1、第七章 三角形【知識要點】一認識三角形1關于三角形的概念及其按角的分類定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2三角形的分類：三角形按內角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形。2關于三角形三條邊的關系（判斷三條線段能否構成三角形的方法、比較線段的長短）根據公理“兩點之間，線段最短”可得：三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。3與三角形有關的線段：三角形的角平分線、中線和高三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與對邊相交形成的線段；三角形的中線：連接三角形的一個頂點與對邊中點的線段，三

2、角形任意一條中線將三角形分成面積相等的兩個部分；三角形的高：過三角形的一個頂點做對邊的垂線，這條垂線段叫做三角形的高。注意：三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；任意一個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；任意一個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內部。但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內部；直角三角形有一條高在三角形的內部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內部，另兩條高在三角形的外部。一個三角形中，三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直線交于一點。（三角形的三條高（或三條高所在的直線）交與一點，銳

3、角三角形高的交點在三角形的內部，直角三角形高的交點是直角頂點，鈍角三角形高（所在的直線）的交點在三角形的外部。）4三角形的內角與外角（1）三角形的內角和：180引申：直角三角形的兩個銳角互余；一個三角形中至多有一個直角或一個鈍角；一個三角中至少有兩個內角是銳角。（2）三角形的外角和：360（3） 三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；常用來求角度三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。常用來比較角的大小5.多邊形的內角與外角（1）多邊形的內角和：（n-2）180（2）多邊形的外交和：360引申：（1）從n邊形的一個頂點出發能作（n-3）條對角線；（2）多邊形有條

4、對角線。（3）從n邊形的一個頂點出發能將n邊形分成（n-2）個三角形；6鑲嵌（1）同一種正三邊形、正四邊形、正六邊形可以進行平面鑲嵌；（2）正三角形與正四邊形、正三角形與正六邊形可以進行平面鑲嵌；（1）同一種任意三角形、任意四邊形可以進行鑲嵌?！镜湫屠}】考點一：三角形的分類例題1：具備下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ B ）。A：A+B=C B：A=B= C C：A=90-B D：A-B=90例題2：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數為( D )A60 B120 C60或150 D60或120圖2圖3考點二：三角形三邊的關系例題1：已知：如圖1，ABC中，D是AB

5、上除頂點外的一點.， 求證：AB+ACDB+DC；變式一：已知：如圖3，ABC中，點P為ABC內任一點求證： AB+BC PB+PC 延長BP與AC交于點D,根據三角形三邊的關系：有 (1)+(2)-PD得變式二：如圖2，點P為ABC內任一點，求證：PA+PB+PC(AB+BC+AC);變式三：如圖3，D、E是ABC內的兩點，求證：AB+ACBD+DE+EC.例題2：現有兩根木棒，它們的長分別是40cm和50cm，若要釘成一個三角形木架，則在下列四根木棒中應選取長為（C）A.100cm的木棒 B.90cm的木棒 C.40cm的木棒 D.10cm的木棒練習：1. 下列長度的三條線段能組成三角形的

6、是 （ D ）A、 3，4，8 B、 5，6，11 C、 1，2，3 D、 5，6，102. 一個等腰三角形的兩條邊長分別為8和3，那么它的周長為 19cm .考點三：三角形的中線的性質例題1：將ABC分成面積相等的四個三角形。ABC方法三ABC方法二ABC方法一例題2：已知：如圖，AD、BC、DE是ABC的三條中線，O為交點。ACBDEFO求證：（1） (2) _F_E_D_B_C_A練習:1.如圖5，在ABC中，已知點D，E，F分別為邊BC，AD，CE的中點，且= 4，則等于( B )A2 B. 1 C. D. 考點四：三角形的穩定性三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的

7、這個性質就叫做三角形的穩定性例如起重機的支架采用三角形結構就是這個道理練習：1.不是利用三角形穩定性的是( )A、自行車的三角形車架 B、三角形房架 C、照相機的三角架 D、矩形門框的斜拉條2.下列圖形中具有穩定性的有（ ）A 、正方形 B、長方形 C、梯形 D、 直角三角形考點五：三角形的外角與不相鄰的內角的關系例題1：如圖，已知點P在ABC內任一點，試說明A與P的大小關系。例題2：如圖4，1+2+3+4等于多少度；（280） 練習：1、如圖，下列說法錯誤的是( A )A、B ACD B、B+ACB =180AC、B+ACB B2、若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，則這個三角形是(

8、C ).A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、無法確定考點六：三角形的內角和、外角和相關的計算與證明例題1：若三角形的三個外角的比為3：4：5，則這個三角形為（ B ）A銳角三角形 B直角三角形 C等邊三角形 D鈍角三角形例題2：已知等腰三角形的一個外角為150，則它的底角為_.練習：1、如圖，若AEC=100，B=45，C=38，則DFE等于( A )A. 125 B. 115 C. 110 D. 105 2、如圖，1=_._3題圖_150_50_3_2_1_2題圖_140_80_1_1題圖_F_E_A_C_B_D3、如圖，則1=_,2=_,3=_,4、已知等腰三角形的一個外角

9、是120，則它是( C )A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰鈍角三角形5、如果三角形的一個外角和與它不相鄰的兩個內角的和為180，那么與這個外角相鄰的內角的度數為( C )A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 6、已知三角形的三個外角的度數比為234，則它的最大內角的度數( D ).A. 90 B. 110 C. 100 D. 120 例題2：如圖,已知中,的角平分線BD,CE相交于點O.ABCO（1）若，則 ；（2）若，則 ；（3） 若,則 ；（4）請探究.變式一：如圖，BP平分FBC，CP平分ECB.（1）若A=40，求BPC的度數；（2）若A=

10、a，求BPC的度數（用含a的代數式表示）.變式二：已知：BD為ABC的角平分線，CO為ABC的外角平分線，它與BO的延長線交于點O，試探索BOC與A的數量關系，并說明理由引申：如圖，若E為BA延長線上一動點，連EC，AEC與ACE的角平分線交于Q，當E滑動時有下面兩個結論：Q+A1的值為定值；Q-A1的值為定值，其中有且只有一個是正確的，請寫出正確的結論，并求出其值（正確，Q+A1=180）變式三：已知：如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，如圖，DAB和BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N試解答下列問題：（1）在圖中，若D=40，B=30，試求P的

11、度數；（寫出解答過程）（2）如果圖中D和B為任意角，其他條件不變，試寫出P與D、B之間數量關系（B+D=2P）例題3：如圖甲，在ABC中，ADBC于D，AE平分BAC（1）若B=30，C=70，則DAE=20 ；（2）若CB=30，則DAE= 15 ；（3）若CB=a（CB），求DAE的度數（用含a的代數式表示）；（）（4）如圖乙，當CB時我們發現上述結論不成立，但為了使結論的統一與完美，我們不妨規定：角度也有正負，規定順時針為正，逆時針為負例如：DAE=18，則EAD=18，作出上述規定后，上述結論還成立嗎？_成立_；若DAE=7，則BC=_14_變式一：已知：如圖1，ABC中，BC，AD是

12、ABC的角平分線，點P是AD上的一點，過點P畫PHBC于H（1）求證：DPH=（BC）；（2）如圖2，當點P是線段AD的延長線上的點時，過點P畫PHBC于H，上述結論任然成立嗎？請你作出判斷并加以說明變式二：如圖，AE、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB，ODBC，求證：1=2由（1）得例題4：如圖，一張三角形ABC紙片，點D、E分別是ABC邊上兩點研究（1）：如果沿直線DE折疊，使A點落在CE上，則BDA與A的數量關系是_BDA=2A _研究（2）：如果折成圖的形狀，猜想BDA、CEA和A的數量關系是_BDA+CEA=2A 研究（3）：如果折成圖的形狀，猜想BDA、CEA和A的數量關系

13、，并說明理由_BDA-CEA=2A變式：研究（4）：將問題1推廣，如圖，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內部時，1+2與A、B之間的數量關系是_2A+2B-1-2-180=0_考點五：多邊形的內角和與外角和（識記）正n邊形34568101215內角和1803605407201080144018002340外角和360360360360360360360360每一個內角6090108120135144150158每一個外角12090726045363022例題1：若一個多邊形的內角和與外角和相等，則這個多邊形是（A）A 三角形 B六邊形 C五邊形 D四邊形例題2：下

14、列說法錯誤的是（ A ）A邊數越多，多邊形的外角和越大 B多邊形每增加一條邊，內角和就增加180C正多邊形的每一個外角隨著邊數的增加而減小 D六邊形的每一個內角都是120例題3：一個多邊形內角和與其中一個外角的總和為1360這個多邊形的邊數為 9 .例題4：一個多邊形的每一個外角都是24，則此多邊形的內角和（B）A2160 B2340 C2700 D2880練習：1一個多邊形內角和是10800，則這個多邊形的邊數為 （ B ）A、 6 B、 7 C、 8 D、 92一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是（ C ）A、 四邊形 B、 五邊形 C、 六邊形 D、 八邊形3一個多邊形的邊數增加一倍，

15、它的內角和增加( A )A. 180 B. 360 C. (n-2)180 D. n1804、若一個多邊形的內角和與外角和相加是1800，則此多邊形是( B )A、八邊形 B、十邊形 C、十二邊形 D、十四邊形5、正方形每個內角都是 _90_，每個外角都是 _90_。6、多邊形的每一個內角都等于150，則從此多邊形一個頂點出發引出的對角線有 9 條。7、正六邊形共有_9_條對角線，內角和等于_720_，每一個內角等于_120_。8、內角和是1620的多邊形的邊數是 _11_。9、如果一個多邊形的每一外角都是24，那么它是_15_邊形。10、將一個三角形截去一個角后，所形成的一個新的多邊形的內角

16、和_180或360_。11、一個多邊形的內角和與外角和之比是52，則這個多邊形的邊數為_8_。12、一個多邊形截去一個角后,所得的新多邊形的內角和為2520,則原多邊形有_15或16或17_條邊。13.已知一個十邊形中九個內角的和的度數是12900，那么這個十邊形的另一個內角為 150 度.考點六：鑲嵌例題1：裝飾大世界出售下列形狀的地磚：正方形；長方形；正五邊形；正六邊形。若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚有（ B ） A. B. C. D. 例題2：邊長相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是( B)A.正方形與正三角形B.正五邊形與正三角形 C.正六邊形與正三角形D.正八邊形與正方形練習：1. 下列正多邊中，能鋪滿地面的是（ B ）A、正方形 B、 正五邊形 C、 等邊三角形 D、 正六邊形2. 下列正多邊形的組合中，不能夠鋪滿地面的是( D ).A.正六邊形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八邊形和正方形 D.正五邊形和正八邊形3. 用正三角形和正十二邊形鑲嵌，可能情況有( B )種.A、1 B、2 C、3 D、44. 某裝飾公司出售下列形狀的地磚：