1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上華中師范大學武漢傳媒學院畢業(yè)論文（設(shè)計）靜電場中的高斯定理的應(yīng)用院 系：傳媒工程系專 業(yè)：電子信息工程班 級：B1001班姓 名：常天學 號：指導(dǎo)教師：黃 金 仙2014年3月29日專心-專注-專業(yè) 靜電場中的高斯定理的應(yīng)用 Gauss theorem of electrostatic field 摘 要 高斯定理是電磁學的一條重要定理，他不僅在靜電場中有重要的應(yīng)用，而且也是麥克斯韋電磁場理論中的一個重要方程。本文比較詳細的介紹了高斯定理在靜電場中的應(yīng)用，并提供了數(shù)學法，直接證明法等方法證明他，總結(jié)出應(yīng)用高斯定理應(yīng)注意的幾個問題和高斯定理幾種對稱性求解場強的方法，最后

2、推導(dǎo)出了介質(zhì)中的高斯定理的求解方法，從這些問題中可以發(fā)現(xiàn)高斯定理在解決靜電場問題的方便之處。關(guān)鍵詞： 高斯定理 靜電場 應(yīng)用Abstract Gauss theorem is an important theorem of electromagnetism, he not only has important application in the electrostatic field, and is an important equation of maxwell electromagnetic field theory. More detailed introduced in this p

3、aper the gauss theorem in the application of electrostatic field, and provides a mathematical method, the direct proof method and other methods to prove his, summed up the application of gaussian set several problems that should pay attention to several symmetry solving field intensity and gauss the

4、orem, the method of the gauss theorem of solution is deduced the medium, from these problems can be found in the gauss theorem in the place where the convenient to solve the problem of electrostatic field.Keywords: Gauss theorem Electrostatic field Application目 錄1.3從庫倫定律推導(dǎo)高斯定理4緒論 電磁學是研究電磁相互作用和電磁運動基本

5、規(guī)律的一門學科，是經(jīng)典物理學的一個重要分支，也是近代物理學不可缺少的基礎(chǔ)。而靜電場中的高斯定理就是電磁學的一部分，同時靜電場中的高斯定理是電磁學中的重要定理之一。它反映了靜電場的一個基本性質(zhì), 即靜電場是有源場, 其源即是電荷。目前，靜電場中的高斯定理主要用于簡化計算具有對稱性的電場，可用來計算帶電體周圍電場的電場強度，還可以用于空間對稱的引力場中，在這些方面，高斯定理更為簡單明了。靜電場中的高斯定理可表述為:在靜電場中, 通過任意閉合曲面的電通量, 等于該閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的倍, 與閉合曲面外的電荷無關(guān)。 在現(xiàn)在的靜電場高斯定理中，我們需要注意兩個方面的問題:（1）電荷分布對稱情況

6、下高斯定理的應(yīng)用； (2) 電荷分布不對稱情況下高斯定理的應(yīng)用： 對這兩種情況下的研究我們可以得出對稱性不是利用高斯定理求場強的唯一條件，并非電荷或電場分布具有對稱性時就一定能用高斯定理求場強，而不具有對稱性時就一定不能用高斯定理求場強。 這篇論文主要通過對高斯定理的表述及驗證，常見的三種對稱性的分析和介質(zhì)中高斯定理的研究來論證高斯定理在靜電場中的應(yīng)用，在確定了設(shè)計題目之后，我首先就在教材中查看所涉及的相關(guān)知識，再到圖書館查詢資料，借閱參考文獻，還通過互聯(lián)網(wǎng)搜集到一些可以使用的資源，拓寬了思路，然后經(jīng)過和指導(dǎo)老師的互動交流，確立了設(shè)計方案。在設(shè)計過程中，要確保整體方案能夠協(xié)調(diào)工作，從而達到設(shè)計

7、要求。1 靜電場中高斯定理的表述及驗證 1.1高斯定理的定義： 高斯定理的表述是：通過任意閉合曲面的電通量等于該曲面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和除以，與閉合曲面外的電荷無關(guān)。 1.2高斯定理的驗證：1.2.1單個點電荷被包圍在同心球面內(nèi) 點電荷+q在周圍空間激發(fā)電場呈球?qū)ΨQ輻射狀分布，故以q為球心，任意長度r為半徑做一球面，則高斯球面上各電場強度大小相等，均為 場強的方向沿矢徑方向向外。在高斯面上任取一面元，則通過的電通量為d=因為外法線矢量n的方向也沿矢徑向外，所以n與E之間的夾角=，故通過的電通量為d 于是，通過整個球面的電通量為 因此，得1.2.2單個點電荷被包圍在任意閉合曲面內(nèi) 點電荷

8、q被包圍在任意閉合曲面s內(nèi)。根據(jù)電通量的直觀物理意義，通過閉合面s的電場線數(shù)目就是通過該閉合面的電通量，由球心q發(fā)出的電場線通過球面s，也將全部通過面s。這表明通過任意閉合面s的電通量于通過以q為球心的球面s的電通量相同，即 1.2.3單個點電荷在任意閉合面外 以點電荷q為頂點做一錐面，錐面在閉合曲面上截取兩個面元，。由于閉合曲面內(nèi)無電荷，從電荷q發(fā)出的電場線通過也必將全部通過，對電場線是由閉合面外向內(nèi)穿入提供負電通量，而對電場線是由閉合面內(nèi)外穿出提供正電通量，兩者和d的數(shù)值相等，正負相反，它們的代數(shù)和為零。通過整個閉合曲面S的電通量是通過這樣一對對面元的電通量之和，因而也等于零。可見，這種情

9、況下的高斯定理也成立，并說明通過閉合曲面的電通量于閉合面外電荷無關(guān)。1.2.4閉合面內(nèi)外均有點電荷的情況 設(shè)空間同時存在k個點電荷，其中q1，q2，在高斯面S之內(nèi)，+1，+2，,在高斯面S之外。設(shè)S面上任意一點的總場強為E，則由場強疊加原理，有式中：E1，E2,是各點電荷單獨存在時的場強，則穿過S面的電通量為 = 由證明可知閉合面外電荷對閉合面電通量無貢獻，只有閉合面內(nèi)點電荷才有貢獻，于是上式可寫為：至此，高斯定理全部證明完畢。 為了正確理解高斯定理，特提出以下注意點。（1）穿過閉合面（高斯面）的 電通量 只與閉合面內(nèi)的電荷有關(guān)，與閉合面外的電荷無關(guān)，與閉合面內(nèi)的電荷怎樣分布也無關(guān)。（2）閉合

10、面上任一點的場強是閉合面內(nèi)、外所有電荷共同激發(fā)的，即閉合面上的場所是指總場強，不能錯誤地理解為閉合面上的場強只是由面內(nèi)電荷激發(fā)的，面外電荷無貢獻，高斯定理說明的是，穿過閉合面的總的電通量（而不是場強）只與面內(nèi)電荷有關(guān)，面外電荷對總電通量沒貢獻，但對閉合面上各點場強是有貢獻的。因此，當高斯面內(nèi)電荷的代數(shù)和為零的，并不意味著高斯面上的場強處處為零。（3）因閉合面內(nèi)的電荷有正有負，所以是指電荷的代數(shù)和。當=0時，只能說明穿過高斯面的電通量為零，不能說明高斯面內(nèi)沒有電荷分布（可能有等量的正、負電荷）。當<0時，也應(yīng)理解為可能只有負電荷，也可能有正、負電荷分布，但負電荷多于正電荷。（4）閉合面內(nèi)的

11、電荷為正時，通過高斯面的電通量大于零，這說明有電場線從閉合面內(nèi)正電荷發(fā)出；若高斯面包圍的電荷為負時，則通過高斯面的電通量小于零，表明有電場線穿過閉合面，終止于負電荷。這就表明，電場線是從正電荷發(fā)出，到負電荷終止，是不閉合的曲線。從這個意義上說，靜電場是“有源場”。因此，高斯定理是反映靜電場特性的一個重要定理。此外，高斯定理不僅對靜電場適用，對變化的電場也適用，它是電磁場理論的基本防城之一。 1.3從庫倫定律推導(dǎo)高斯定理從庫倫定律出發(fā)，可以推導(dǎo)出高斯定理。先介紹立體角的概念。如圖所示，立體角是由過一點的涉嫌，繞過該點的某一軸線旋轉(zhuǎn)一周所掃出的錐面所限定的空間。如果以點為球心、R為半徑做球面，若立

12、體角的錐面在球面上截下的面積為S，則次立體角的大小為。立體角的單位是球面度（）。整個球面對球心的立體角是。對于任一個有向曲面S,面上的面積元對某點的立體角是 式中，r是面積元所處的位置，是點的位置，R是從點到點r的失徑，是有向面元與R的夾角。立體角可以為正，也可以為負，是夾角為銳角或鈍角而定。整個曲面S對點所張的立體角是 若S是封閉曲面，則 即任意封閉曲面對其內(nèi)部任一點所張的立體角為，對外部點所張的立體角為零。 高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面電荷間的關(guān)系。先考慮點電荷的電場穿過任意閉曲面S的通量： 若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為；若q位于S外部，上式中的立體角為零。對點電荷

13、系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為 上式中，Q是閉合面內(nèi)的總電荷。高斯定理是靜電場的一個基本定理。它說明，在真空中穿出任意閉合面的電場強度通量，等于該閉合面內(nèi)部的總電荷量與之比。應(yīng)該注意曲面上的電場強度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的。不要錯誤的認為其與曲面S外部的電荷無關(guān)。但是外部電荷在閉合面上產(chǎn)生的電場強度的通量為零。 以上的高斯定理也稱為高斯定理的積分形式，它說明通過閉合曲面的電場強度通量與閉合面內(nèi)的電荷之間的關(guān)系，并沒有說明某一點的情況。要分析一個點的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為的體分布電荷，則上式可以寫為 式中V是S所限定的體積。用散度定理，可以將上式左面的面積分變換為

14、散度的體積分，即 由于體積V是任意的，所以有 這就是高斯定理的微分形式。它說明，真空中任意一點的電場強度的散度等于該點的電荷密度與之比。微分形式描述了一點處的電場強度的空間變化和該點電荷密度的關(guān)系。盡管該點的電場強度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的，可是這一點電場強度的散度僅僅取決于該點的電荷密度，而與其他電荷無關(guān)。 高斯定理的積分形式可以用來計算平面對稱、軸對稱及球?qū)ΨQ的靜電場問題。解題的關(guān)鍵是能將電場強度從積分號中提取出來，這就要求找出一個封閉面（高斯面）S，且S由兩部分S1和S2組成。在S1上，電場強度E與有向面元平行，|（或二者之間的夾角固定不變），并且電場強度的大小保持不變；在S2上，有。這

15、樣就可以求出對稱分布電荷產(chǎn)生的場。 微分形式用來從電場分布計算電荷分布。 2 高斯定理常見三種對稱性分析2.1 球?qū)ΨQ性, 如點電荷, 均勻帶電球面或球體等;例：均勻帶電球面的電場，球面半徑為R,帶電為q。解：電場分布也應(yīng)有球?qū)ΨQ性，方向沿徑向。作同心且半徑為r的高斯面。r<R時，高斯面內(nèi)無電荷：r>R時，高斯面包圍電荷q，2.2 軸對稱性, 如無限長均勻帶電直線, 無限長均勻帶電圓柱或圓柱面, 無限長均勻帶電同軸圓柱面例：無限長均勻帶電直線的電場強度無限長均勻帶電直線，單位長度上的電荷，即電荷線密度，求距直線為r處的電場強度。解：對稱性分析：軸對稱 。 選取閉合的柱形高斯面2.3

16、 面對稱性, 如均勻帶電無限大平面或平板,或者若干均勻帶電無限大平行平面。例：均勻帶電無限大平面的電場。解：電場分布也應(yīng)有面對稱性，方向沿法向。作軸線與平面垂直的圓柱形高斯面，底面積為S，兩底面到帶電平面距離相同。圓柱形高斯面內(nèi)電荷由高斯定理得我們可以得出，利用高斯定理求場強的步驟：（1）分析場強分布的對稱性。（2）合理選取高斯面。（3）計算高斯面包圍的電荷電量。（4）用高斯定理求場強。 3 介質(zhì)中的高斯定理的研究3.1電介質(zhì)中的高斯定理： 電位移矢量D 由及 定義輔助物理量電位移D=，則有 有介質(zhì)時的高斯定理： 結(jié)束語 本次課程設(shè)計基本上完成了設(shè)計目標與要求，但是對于部分公式的推導(dǎo)及轉(zhuǎn)化還不

17、是徹底的理解，依然存在一些瑕疵，有待進一步改善，個人覺得： 1.總體上還是比較容易理解高斯定理的，但是對于某些公式的轉(zhuǎn)換還需要更加深刻的理解。 2.在三種對稱性分析中，需要更多的習題來理解并且知道解題的方法。 5 收獲與體會 通過這次畢業(yè)設(shè)計：靜電場中的高斯定理，讓我對高斯定理有了更加深刻的理解，對這些知識的運用也更加靈活和熟練，對我來說收獲很大。盡管這種設(shè)計可能是比較簡單的一種，我還是遇到了很大的困難，但是我并沒有輕易放棄。在設(shè)計之前，參考了許多相關(guān)的資料，咨詢的很多老師和相關(guān)專業(yè)人員。在設(shè)計中又參考了課本上給出的知識，開始時我也不會推導(dǎo)這些公式，并且對原理也不是非常了解，但通過對所學知識更

18、深入的學習和老師的答疑講解和幫助，最終克服了難關(guān)，理解了許多東西。一路走來，我收獲了知識，收獲了希望和努力后的成果。電子課程設(shè)計實踐，是以學生自己動手動腦為前提，它將基本技能訓練、基本工藝知識和創(chuàng)新啟蒙有機結(jié)合，培養(yǎng)我們的實踐能力和創(chuàng)新精神。作為信息時代的大學生，僅會書本理論是不夠的，基本的動手能力是一切工作和創(chuàng)造的基礎(chǔ)和必要條件。通過這次畢業(yè)設(shè)計，我發(fā)現(xiàn)了以往學習中的許多不足，我更加深深地體會到了自學的重要性。比如在推導(dǎo)高斯定理三種對稱性時，以前只是看著老師推導(dǎo)，再把結(jié)論記下來，只是學到了皮毛，現(xiàn)在自己推導(dǎo)時才發(fā)現(xiàn)有許多不會的地方，但是通過反復(fù)查閱資料和在老師的指導(dǎo)下，完成了對我來說困難的嘗試。其實，大學中很多東西都是要靠自己去學的，當然，我們不能盲目的去學一些對自己專業(yè)沒有很大幫助的東西。相反，我們應(yīng)該抽時間好好的學習那些對我來說很有用的理論知識和軟件。比如我的這個專業(yè)，在實踐的同時需要大量的理論知識作為基礎(chǔ)，所以我覺得我還需要加強對這些知識的理解和運用。自學是我們學習好一門課、一門專業(yè)重要的一種能力。一個擁有很強自學能力的人，他在某種程度上可以比那些自學能力相對弱