1、 x+1=0無解無解3x-2=0無解無解x2-2=0無解無解NZQRx2=-1擴大原那么：擴大原那么：“添加新數，原數集是新數集的真子集；添加新數，原數集是新數集的真子集；在新數集中，原有的運算及其性質仍然成立在新數集中，原有的運算及其性質仍然成立.-1232？自然數自然數整數整數有理數有理數實數實數？NZQR對于一元二次方程對于一元二次方程 沒有實數根沒有實數根012 x12 x引入一個新數引入一個新數 ， 叫做叫做虛數單位虛數單位，并規定：，并規定： ii（1 1）它的平方等于它的平方等于1 1，即，即12 i虛數單位虛數單位2 2實數可以與它進展四那么運算，進展四實數可以與它進展四那么運

2、算，進展四那么運算時，原有的加、乘運算律仍然成立那么運算時，原有的加、乘運算律仍然成立 為了解決負數開方問題為了解決負數開方問題，即：將實數即：將實數a和數和數i相加記為相加記為: a+i； 把實數把實數b與數與數i相乘記作相乘記作: bi； 將它們的和記作將它們的和記作: a+bi (a,bR), 1545年卡爾丹在解方程的過程中第一次大膽使用了負數年卡爾丹在解方程的過程中第一次大膽使用了負數平方根的概念，當時被他稱作平方根的概念，當時被他稱作“狡辯量。狡辯量。 1637年法國數學家笛卡爾率先提出年法國數學家笛卡爾率先提出“虛數這個詞，并虛數這個詞，并在很多方面得到了應用，在很多方面得到了應

3、用，“虛數被證明虛數被證明“不虛了。不虛了。 1777年著名的數學家歐拉首次用表示年著名的數學家歐拉首次用表示 -1 的平方根，的平方根，只是存在于只是存在于“夢想之中，并用夢想之中，并用 imaginary，即虛幻，即虛幻的縮寫來表示它的單位的縮寫來表示它的單位. 1801年，高斯系統地使用這個符號，才使年，高斯系統地使用這個符號，才使i通行于世。通行于世。復數全體所組成的集合叫復數全體所組成的集合叫復數集復數集, ,用字母用字母C表示表示1.復數：把形如把形如 a+bi (a,bR)的數叫的數叫復數復數i 叫做叫做 虛數單位虛數單位(imaginary unit)R,|babiazzC其中

4、一一.復數的有關概念復數的有關概念虛部實部用用z表示復數表示復數, 即即z = a + bi (a,bR) 叫做叫做復數的復數的代數形式代數形式2.復數的代數形式：規定規定: 0i=0,0+bi=bi3.兩個復數相等有兩個復數Z1=a+bi (a,b R)和Z2=c+di(c,d R) a+bi =c+dia=c且b=d注意1、假設Z1,Z2均為實數,那么Z1,Z2具有大小關系2、假設Z1,Z2中不都為實數，Z1與Z2只有相等或不相等兩關系，而不能比較大小4.復數的分類：復數z=a+bi (a,bR)條件數的類型R C實數集R是復數集C的真子集，虛數b0純虛數a=0且b0實數0a=b=0實數b

5、=0復數z=a+bi (a,bR)實數 (b=0)虛數(b0)純虛數(a=0)非純虛數(a0)N Z Q R CNZQR思考思考C C1.數集數集N，Z，Q，R，C的關系是怎樣的？的關系是怎樣的？復數集實數集虛數集純虛數集2.復數集，實數集，虛數集，純虛數集之間關系NZQR自然數集自然數集整數集整數集無理數集無理數集實數集實數集負整數負整數分分 數數負整數負整數無理數無理數分分 數數復數集復數集虛虛 數數無理數無理數C?回憶反思回憶反思1.說明以下數是否是虛數，并說明各數的實部與虛部31i 31i71i 2i )1 (01iii )32(i2練習練習:2.有以下命題：1假設a、b為實數，那么

6、z=a+bi 為虛數2假設b為實數，那么 z=bi 必為純虛數3假設a為實數，那么 z= a 一定不是虛數其中真命題的個數為 A0 B1 C2 D3B例例1 1：實數：實數m m取什么值時，復數取什么值時，復數 是是（1 1）實數？）實數？ （2 2）虛數？）虛數？ （3 3）純虛數？）純虛數？immz)1(1 解解：（：（1 1）當當 ，即，即 時，復數時，復數z z是實數是實數01 m1m （2 2）當當 ，即，即 時，復數時，復數z z是虛數是虛數01 m1 m（3 3）當當 ，且，且 ，即，即 時，時，復數復數z z 是是純虛數純虛數01 m01 m1m 新授課新授課分析在此題是復數的

7、標準形式下，即zabi(a，bR)，根據復數的概念，只要對實部和虛局部別計算，總體整合即可點評判斷一個含有參數的復數在什么情況下是實數、虛數、純虛數，首先要保證參數值有意義，如果忽略了實部是含參數的分式中的分母m30，就會釀成根本性的錯誤，其次對參數值的取舍，是取“并還是“交，非常關鍵，多與少都是不對的，解答后進展驗算是很有必要的對于復數zabi(a，bR)，既要從整體的角度去認識它，把復數z看成一個整體，又要從實部與虛部的角度分解成兩局部去認識它這是解復數問題的重要思路之一(1)以下命題中假命題是()A自然數集是非負整數集B實數集與復數集交集為實數集C實數集與虛數集交集是0D純虛數集與實數集

8、交集為空集答案C解析復數可分為實數和虛數兩大局部，虛數中含有純虛數，因此，實數集與虛數集沒有公共元素，C是假命題應選C.變式練習：變式練習：(2)a、bR，那么ab是(ab)(ab)i為純虛數的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案C解析當ab0時，此復數為0是實數，故A、B不正確；*Znni424ni34ni14ni1-1iiB新授課新授課例例2 2 已知已知 ，其中，其中 ，求求iyyix)3()12( Ryx ,. yx與與解：由復數相等的定義，得方程組解：由復數相等的定義，得方程組 )3(112yyx解得解得4,25 yx說明說明: :實數問題實數問題

9、復數問題復數問題轉轉 化化點評(1)復數相等的條件，是求復數值及在復數集內解方程的重要依據(2)根據復數相等的定義可知，在ac，bd中，只要有一個不成立，那么abicdi.所以，一般地，兩個復數只有說相等或不相等，而不能比較大小，例如，1i和35i不能比較大小(1)x2y22xyi2i，求實數x、y的值(2)復數zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求k的值變式練習：變式練習：附表一：復數與實數、虛數、純虛數及0的關系： 附表二附表二：課堂練習：課堂練習： 1.設集合設集合C=復數，復數，A=實數，實數，B=純虛數，假設全集純虛數，假設全集S=C，那么以下結論，那么以下結論正確的選項是正

10、確的選項是( )A.AB=C B. A=B C.AB= D.BB=C2.復數復數(2x2+5x+2)+(x2+x2)i為虛數，那么為虛數，那么實數實數x滿足滿足( )A.x= B.x=2或或 C.x2 D.x1且且x221213.集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=1，3.MP=3，那么實數m的值為( )A.1 B.1或或14.滿足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的實數對(x，y)表示的點的個數是_.5.復數z=a+bi，z=c+di(a、b、c、dR)，那么z=z的充要條件是_.6.設復數z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是純虛數，求

11、m的值.7.假設方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個實數根，試求實數m的值.8.mR，復數z= +(m2+2m3)i，當m為何值時， (1)zR; (2)z是虛數；(3)z是純虛數；(4)z= +4i.1)2(mmm21 自然數概念可溯源于原始人類用匹配方法計數。自然數概念可溯源于原始人類用匹配方法計數。古希臘人用小石卵記畜群的頭數或部落的人數古希臘人用小石卵記畜群的頭數或部落的人數 。 英文英文calculatecalculate計算一詞是從希臘文計算一詞是從希臘文calculus calculus 石卵演變來的。中國古藉石卵演變來的。中國古藉? ?易系辭易系辭? ?中說：上

12、中說：上古結繩而治，后世圣人易之以書契。古結繩而治，后世圣人易之以書契。 直至直至18891889年，皮亞諾才建立自然數序數理論。年，皮亞諾才建立自然數序數理論。 自然數自然數 零不僅表示無，更是表示空位的符號。中國古代用算零不僅表示無，更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數并進展運算時，空位不放算籌，雖無空籌計算數并進展運算時，空位不放算籌，雖無空 位記號，但位記號，但仍能為位值記數與四那么運算創造良好的條件。印度阿拉伯仍能為位值記數與四那么運算創造良好的條件。印度阿拉伯命數法中的零命數法中的零zerozero來自印度的來自印度的sunya sunya 字，其原意也是字，其原意也是空或空白

13、。空或空白。 中國最早引進了負數。中國最早引進了負數。? ?九章算術方程九章算術方程? ?中論述的正負中論述的正負數，就是整數的加減法。減法的需要也促進數，就是整數的加減法。減法的需要也促進 了負整數的引了負整數的引入。減法運算可看作求解方程入。減法運算可看作求解方程a+x=ba+x=b，如果，如果a a，b b是自然數，那是自然數，那么所給方程未必有自然數解。為了使它恒有解，就有必要把自么所給方程未必有自然數解。為了使它恒有解，就有必要把自然數系擴大為整數系。然數系擴大為整數系。 整數整數分分 數數 原始的分數概念來源于對量的分割。如原始的分數概念來源于對量的分割。如? ?說說文文八部八部?

14、 ?對對“分的解釋：分的解釋：“分，別也。從八從刀，分，別也。從八從刀，刀以分別物也。但是，刀以分別物也。但是，? ?九章算術九章算術? ?中的分數是從中的分數是從除法運算引入的。其除法運算引入的。其“合分術有云：合分術有云：“實如法而實如法而一。不滿法者，以法命之。這句話的今譯是：被一。不滿法者，以法命之。這句話的今譯是：被除數除以除數。如果不能除盡，便定義了一個分數。除數除以除數。如果不能除盡，便定義了一個分數。 古埃及人約于公元前古埃及人約于公元前1717世紀已使用分數。世紀已使用分數。 為表示各種幾何量例如長度、面積、體積與物為表示各種幾何量例如長度、面積、體積與物理量例如速率、力的大

15、小，人類很早已發現有必要理量例如速率、力的大小，人類很早已發現有必要 引進無理數。約在公元前引進無理數。約在公元前530530，畢達哥拉斯學派道邊長為，畢達哥拉斯學派道邊長為1 1的正方形的對角線的長度即的正方形的對角線的長度即 不能是有理數。不能是有理數。 15 15世紀達芬奇世紀達芬奇Leonardo da Vinci, 1452- 1519Leonardo da Vinci, 1452- 1519 把它們稱為是把它們稱為是“無理的數無理的數irrational numberirrational number，開，開普勒普勒J. Kepler, 1571- 1630J. Kepler, 1

16、571- 1630稱它們是稱它們是“不可名狀不可名狀的數。的數。 法國數學家柯西法國數學家柯西A.Cauchy,1789- 1875A.Cauchy,1789- 1875給出了答給出了答復：無理數是有理數序列的極限。復：無理數是有理數序列的極限。 由于有理數可表示成有限小數或無限循環小數，人由于有理數可表示成有限小數或無限循環小數，人們想到用們想到用“無限不循環小數來定義無理數，這也是直無限不循環小數來定義無理數，這也是直至至1919世紀中葉以前的實際做法。世紀中葉以前的實際做法。 2無理數無理數 實數系的邏輯根底直到實數系的邏輯根底直到1919世紀世紀7070年代才得以奠年代才得以奠定。從定

17、。從1919世紀世紀2020年代肇始的數學分析嚴密化潮流，年代肇始的數學分析嚴密化潮流，使得數學使得數學 家們認識到必須建立嚴格的實數理論，尤家們認識到必須建立嚴格的實數理論，尤其是關于實數系的連續性的理論。在這方面，外爾其是關于實數系的連續性的理論。在這方面，外爾斯特拉斯斯特拉斯18591859年年 開場、梅雷開場、梅雷18691869、戴德金、戴德金18721872與康托爾與康托爾1872 1872 作出了出色的奉獻。作出了出色的奉獻。 實數實數復數復數 從從1616世紀開場，解高于一次的方程的需要導致復世紀開場，解高于一次的方程的需要導致復數概念的形式。用配方法解一元二次方程就會遇到負數

18、概念的形式。用配方法解一元二次方程就會遇到負數開平方的問題。卡爾達諾在數開平方的問題。卡爾達諾在? ?大法大法? ?15451545中闡述中闡述一元三次方程解法時，發現難以防止復數。關于復數一元三次方程解法時，發現難以防止復數。關于復數及其代及其代 數運算的幾何表示，是數運算的幾何表示，是1818世紀末到世紀末到1919世紀世紀3030年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。 哈密頓認真地研究了從實數擴張到復數的過程。哈密頓認真地研究了從實數擴張到復數的過程。他于他于18431843年提出了四元數的概念，其后不久，凱年提出了四元數的概念，其后不久，凱萊又萊又 用四元數的有序對定義了八元數