1、精選優質文檔-傾情為你奉上智立方教育 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組一. 不等關系1. 一般地,用符號“<”(或“”), “>”(或“”)連接的式子叫做不等式.2. 區別方程與不等式：方程表示是相等的關系，不等式表示是不相等的關系。3. 準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數”、“不小于”等數學術語.非負數 大于等于0(0) 0和正數 不小于0非正數 小于等于0(0) 0和負數 不大于0二. 不等式的基本性質1. 掌握不等式的基本性質,并會靈活運用:(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式,不等號的方向不變,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>

2、;b-c.(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數,不等號的方向不變,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, .(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數,不等號的方向改變,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, 2. 比較大小:(a、b分別表示兩個實數或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b是正數;反過來,如果a-b是正數,那么a>b;如果a=b,那么a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b是負數;反過來,如果a-b是正數,那么a<b;即:a>b a-b>0 a=b

3、a-b=0 a<b a-b<0 (由此可見,要比較兩個實數的大小,只要作差即可)例 下列各式一定成立的是( )A7a4a B. a-a C. a+1a1 D. aa2例 若ab,且a、b同號，以下不等式中一定成立的有 a2b2 a3b3 1/a1/b a/b1A. 0 B. 1 C. 2 D. 3三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解;一個不等式的所有解,組成這個不等式的解集;求不等式的解集的過程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有無數多個,一般是在某個范圍內的所有數,與方程的解不同.3. 不等式的解集在數軸上的表示:用數軸表示不等式的解集時,要確定

4、邊界和方向: 邊界:有等號的是實心點,無等號的是空心圓圈;方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一個未知數,且含未知數的式子是整式,未知數的次數是1. 像這樣的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似,特別要注意,當不等式兩邊都乘以一個負數時,不等號要改變方向.3. 解一元一次不等式的步驟:去分母;去括號;移項;合并同類項;系數化為1(不等號的改變問題)4. 一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax<b)當a>0時,解為;當a=0時,且b<0,則x取一切實數;當a=0時,且b0,則無解;當a<0時, 解為;5. 不

5、等式應用的探索(利用不等式解決實際問題)列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似,即:審: 認真審題,找出題中的不等關系,要抓住題中的關鍵字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義;設: 設出適當的未知數;列: 根據題中的不等關系,列出不等式;解: 解出所列的不等式的解集;答: 寫出答案,并檢驗答案是否符合題意.例 不等式mxn(m0)的解集是( )Axn/m B. 當m0時，xn/m，當m0時，x-n/mCxn/m D當m0時，xn/m，當m0時，xn/m例 如果不等式(a+1) x(a+1)的解集為x1，則a必須滿足的的條件是：A. a0 B. a-1 C. a-1 D

6、. a-1例 已知關于x的不等式(2ab)x+a5b 0的解集為x10/7,則ax+b0的解集為 x2ax2-bxaxb 例 若不等式組 無解，則不等式組 的解集是 例 水果店進了某中水果1t，進價是7元/kg。售價定為10元/kg，銷售一半以后，為了盡快售完，準備打折出售。如果要使總利潤不低于2000元，那么余下的水果可以按原定價的幾折出售？例 某廠有甲、乙兩種原料配制成某種飲料，已知這兩種原料的維生素C含量及購買這兩種原料的價格如下表：原料維生素C及價格甲種原料乙種原料維生素C/（單位/千克）600100原料價格/（元/千克）84 現配制這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素C

7、，并要求購買甲、乙兩種原料的費用不超過72元，（1）設需用千克甲種原料，寫出應滿足的不等式組。（2）按上述的條件購買甲種原料應在什么范圍之內？五. 一元一次不等式組1. 定義: 由含有一個相同未知數的幾個一元一次不等式組成的不等式組,叫做一元一次不等式組.2. 一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分,就說這個不等式組無解.幾個不等式解集的公共部分,通常是利用數軸來確定.3. 解一元一次不等式組的步驟:(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集;(2)利用數軸求出這些解集的公共部分,即這個不等式組的解集.兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a

8、、b為實數,且a<b)一元一次不等式解集圖示敘述語言表達x>b兩大取較大x<a兩小取小a<x<b大小交叉中間找無解在大小分離沒有解(是空集)x2m+1xm+2例 如果不等式組 的解集是x-1，那么m的值為( ) A -3 B 3 C 1 D 3或-12x3(x-3) +1(3x+2)/4x+a例 關于x的不等式組 有四個整數解，則a的取值范圍是( )A. -11/4a -5/2 B .-11/4a-5/2 C. 11/4a-5/2 D.-11/4a-5/2第二章 分解因式一. 分解因式1. 把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.2.

9、 因式分解與整式乘法是互逆關系。因式分解與整式乘法的區別和聯系:(1)整式乘法是把幾個整式相乘,化為一個多項式;(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘.例 下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（ ）(A)(a+3)(a-3)=a2-9 (B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (C)a2b+ab2=ab(a+b) (D)x2+1=x(x+)二. 提公因式法1. 如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如: 2. 概念內涵:(1)因式分解的最后結果應當是“積”;(2)公因式可能是單項式,也可

10、能是多項式;(3)提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律,即: 3. 易錯點:(1)注意項的符號與冪指數是否搞錯;(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項式中某一項恰為公因式,提出后,括號中這一項為+1,不能漏掉.例 下列各式的因式分解中正確的是（ ）(A)-a2+ab-ac= -a(a+b-c) (B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy) (C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b) (D)xy2+x2y=xy(x+y)分解因式 （1）a2(x-2a)2-a(2a-x)3 （2）-3ma3+6ma2-12ma三. 運用公式法1. 如果把乘法公式反過來,就可以用來把某些多項式分解因

11、式.這種分解因式的方法叫做運用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: (2)完全平方公式: 3. 因式分解要分解到底. 如就沒有分解到底.4. 運用公式法:(1)平方差公式: 應是二項式或視作二項式的多項式;二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方;二項是異號.(2)完全平方公式:應是三項式;其中兩項同號,且各為一整式的平方; 還有一項可正負,且它是前兩項冪的底數乘積的2倍.5. 因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;(4)因式分解的最

12、后結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止. 例 下列多項式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2例 下列多項式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）(A) (B) (C) (D)例 將xn-yn分解因式的結果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為 .例 已知(4x+y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2+xy2的值.例 計算的值是 四. 分組分解法:1. 分組分解法:利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法. 如: 2. 概

13、念內涵:分組分解法的關鍵是如何分組,要嘗試通過分組后是否有公因式可提,并且可繼續分解,分組后是否可利用公式法繼續分解因式.3. 注意: 分組時要注意符號的變化.第三章 分式一. 分式1. 兩個整數不能整除時,出現了分數;類似地,當兩個整式不能整除時,就出現了分式. 整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么稱為分式,對于任意一個分式,分母都不能為零.2. 整式和分式統稱為有理式,即有: 3. 進行分數的化簡與運算時,常要進行約分和通分,其主要依據是分數的基本性質: 分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式,分式的值不變. 4. 一個分式的分子分母有公因式時,可以

14、運用分式的基本性質,把這個分式的分子分母同時除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.例 下列代數式：；，其中整式有_，分式有_（只填序號）.例 分式當x _時分式的值為零，當x _時分式有意義.例 如果，則=_.二. 分式的乘除1. 分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.即: , 2. 分式乘方,把分子、分母分別乘方. 即: 逆向運用,當n為整數時,仍然有成立.3. 分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.例 計算（1） （2） 三. 分式的加減法1. 分式與分數類似,也可以通分.根據分式的基

15、本性質,把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.2. 分式的加減法: 分式的加減法與分數的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相加減.(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減; 上述法則用式子表示是:(2)異分母的分式相加減,先通分,變為同分母的分式,然后再加減;上述法則用式子表示是:3. 概念內涵: 通分的關鍵是確定最簡分母,其方法如下:最簡公分母的系數,取各分母系數的最小公倍數;最簡公分母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項式,則首先對多項式進行因式分解. 例 計算（1） （2） 四. 分式方程1. 解分式方程的一般步

16、驟:在方程的兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化成整式方程;解這個整式方程;把整式方程的根代入最簡公分母,看結果是不是零,使最簡公母為零的根是原方程的增根,必須舍去.2. 列分式方程解應用題的一般步驟:審清題意;設未知數;根據題意找相等關系,列出(分式)方程;解方程,并驗根;寫出答案.例 解方程+1例 某質檢部門抽取甲、乙兩廠相同數量的產品進行質量檢查，結果甲廠有48件合格產品，乙廠有45件合格產品，甲廠的合格率比乙廠高5%，求甲廠的合格率？第四章 相似圖形一. 線段的比1. 如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB, CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或寫成.2.

17、 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.3. 注意: a:b=k,說明a是b的k倍;由于線段a、b的長度都是正數,所以k是正數;比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致;除了a=b之外,a:bb:a, 與互為倒數;比例的基本性質: 若, 則ad=bc; 若ad=bc, 則例 若ac=bd，則下列各式一定成立的是( )A.B. C.D.二. 黃金分割_圖1_B_C_A1. 如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫

18、做黃金比. 2.黃金分割點是最優美、最令人賞心悅目的點.例 已知點M將線段AB黃金分割(AMBM)，則下列各式中不正確的是( )A.AMBM=ABAM B.AM=ABC.BM=AB D.AM0.618AB三. 相似多邊形1. 一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.2. 對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.3. 性質：相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方.例 下列圖形中相似的多邊形是（ ）A、所有的矩形 B、所有的菱形C、所有的等腰梯形 D、所有的正方形四. 相似三角形1. 在相似多邊形中,最為簡單的就是相似三角形.2. 對應角相等、對

19、應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.3. 全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等于1. 注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.4. 相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.5. 相似三角形周長的比等于相似比. 6. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.例 若一個三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長邊的長為21cm，則其余兩邊長的和為（）A24cmB21cmC19cmD9cm例 兩個等腰三角形的頂角相等，其中一個三角形的兩邊分別是3、6，另一個三角形的一邊為12，則這個三角形

20、的另兩邊長為 五.探索三角形相似的條件1. 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.兩角對應相等;兩邊對應成比例,且夾角相等;三邊對應成比例.一個銳角對應相等;兩條邊對應成比例:a. 兩直角邊對應成比例;b. 斜邊和一直角邊對應成比例_圖2_F_E_D_C_B_A_l_3_l_2_l_12. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例. 如圖2, l1 / l2 / l3,則.3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.例

21、 如圖所示，D，E分別是ABC的邊AB、AC上的點，1=B，AE=EC=4，BC=10，AB=12，則ADE和ABC的周長之比為（）ABCD例 如圖，ABBC，DCBC，垂足分別為B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在點P使ABP與DCP相似？若有，有幾個？并求出此時BP的長，若沒有，請說明理由。 六. 圖形的放大與縮小（位似圖形）1. 如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過同一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形; 這個點叫做位似中心; 這時的相似比又稱為位似比.2. 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.3. 位似變換: 變換后的圖形,

22、不僅與原圖相似,而且對應頂點的連線相交于一點,并且對應點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心. 一個圖形經過位似變換后得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似圖形. 利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.第五章 數據的收集與處理1. 所要考察的對象的全體叫做總體; 把組成總體的每一個考察對象叫做個體; 從總體中取出的一部分個體叫做這個總體的一個樣本.2. 為一特定目的而對所有考察對象作的全面調查叫做普查; 為一特定目的而對部分考察對象作的調查叫做抽樣調查.3. 當總體中的個體數目較多時，為了節省時間、人力、物力，可采用抽樣調查.為了獲得較為準確的調查結

23、果，抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性，還要注意樣本的大小. 例 今年我市共有8萬名初中畢業生參加升學考試，為了了解這8萬名考生的數學成績，從中抽取了2000名考生的數學成績進行統計分析，以下說法中正確的是（ ） A. 8萬名考生是總體 B. 每名考生的數學成績是個體 C. 2000名考生是總體的一個樣本 D. 以上都不對例 下列調查各屬于哪種調查方式？ （1）為了了解八年級學生的視力情況，在該年級中抽取了100名學生進行視力檢查測試； （2）為了調查學校的男女生比例，調查統計了各班男、女生人數； （3）為了考察同一型號的一批炮彈的殺傷半徑，從中任意抽取210枚進行調查分析。4. 我們稱每個對象

24、出現的次數為頻數，而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率。例 某班50名學生在一次數學考試中，分數在90100分的頻率是0.16，則該班在這個分數段的人數是_。5. 畫頻數分布直方圖的方法： （1）找最大值與最小值，計算最大值與最小值的差（即極差）。 （2）決定組數和組距： 當數據在100個以內時，通常按照數據的多少分成512組； 當極差能被512的整數整除時，商作為組距，組數應加1組。 例：24÷64，組距為4，組數為61。 當極差不能被512的整數整除時，進位取整，商作組距，除數作組數。 例：（231）÷64，組距為4，組數為6。 （3）確定分點： 可采用半開半閉區間

25、，也可適當減小最小值和加大最大值以保證組距相等。 （4）列頻數分布表（唱票法）。 （5）畫頻數分布直方圖。6. 數據波動的統計量：極差：指一組數據中最大數據與最小數據的差。方差：是各個數據與平均數之差的平方的平均數。標準差：方差的算術平方根。（識記計算公式）7. 一組數據的極差，方差或標準差越小，這組數據就越穩定。8. 知道平均數，眾數，中位數的定義。9. 刻畫平均水平用：平均數，眾數，中位數。 刻畫離散程度用：極差，方差，標準差。10. 常考知識點：（1）作頻數分布表，作頻數分布直方圖。（2）利用方差比較數據的穩定性。（3）平均數，中位數，眾數，極差，方差，標準差的求法。 （4）頻率，樣本的

26、定義例 甲、乙、丙、丁四支足球隊在世界杯預選賽中進球數分別為，9，9，x，7。若這組數據的眾數與平均數恰好相等，則這組數據的中位數為（ ） A. 10B. 9C. 8D. 7例 甲、乙兩人在同樣的條件下練習射擊，每人打5發子彈，命中環數如下： 甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9 則兩人射擊成績穩定程度關系是（ ） A. 甲比乙穩定 B. 乙比甲穩定 C. 甲、乙穩定程度相同D. 無法比較例 如果將所給一組數據的每一個數都減去同一個常數，這組數（ ） A. 平均數與方差都改變 B. 平均數改變，方差不變 C. 平均數不變，方差改變 D. 平均數與方差都不變例 甲、乙兩班舉行電腦漢字

27、輸入速度的比賽，參賽學生每分鐘輸入漢字的個數經統計計算后填入下表： 某同學根據此表分析得出如下結論：（1）甲、乙兩班學生成績的平均水平相同；（2）乙班優秀人數多于甲班優秀人數（每分鐘輸入漢字150個為優秀）；（3）甲班成績的波動情況比乙班成績的波動大。上述結論中正確的是（ ） A. （1）（2）（3）B. （1）（2） C. （1）（3）D. （2）（3）第六章 證明(一)一. 定義與命題1. 一般地,能明確指出概念含義或特征的句子,稱為定義.定義必須是嚴密的.一般避免使用含糊不清的術語,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現.2. 可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題.正確的命題稱為真命題,錯誤的命題稱為假命題.3. 數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的,并且把它們作為判斷其他命題真假的原始依據,這樣的真命題叫做公理.4. 有些命題可以從公理或其他真命題出發,用邏輯推理的方法判斷它們是正確的,并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據,這樣的真命題叫做定理.5. 根據題設、定義以及公理、定理等,經過邏輯推理,