在(一2, +8)內單調遞增，在 x= 2時，f(x)有極 小值.所以f( 2) = 12是f(x)的極小值.(2)在(一1,1)上,f(x)單調增加，當且僅當 f '(x) = 4(x 1) (3 ax + 3ax 1) > 0,即23ax + 3ax K 0,(i )當a= 0時恒成立；(ii)當a>0時成立，當且僅當 3a l2+ 3a 1 K0 ,1解得aw .61 3a3a(iii)當av 0時成立，即3a(x+ )2- 1w0成立，當且僅當一一K0.解得2 4443 .41綜上，a的取值范圍是-,-.3 622 (12分)拋物線 c： y2= 4x的焦點為F,過點K( 1, 0)的直線I與C相交于 A B兩點，點A關于x軸