1、希爾伯特幾何公理佛山石門中學 高二（2） 鄧樂濤一、符號及一些說明有三組不同的對象：點，直線，平面點用A,B,C,D來表示；直線用a,b,c,d來表示；平面用,來表示。點稱為直線幾何的元素，點和直線稱為平面幾何的元素，點、直線和平面稱為立體幾何的元素那么點，幾何元素之間又有一定的相互關系 點A在直線a上：Aa 點A在平面上：A 直線a在平面上：a（直線的每一點都在平面上） 點B在點A與點C之間：BAC（我自己規定的符號） 線段AB與CD相等：AB=CD（原書是用號的，不過對于我們不常見，所以我用了=號） AOB與COD相等：AOB=COD等等（線段，角之類的能在點線面下給出定義，具體在敘述公理

2、的時候再說）在希爾伯特幾何里面，其實點直線和平面是三個未定義的數學對象，在上面給的最基本的關系也是沒有定義的，也就是說用什么來代表這些東西都是可以的，正如希爾伯特所說“我們必定可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面”。最簡單的例子就是解析幾何：我們定義點是實數對(x,y)，定義線是x,y|Ax+By+C=0，其實在這個定義下，“幾何”已經失去了“直觀”的形式了，因為在這個定義下的幾何圖形就變成了毫無幾何直觀的數字了，只是我們方便研究又將它畫在了坐標系中而已。我這里的關系符號，=并不來自于集合論，不要混淆，要再強調的是他們本身沒有含義，我只是借用過來化簡論述罷了?？傊柌貛缀?，就是將直觀

3、地幾何語言（歐氏幾何）抽象成了邏輯語言，我們所有的幾何定理都可以用邏輯推理得到。（其實希爾伯特幾何就是完備化的歐氏幾何）公理I關聯公理本組公理有八條，是前面所提的點，直線，平面這三組對象之間建立的一種聯系：（為了方便論述，以后說二、三點的，直線或平面是，都是指不同的點，直線或平面）I1：對于兩點A和B，恒有一直線a，使得A,Ba（存在性）；I2：對于兩點A和B，至多有一直線a，使得A,Ba（唯一性）；（對于1,2，我們可以說兩點確定一直線）I3：一直線上至少有兩點，至少有三點不在同一直線上；I4：對于不在同一直線的三點A,B和C，恒有一平面，使得A,B,C；（存在性）對于任一平面，恒有一點A，

4、使得A；I5：對于不在同一直線的三點A,B和C，至多有一平面，使得A,B,C；（唯一性）（對于4,5，我們可以說三點確定一平面）I6：若A,Ba且A,B，則a；I7：若兩平面，有一個公共點A，則他們至少還有一個公共點B；I8：至少有四點不在同一個平面上。以上。其實我想用形式語言寫出來的，但是實在書上的太難翻譯，而且符號難打，所以放棄了。公理II順序公理本組公理有四條，規定了“在之間”這個關系。根據這個概念，直線上的，平面上的，空間上的點才有順序可言。II1：對于點A,B,C，如果BAC，則點A,B,C是直線上不同的三點；這時，BCA也成立；（如圖）II2: 對于點A,Ba，恒有一點Ca，使得B

5、AC；（如上圖）II3:一直線的任意三點中，至多有一點在其他兩點間；根據上面，我們就可以定義線段了：對于直線a和直線上的兩點A,B；我們把這一點對A,B稱為線段，用AB或BA表示。在A和B之間的點叫做線段AB的點；A點和B點叫做線段AB的端點。II4:設A,B,C是不在同一個平面的三點：對于在平面ABC且不經過點A,B,C的直線a，若a交于線段AB的一點，則它必定交于線段AC或CB的一點（如圖）以上。接下來定義射線先定義同側：設A,A,O,B是直線a上的四點，而O在A,B之間，但不在A,A之間，則A和A稱為在a上點O的同側，而A,B兩點稱為異側。那么射線就定義為直線a上點O同側的點的全體。比如

6、與上圖關于點O與B同側的射線我們記為OB（雖然跟線段的記號一樣，但注意不要混淆）公理III合同公理本組公理包含五條公理，主要說明幾何對象“相等”的關系。III1：對于線段AB和一點A，恒有一點B，使得線段AB與線段AB相等，記為AB=A'B'因為線段與端點的次序無關，所以一下四個等式的意義相同：AB=A'B'，AB=B'A'，BA=A'B'，BA=B'A'III2：若AB=A'B'且AB=A"B"，則A'B'=A"B"；（根據1,2，我們才能得

7、到線段AB與自己相等，才能得到AB=A'B'與A'B'=AB等價，這并不是不證自明的事實，有了這個我們才能說兩線段“互相相等”?？偠灾鶕?,2我們才能得到線段相等的“反身性”，“對稱性”，和“傳遞性”，這才說明這是一個等價關系。）III3：線段AB，BC在同一直線a上，且無公共點；線段AB，BC在同一直線a上，且也無公共點。如果AB=AB'且BC=B'C',則AC=AC'這條公理還要求線段能夠相加，可以定義AB+BC=AC（其中A,B,C共線）相當于線段一樣，我們也這樣來規定角相等。我們先定義角的概念：對于不同一直線的三點O,

8、A,B，射線OA，和射線OB的全體我們稱為角，記為AOB。O稱為AOB的頂點，射線OA，和射線OB稱為AOB的邊。同樣與A,B的次序無關。根據定義，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考慮的范圍內。III4：對于AOB，和一條射線OA，在射線OA所在的一個平面內，有且只有一條射線OB，使得AOB與A'O'B'相等，記為AOB=A'O'B'。而且有AOB=AOB。如同線段一樣，下面四條等式的意義是一樣的AOB=A'O'B'，AOB=B'O'A',BOA=A'O'B',BOA=

9、B'O'A'然后先定義三角形：線段AB,BC,CA所構成的圖形，記為ABC。III5：若ABC與A'B'C'，有下列等式AB=A'B',AC=A'C',BAC=B'A'C'則有ABC=A'B'C', ACB=A'C'B'.這條公理可以理解為三角形全等（SAS），事實上SAS這個公理的直接推論。公理IV平行公理這條公理顯得很蒼白，但在歷史上很重要先定義平行：對于同一平面上的兩條直線線a和b，a與b無公共點，則稱a與b平行，記為ab.IV（歐幾里得

10、平行公理）：設a是任意一條直線，A是a外的任意一點，在a和A所決定的平面上，至多有一條直線b，使得Ab且ab。根據這個公理，我們可以得到平行線內錯角，同位角相等；反之也成立。公理V連續公理V1（阿基米德原理）：對于線段AB,CD，則必定存在一個數n，使得沿著射線AB，自A作首尾相連的n個線段CD，必將越過B點。在這里必須說下數的阿基米德原理：任意給定兩個數a,ba,b0，必存在正整數n，使na>bV2（直線完備公理）：將直線截成兩段a,b(不是直線)，對于任意的Aa，Bb，則總存在一個點C，CAB。也就是說，不再存在一點不在直線上，把這點添加到直線上之后，仍滿足前面的公理IIV的（書上的

11、描述太籠統，我還是用我自己的話說了）要注意的是直線完備公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公理的相容性這里所謂的相容性，就是這五組公理是互不矛盾的。也就是說，不能從這些公理推導到相矛盾的結果。但是，如果直接從公理出發證明相容性幾乎是一件不可能的事情（而且如果一個公理體系含有皮亞諾算術公理的話，這還是一個不可能的事情，這是根據哥德爾不完全定理得到的），那么我們應該如何來證明呢？希爾伯特將方向轉向了“數”。我們只說明平面幾何（因為好說明），立體幾何類似。我們考慮的是實數域R。 點我們用實數對x,y來表示：P=x,y； 直線我們用Ax+By+C=0來表示：l=x,y|Ax+By+C=0。 兩條

12、直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0平行，當且僅當A2B1-A2B1=0 點P在直線l上：Pl 點Bx2,y2在點Ax1,y1與點Cx3,y3之間：BAC=x1<x2<x3x3<x2<x1A,B,C共線； 對于點，線的平移，對稱，旋轉的變換，我們用一個變換來表達：x'=ax+by+uy'=cx+dy+v，其中ad-bc=1然后如果線段相等就是，兩線段在以上的坐標變換中能重合，角亦然。（PS把線段和角也看做點的集合，定義懶得寫了）那么用以上規定幾何對象公理I（關聯公理）顯然都是成立的，只需要用到規定。公理II（順序公理）顯然也都是成立的，

13、再加上規定。公理III（合同公理）也是成立的，加上規定。需要一點點論述，就是點與直線在經過的變換后仍然是我們所研究的幾何對象（也就是說x,y都還是實數，其實就是要說明a2+b2形的數還是實數，這是顯然的）公理IV（平行公理）在直線的這種規定下是成立的。公理V（連續公理）根據實數的完備性，還有實數是阿基米德域這一性質可以直接得到。也就是說我們所做的規定都是滿足“稱為幾何”的性質的，我們便可以將這些實數，實數對作為幾何對象。那么這樣，就把這五組公理的相容性就與算術的相容性聯系在了一起了。那么只需要證明算術的相容性就可以了。關于算術的相容性，這里是對于實數理論，但是其相容性能在自身證明（這是個完備的

14、公理系統）。但是按照希爾伯特的意愿一般來說指的是皮亞諾算術公理的相容性，不過根據哥德爾不完備定理，這是在算術公理內是無法自證的，只能根據另外一個跟更強的公理系統（比如說集合論ZFC公理）來證明，可是這“另外一個公理系統”的相容性，又不能用自身證明了= =（根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性）。簡短提一下的是，這個幾何公理系統不僅是相容的，而且是完備的（就是這個公理的任一語句都能在這個公理系統內證明，即確定其真值）三、平行公理的獨立性（非歐幾何）我們知道了公理的相容性之后，其實還有一個有趣的問題是公理的獨立性，雖然這并不影響論證（多

15、些方便的公理還方便于論證呢），但是數學家們總喜歡簡潔的東西額不說了。什么是獨立性？就是一個公理不能是其他公理的邏輯推論。如何證明這里某個公理獨立性？一個辦法就是剔除掉這個公理，然后根據其它公理構建一個新的模型，使得被剔除掉的公理不滿足于這個模型。歷史上最令人爭議的就是平行公理了，也就是用歐幾里得提出的公理來證明平行公設當然都失敗了。之后，人們就發現了非歐幾何。什么是非歐幾何學？其實就是滿足以上除了平行公理的所有公理的幾何模型。既然有了非歐幾何，那么平行公里的獨立性就不證自明了?，F在主要是分成兩種，一個是黎曼幾何，一個是羅氏幾何。然而黎曼幾何我不清楚（手頭的書也沒有），所以我不提對于羅氏幾何，來

16、代替原來平行公理的公理描述如下：如果b是任一直線，且A是不在b上，則過點A有不在同一直線的兩條射線a1，a2，它們與b都不相交，而且在a1，a2所成角內的任一射線都與b都相交。那么a1，a2所在的直線稱為與b平行然后非歐幾何學最簡單的一個特例就是球面幾何，連高中選修都會講到只需要定義“直線”為大圓便好我就不深入了。四、合同公理的獨立性相對平行公理來說，合同公理的獨立性并沒有在歷史上并沒有引起太大的爭議。因為合同公理14并沒有什么卵用，所以我們只需要說明公理III5(可以說是三角形全等的SAS)具有獨立性就好。一般來說，我們定義線段相等就是長度相等，角相等就是角度相等，而我們所說的長度，比如對A

17、x1,y1, Bx2,y2，AB的長度就為x2-x12+y2-y12，這個可以在前面在規定坐標變換中得到。接下來我們便拋棄這個“長度”的設定（就是拋棄上面規定中線段相等的定義），噢，要保留原來角相等的設定。我們新定義一個長度：對于Ax1,y1, Bx2,y2，AB的長度就為x2-x1+y2-y12+y2-y12規定線段相等就是長度相等。在這個規定下驗算公理I,II,III14,IV,V都是成立的。只不過唯獨對于III5就不一定成立了。舉一個反例：顯然AOC=COB，OA=OC=OB。按照公理III5有BAO=ACO，但是在這種規定下顯然BAOACO。從而證明了公理III5的獨立性。五、連續公理

18、的獨立性這是我們要敘述獨立性的最后一組公理（其他的沒必要）。同上面的方法一樣，我們又得找一個數學對象只滿足公理IIV了。我們又是要把研究的方向轉向了數。其實在說明五組公理的相容性的時候我們是用了實數域R來構建幾何，其實域有許許多多，而實數恰好又滿足眾多域不滿足的性質：完備性，阿基米德原理。那么其實我們只要找一個域不滿足這兩個性質的就好，然而這樣的域又有許許多多。（域通俗來說就是滿足加減乘除的東西的集合，當然還要滿足乘法交換率）首先我們很容易就構建一個域F，從1開始，其加減乘除，還有1+2（是經過這五種運算的結果）的得到的所有結果都放在F里。那么這個域的數字構造的幾何對象滿足公理IIV，但是因為

19、其自身并不滿足完備性（也就是畫出來的數軸有“洞”），比如說F，也就從而說明了完備性的獨立性。題外話，這個域F其實挺重要的，在證明尺規作圖的可行性就是基于這個域。然后是非阿基米德域，也就是不滿足阿基米德原理的數域，舉個最簡單的例子，一個集合Q2a+b2|a,bQ，可以驗證其加減乘除都在Q2里，所以這是一個域。這是實數的一個子集，我們一般描述這個集合里這些數的序關系是最簡單的 大小 關系，比如說2+21+22。然后我們要構建一個新的描述這些數的序關系，在這個序關系下Q2是一個非阿基米德域。定義序關系:a+b2c+d2bdb=dac舉個例子1+2210000+2；3+22+22等等。也就是優先比較2

20、b的大小.那么在這個順序關系下，Q2并不滿足阿基米德原理（由讀者自己驗證），所以這是一個非阿基米德域。當然非阿基米德域還有好多好多，比如說上面的域F，也可以找一個類似的序關系來代替掉大小關系（這種序關系），使得F是一個非阿基米德域。再構造幾何對象，那就是一個除了連續公理（完備性和阿基米德原理兩個個都不滿足）的幾何體系了。不過值得注意的是同時滿足阿基米德原理和完備性的就只有實數R了。這點也說明了希爾伯特幾何的唯一性。六、一些補充皮亞諾算術公理1. xSx00不是任何數的后繼數2. xySx=Syx=yx與y的后繼數相等，則x與y相等3. 0xxSxxx，x為算術公理的任一公式這個就是數學歸納法4

21、. xx+0=xx1=x存在零元和幺元5. xySx+y=x+Sy加法的定義6. xyxSy=xy+x乘法的定義這里Sx就是后繼數，比如1的后繼數就是2.這里的公理3,5,6決定了皮亞諾公理的不完備性，具體怎樣就不說了，哥德爾不完備定理的證明用的是遞歸函數，然后遞歸函數又是以公理3,5,6所定義的。實數公理約定，所有實數記為R，一部分實數X，記為XR;X中存在實數x，則記為xX1. 加法公理1) xx+0=0+x=x零元存在性2) x-xx+-x=-x+x=0存在相反數3) xyzx+y+z=x+y+z加法結合律4) xyx+y=y+x加法交換律2. 乘法公理1) xx1=1x=x幺元存在性2

22、) xx-1x0xx-1=x-1x=1存在倒數3) xyzxyz=xyz乘法結合律4) xyxy=yx乘法交換律3. 乘法對加法的分配率1) xyzxy+z=xy+xz4. 序公理1) xxx反身性2) xyxyyxx=y反對稱性3) xyzxyyzxz傳遞性4) xyxyyx任意兩個實數都能比較大小5. 加法和乘法與序的關系1) xyzxyx+zy+z不等式兩端同時加上一個實數，不等號方向不改變2) xy0x0y0xy正數之積為正數6. 完備公理1) XYxycxXyYxyxcy對于任意的兩部分實數X,Y，滿足對于任意實數 xX, yY，有xy，則存在一個實數c，使得xcy。對于完備公理，要說明一下，這里用的是二階邏輯來寫的。還有只有R才滿足。舉個例子。如果自然數Q，滿足完備公理，我把自然數分成兩部分：x|xx<2， x|xx>2，那么不存在一個數xcy（xx|xx<2, yx|xx<2）,這個數就是2.這里對應的就是直線的完備公理。關于公理系統什么是公理系統？一個公理系統可以這樣理解：它是一個形式化的語言，由字符表（比如幾何公理中用A，a，表示的點線面），形成規則（邏輯公理，就是推理的規則，還有非邏輯公理，就是我們給出的公理，比如說完備公理），還有公式（按照形成規則構成的