1、.2.2.3等差數列的前n項和學習目的：1.掌握等差數列的前n項和公式，并能運用公式解決一些簡單問題重點2.體會等差數列前n項和公式與二次函數間的關系難點3.等差數列前n項和的最值的判斷易錯點自 主 預 習·探 新 知1等差數列的前n項和公式條件首項a1和末項an首項a1和公差d選用公式SnSnna1推導等差數列的前n項和的方法是倒序相加法考慮1：高斯用12310011002995051101×50迅速求出了等差數列前100項的和但假如是求123n，不知道共有奇數項還是偶數項怎么辦？提示不知道共有奇數項還是偶數項導致不能配對但我們可以采用倒序相加來回避這個問題：設Sn123

2、n1n，又Snnn1n221，2Sn1n2n1n12n1，2Snnn1，Sn.考慮2：我們對等差數列的通項公式變形：ana1n1ddna1d，分析出通項公式與一次函數的關系你能類比這個思路分析一下Snna1d嗎？提示按n的降冪展開Snna1dn2n是關于n的二次函數形式，且常數項為0.2等差數列前n項和常用性質1Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差數列2S奇表示奇數項之和，S偶表示偶數項之和，公差為d.當項數為偶數2n時，S偶S奇nd，.當項數為奇數2n1時，S奇S偶an，.3前n項Sn是關于n的二次函數，不具有常數項當a1>0，d<0時，Sn有最大值當a1<0，d>

3、0時，Sn有最小值考慮3數列的前n項和是數列中任意n項的和嗎？提示不是是從a1到an的和根底自測1在等差數列an中，a11，a3030，那么S30_.解析S30465.答案4652在等差數列an中，a11，a3a514，其前n項和Sn100，那么n_.解析a11，a3a52a414，a47，d2，Snna1×2100，n10.答案103假設an是等差數列，且a1a4a745，a2a5a839，那么a3a6a9_.解析設a3a6a9x，那么45,39，x成等差數列，45x39×2，x33.答案334等差數列an的前n項和為Snn210n，那么當n_時，Sn最小解析Snn210

4、nn5225，當n5時，Sn最小，為25.答案5合 作 探 究·攻 重 難與等差數列Sn有關的根本量的計算在等差數列an中，1a1，an，Sn5，求n和d；2a14，S8172，求a8和d；3d2，an11，Sn35，求a1和n.思路探究12利用Sn求解；3利用Snna1d求解解1由題意，得Sn5，解得n15.又a15151d，d.2由，得S8172，解得a839.又a8481d39，d5.3由得解方程組得或規律方法等差數列的根本計算方法與技巧1公式Sn中涉及四個量：Sn，n，a1，an；公式Snna1d中也涉及四個量：Sn，n，a1，d.結合等差數列的通項公式ana1n1d，對于等

5、差數列中的五個量：Sn，n，a1，an，d，其中的三個可以求另外的兩個量簡稱“知三求二2在進展等差數列根本量的互求時，要注意求和公式和通項公式的恰中選取，注意方程思想及等差數列性質的應用跟蹤訓練1等差數列an中，1a1，d，Sm15，求m及am；2a11，an512，Sn1 022，求d；3S524，求a2a4.解1Smm··15，整理，得m27m600，解得m12或m5舍去，ama12121×4.2由Sn1 022，得n4.又由ana1n1d，即512141d，解得d171.3法一：設等差數列的首項為a1，公差為d，那么S55a1d24，得5a110d24，即a

6、12d，a2a4a1da13d2a12d2×.法二：由S524，得a1a5.a2a4a1a5.等差數列前n項和的最值在等差數列an中，公差為d，假設a125，且S9S17，求數列an的前多少項和最大？思路探究解法一：由得解得d2.那么Sn25n×2n226nn132169，數列an的前13項和最大法二：同法一解得d2，an252n12n27.令an>0，即2n27>0，解得n<13.5，即數列an的前13項均為正數，第13項以后均為負數，數列an的前13項和最大法三：a125，S9S17，公差d<0.又Snna1dn2n，設a，ba1，那么Snan2

7、bna<0，其圖象是二次函數fxax2bx圖象上一群孤立的點S9S17，即f9f17，二次函數fx的圖象的對稱軸為x13，且開口向下，當x13時，fx獲得最大值，數列an的前13項和最大規律方法等差數列前n項和最值的三種解法1符號轉折點法.當a1>0，d<0時，由不等式組可求得Sn取最大值時的n值.當a1<0，d>0時，由不等式組可求得Sn取最小值時的n值.2利用二次函數求Sn的最值.知道公差不為0的等差數列的前n項和Sn可以表示成Snan2bna0的形式，我們可將其變形為Sna.假設a>0，那么當最小時，Sn有最小值；假設a<0，那么當最小時，Sn有

8、最大值.3利用二次函數圖象的對稱性.跟蹤訓練2在等差數列an中，an2n14，試用兩種方法求該數列前n項和Sn的最小值. 【導學號：57452042】解法一：an2n14，a112，d2，a1<a2<<a6<a70<a8<a9<，當n6或n7時，Sn取到最小值易求S742，Snmin42.法二：an2n14，a112，Snn213n，當n6或n7時，Sn最小，且Snmin42.等差數列前n項和的性質及應用探究問題1設an是等差數列，Sn是其前n項和，d是其公差，那么Sm，S2mSm，S3mS2m是否成等差數列？假如是，其公差是多少？提示由Sma1a2a

9、m，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d.同理S3mS2ma2m1a2m2a3mS2mSmm2d.所以Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數列，并且公差為m2d.2設Sn，Tn分別為兩個等差數列an和bn的前n項和，那么與有怎樣的關系？請證明提示.證明：S2n12n1a1a2n1·2an2n1an；同理T2n12n1bn；.即.1等差數列an的前m項和為30，前2m項和為100，求數列an的前3m項的和S3m.2兩個等差數列an，bn的前n項和分別為Sn和Tn，求的值思路探究1利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數列求解2利用求解解1在等差數列中，Sm

10、，S2mSm，S3mS2m成等差數列，30,70，S3m100成等差數列，2×7030S3m100，S3m210.2.規律方法1對等差數列an的前n項和Sn，等差數列bn的前n項和Tn，是很重要的性質，解類似題目時注意運用2求解等差數列的有關問題時，注意利用等差數列的性質以簡化運算過程跟蹤訓練31設Sn是等差數列an的前n項和，假設，那么_.2在項數為2n1的等差數列中，所有奇數項的和為165，所有偶數項的和為150，那么n的值為_解析1由S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差數列，可得.2S奇a1a3a2n1，S偶a2a4a2n.又a1a2n1a2a2n，解得n10.答案121

11、0當 堂 達 標·固 雙 基1在等差數列an中，a4a816，那么該數列前11項和S11_.解析S11，a1a11a4a816，S1188.答案882等差數列an中，S104S5，那么_.解析S104S5，10a1d45a1×5×4d，d2a1，.答案3數列an為等差數列，它的前n項和為Sn，假設Snn12，那么的值為_解析等差數列前n項和Sn的形式為Snan2bn，1.答案14在等差數列an中，a3a5，那么S9S5的值是_. 【導學號：57452043】解析××.答案5an是等差數列，其中a1030，a2050.1求數列an的通項公式；2假設