1、2012-2013第一學期本科高等數學教案授課院系 授課專業 授課班級 授課教師 2 / 110蘭州工業學院高等數學教案教師姓名授課班級授課時數2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數學（同濟6版）參 考 書 目教學手段板書 多媒體 混合授課章節名稱第八章 多元函數微分學第一節 多元函數的基本概念教學目的要求1、理解多元函數的概念和二元函數的幾何意義；2、理解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上的連續函數的性質，會求簡單的二元函數的極限問題；3、通過與一元函數相應概念的比較，培養學生分析與解決問題的能力。教學重點1、 二元函數的概念；2、二元函數的極限與連續性。教學難點二元函數的

2、極限問題更新補充內容教學提綱一、 復習引入1.復習一元函數的有關概念，引入二元函數的概念。二、 知識模塊11. 平面點集和n維空間2. 多元函數概念三、 知識模塊21. 多元函數的極限2. 多元函數的連續性.四、課堂練習P62 習題9-1 1、5、6課外作業P62、P63 習題9-1 2、6、（2）（3）(5)7、（1）（2）課后體會與總結多元函數可看作一元函數的推廣，因而多元函數的許多相關概念與一元函數的類似，在學習多元函數的一些概念時要與一元函數的做比較，這樣一方面可以復習一元函數的知識，另一方面可以讓我們更容易學習多元函數的內容。授 課 主 要 內 容一、復習引入（或背景介紹、體系介紹、

3、歷史演變介紹、專業應用介紹等）一元函數是只含有一個自變量的函數，但在實際問題中，經常會遇到一個因變量依賴于幾個自變量的情形，這就引入多元函數的概念。二、平面點集和維空間 1、平面點集的相關概念（1）平面點集：坐標平面上具有某種性質的點的集合, 稱為平面點集, 記作（2）鄰域：設是平面上的一個點，是某一正數。與點距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為，即或 注：鄰域的幾何意義：表示平面上以點為中心、為半徑的圓的內部的點的全體。 點的去心鄰域，記作，即。（3）點與點集之間的關系：任意一點與任意一個點集之間必有以下三種關系中的一種： (a)內點:如果存在點的某一鄰域,使得,則稱為的內點； (b)外點

4、：如果存在點P的某個鄰域，使得，則稱為的外點； (c)邊界點：如果點的任一鄰域內既有屬于的點，也有不屬于的點，則稱為的邊點。的邊界點的全體，稱為E的邊界，記作¶E。注：E的內點必屬于E,E的外點必定不屬于E, 而E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E。（4）聚點：如果對于任意給定的d>0，點P的去心鄰域內總有中的點，則稱P是E的聚點。 由聚點的定義可知，點集E的聚點P本身，可以屬于E，也可能不屬于E。（5）開集：如果點集E 的點都是內點，則稱E為開集。 （6）閉集：如果點集的余集E c為開集，則稱E為閉集。（7）連通性：如果點集E內任何兩點，都可用折線連結起來，且該折線上的點都屬

5、于E，則稱E為連通集。 （8）區域(或開區域)：連通的開集稱為區域或開區域。 （9）閉區域：開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域。 （10）有界集：對于平面點集E，如果存在某一正數，使得 , 其中是坐標原點，則稱為有界點集。（11）無界集：一個集合如果不是有界集，就稱這集合為無界集。2、維空間定義1：設為取定的一個自然數，元有序數組的全體，即稱為維空間。稱為維空間中的一個點，稱為該點的第個坐標。當時，維空間分別是我們熟悉的數軸、平面及三維空間。維空間中兩點與的距離規定為注：在維空間中定義了距離后，平面中鄰域、區域及關于點集E的內點、邊界點、聚點等概念均可類似地推廣到維空間的點集上去。三

6、、多元函數概念例1.圓柱體的體積和它的底半徑、高之間具有關系。這里，當在集合內取定一對值時，對應的值就隨之確定。 例2.一定量的理想氣體的壓強、體積和絕對溫度之間具有關系，其中為常數。這里，當、在集合內取定一對值時，的對應值就隨之確定。定義2：設為平面上的一個非空點集。如果對于中每一點，按照法則，總有唯一確定的實數與之對應，則稱是上的二元函數，記為，或，點集稱為函數的定義域，稱為自變量，稱為因變量。注：（1）在定義2中，中每一點對應的實數稱為在點的函數值；數集稱為該函數的值域；點集稱為二元函數的圖形。(2) 關于二元函數的定義域，我們作如下約定: 如果該函數采用解析式表示，而沒明確指出定義域，

7、則該函數的定義域理解為使這個解析式有意義的那些點所組成的點集, 這種點集也稱為該函數的自然定義域。例3.求函數的定義域。定義3：設是維空間的非空子集。如果對于中每一點，按照某一法則總有唯一確定的實數與之對應，則稱是定義在上的元函數。記作,，或,。點集稱為函數的定義域, 稱為自變量，稱為因變量。在定義中, 中的點 唯一確定的數稱為在點的函數值。值域和元函數的圖形也可類似地定義。四、多元函數的極限 我們先討論二元函數當，即時的極限。這里 表示點以任何方式趨于點，也就是點與點間的距離趨于零，即 。與一元函數的極限概念類似，如果在的過程中，對應的函數值無限接近一個確定的常數，我們就說A是函數，時的極限

8、。下面用“”語言描述這個極限概念。定義2 設函數在開區域（或閉區域）內有定義，是的內點或邊界點。如果對于任意給定的正數，總存在正數，使得對于適合不等式 的一切點，都有 成立，則稱常數為函數當，時的極限，記作 ，或 （），這里 。為了區別于一元函數的極限，我們把二元函數的極限叫做二重極限。例4 設 （），求證 。證 因為，可見，對任給，取，則當 時，總有 成立所以 我們必須注意，所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時，函數都無限接近于A。因此，如果以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于時，即使函數無限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數的極限存在。但是反過來，如果當以不同方式趨于時，

9、函數趨于不同的值，那么就可以斷定這函數的極限不存在。下面用例子來說明這種情形。考察函數顯然，當點沿軸趨于點時，；又當點沿軸趨于點時，。 雖然點以上述兩種特殊方式(沿x軸或沿y軸)趨于原點時函數的極限存在并且相等,但是并不存在.這是因為當點沿著直線趨于點時,有 ， 顯然它是隨著的值的不同而改變的.以上關于二元函數的極限概念,可相應的推廣到元函數即上去。關于多元函數極限的運算,有與一元函數類似的運算法則.例5 求 .解： 這里在區域和區域內都有定義，同時為及的邊界點。但無論在內還是在內考慮，下列運算都是正確的：。五、多元函數的連續性定義3 設函數在開區域（閉區域）內有定義，是的內點或邊界點且。如果

10、 ,則稱函數在點連續。如果函數在開區域（或閉區域）內的每一點連續，那么就稱函數在內連續，或者稱是內的連續函數。以上關于二元函數的連續性概念，可相應地推廣到元函數上去。若函數在點不連續，則稱為函數的間斷點。這里順便指出：如果在開區域（或閉區域）內某些孤立點，或者沿D內某些曲線，函數沒有定義，但在內其余部分都有定義，那么這些孤立點或這些曲線上的點，都是函數的不連續點，即間斷點。前面已經討論過的函數 當，時的極限不存在，所以點是該函數的一個間斷點。二元函數的間斷點可以形成一條曲線，例如函數 在圓周上沒有定義，所以該圓周上各點都是間斷點。與閉區域上一元連續函數的性質相類似，在有界閉區域上多元連續函數也

11、有如下性質。性質1（最大值和最小值定理） 在有界閉區域 上的多元連續函數，在上一定有最大值和最小值。這就是說，在上至少有一點及一點，使得為最大值而為最小值，即對于一切PD, 有.性質2（介值定理） 在有界閉區域上的多元連續函數，如果在上取得兩個不同的函數值，則它在上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。特殊地，如果是函數在上的最小值和最大值之間的一個數，則在上至少有一點，使得。一元函數中關于極限的運算法則，對于多元函數仍然適用；根據極限運算法則， 可以證明多元連續函數的和、差、積均為連續函數；在分母不為零處，連續函數的商是連續函數。多元連續函數的復合函數也是連續函數。與一元的初等函數相類似，多

12、元初等函數是可用一個式子所表示的多元函數，而這個式子是由多元多項式及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的（這里指出，基本初等函數是一元函數，在構成多元初等函數時，它必須與多元函數復合）。例如，是兩個多項式之商，它是多元初等函數。又例如是由基本初等函數與多項式復合而成的，它也是多元初等函數。根據上面指出的連續函數的和、差、積、商的連續性以及連續函數的復合的連續性，再考慮到多元多項式及基本初等函數的連續性，我們進一步可以得出如下結論：一切多元初等函數在其定義區域內是連續的。所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域。由多元初等函數的連續性，如果要求它在點處的極限，而該點又在此函數的

13、定義區域內，則極限值就是函數在該點的函數值，即 .例6 求.解 函數 是初等函數，它的定義域為。因不是連通的，故不是區域。但是區域，且 ，所以是函數的一個定義區域。因, 故 .如果這里不引進區域，也可用下述方法判定函數在點 處是連續的：因是的定義域的內點，故存在的某一鄰域，而任何鄰域都是區域，所以是的一個定義區域，又由于是初等函數，因此在點處連續。一般地，求，如果是初等函數，且是的定義域的內點，則 在點處連續，于是。例7 求。解 =。蘭州工業學院高等數學教案教師姓名授課班級授課時數2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數學（同濟6版）參 考 書 目教學手段板書 多媒體 混合授課章節名稱第八

14、章 多元函數微分學第二節 偏導數教學目的要求1、理解多元函數偏導數的概念；掌握多元函數偏導數的求法；2、了解高階偏導數的求法；3、培養學生利用所學的知識解決問題的能力教學重點偏導數的概念和求法教學難點高階偏導數的求法更新補充內容教學提綱一、 復習引入1.復習一元函數導數的概念，由一元導數的概念引入多元函數偏導數的概念二、 知識模塊11.偏導數的定義2.偏導數的計算三、 知識模塊21. 高階偏導數.XX、課堂練習P69 習題9-2 1；6.XX、課堂總結課外作業P69 習題9-2 1. (1)（2）（3）（5）（6）2.8.9.課后體會與總結本節在一元函數微分學的基礎上，討論多元函數（以二元函數

15、為重點）偏導數的定義及存在條件和求法，這是多元函數微分學的基礎授 課 主 要 內 容一、復習引入一元函數的導數是考察函數的變化率，對于多元函數也要考慮同樣的問題，但是因為多元函數的自變量有多個，所以要考察關于一個自變量的變化率，比如一定量的理想氣體當溫度保持不變時，要考察體積關于壓強的變化規律，或者壓強保持不變時，要考察體積關于的變化規律，這就引入偏導數的概念。二、導數的定義及其計算法在研究一元函數時，我們從研究函數的變化率引入了導數概念。對于多元函數同樣需要討論它的變化率。但多元函數的自變量不止一個，因變量與自變量的關系要比一元函數復雜得多。在這一節里，我們首先考慮多元函數關于其中一個自變量

16、的變化率。以二元函數為例，如果只有自變量變化，而自變量 固定（即看作常量），這時它就是 的一元函數，這函數對的導數，就稱為二元函數對于的偏導數，即有如下定義：定義 設函數 =在點的某一鄰域內有定義，當固定在而在處有增量時，相應地函數有增量,如果 (1)存在，則稱此極限為函數在點處對的偏導數，記作, , 或 例如，極限（1）可以表示為 . (2)類似地，函數在點處對的偏導數定義為 (3)記作, , 或如果函數在區域D內每一點處對的偏導數都存在，那么這個偏導數就是的函數，它就稱為函數對自變量的偏導數，記作, , 或類似地，可以定義函數對自變量的偏導數，記作, , 或由偏導數的概念可知，在點處對處對

17、的偏導數顯然就是偏導函數 在點處的函數值；就是偏導函數在點 處的函數值。就象一元函數的導函數一樣，以后在不至于混淆的地方也把偏導函數簡稱為偏導數。至于實際求的偏導數，并不需要用新的方法，因為這里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以仍就是一元函數的微分法問題。求 時，只要把暫時看作常量而對求導數；求 時，則只要把 暫時看作常量而對求導數。偏導數的概念還可以推廣到二元以上的函數。例如三元函數 =() 在點 () 處對的偏導數定義為x0其中 ()是函數 的定義域的內點。它們的求法也仍舊是一元函數的微分法問題。例1 求 在點(1, 2)處的偏導數。解 把y 看作常量，得把x 看作常量，

18、得將 (1, 2)代入上面的結果，就得，例2 求的偏導數。解 , 例3 設,求證：+證 因為 , ,所以 +=+例4 求 的偏導數。解 把 和都看作常量，得 =由于所給函數關于自變量的對稱性，所以 = , =. 例5 已知理想氣體的狀態方程(為常量) ，求證： ··=1.證 因為 , =; , =; , =;所以··=··=1.我們知道，對一元函數來說，可看作函數的微分與自變量的微分之商。而上式表明，偏導數的記號是一個整體記號，不能看作分子與分母之商。二元函數在點的偏導數有下述幾何意義。設為曲面上的一點，過作平面，截此曲面得一曲線，此

19、曲線在平面上的方程為，則導數, 即偏導數,就是這曲線在點處的切線對軸的斜率（見圖8-6）。同樣，偏導數的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對軸的斜率。我們已經知道，如果一元函數在某點具有導數，則它在該點必定連續。但對于多元函數來說，即使各偏導數在某點都存在，也不能保證函數在該點連續。這是因為各偏導數存在只能保證點沿著平行于坐標軸的方向趨于時，函數值趨于,但不能保證點按任何方式趨于時，函數值都趨于 。例如，函數在點（0，0）對的偏導數為 同樣有但是我們在第一節中已經知道這函數在點（0，0）并不連續。三、高階偏導數設函數在區域內具有偏導數, ,那么在D內 、都是的函數。如果這兩個函數的偏

20、導數也存在，則稱它們是函數的二階偏導數。按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數： = , =, = , =其中第二、三個偏導數稱為混合偏導數。同樣可得三階、四階、以及階偏導數。二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數。例6 設，求、 及 。解 = , = ； = , = ； = , = ； = 6我們看到例6中兩個二階混合偏導數相等，即 = 這不是偶然的。事實上，我們有下述定理。定理 如果函數的兩個二階混合偏導數 及 在區域D內連續，那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等。換句話說，二階混合偏導數在連續的條件下與求導的次序無關。這定理的證明從略。對于二元以上的函數，我們也可以類似地定義高

21、階偏導數。而且高階混合偏導數在偏導數連續的條件下也與求導的次序無關。例7 驗證函數 滿足方程 +=0 。 證 因為,所以 =, =, =, =因此 +=+=0.例8 證明函數，滿足方程 +=0 ,其中.證 =·=, =+·=+.由于函數關于自變量的對稱性，所以=+,=+.因此+ =+=+=0.例7和例8中兩個方程都叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是數學物理方程中一種很重要的方程。蘭州工業學院高等數學教案教師姓名授課班級授課時數2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數學（同濟6版）參 考 書 目教學手段板書 多媒體 混合授課章節名稱第八章 多元函數微分學第二節 全微

22、分教學目的要求1、理解全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件；2、了解全微分在近似計算上的應用；3、培養學生的相應的運算能力。教學重點全微分的概念及計算。教學難點全微分存在的條件。更新補充內容1.2.教學提綱一、 復習引入1.復習一元函數微分的概念;2.先介紹二元函數的偏增量、全增量的概念，再學習全微分的概念。二、 知識模塊11.全微分的定義；2.可微的必要條件和充分條件；三、 知識模塊21、全微分在近似計算中的應用.XX、課堂練習P76 習題9-3 XX、課堂總結課外作業P76 習題9-3 1. （2）（3）（4）3.6.9.課后體會與總結二元函數可微、偏導數存在、連續

23、三者之間的關系偏導數存在可微 連續可微偏導數存在連續授 課 主 要 內 容一、復習引入1.復習一元函數微分的概念。如同一元函數的微分，為了解決函數的增量的近似計算問題，引入全微分的概念。2.介紹二元函數的偏增量、全增量的概念，再學習全微分的概念。二、全微分的定義我們已經知道，二元函數對某個自變量的偏導數表示當另一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率根據一元函數微分學中增量與微分的關系，可得 ， 上面兩式的左端分別叫做二元函數對和對的偏增量，而右端分別叫做二元函數對和對的偏微分. 在實際問題中，有時需要研究多元函數中各個自變量都取得增量時因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問題下面以二元函

24、數為例進行討論設函數在點的某一鄰域內有定義，并設為這鄰域內的任意一點，則稱這兩點的函數值之差為函數在點P對應于自變量增量、的全增量，記作c，即 一般說來，計算全增量z比較復雜.與一元函數的情形一樣，我們希望用自變量的增量、的線性函數來近似的代替函數的全增量,從而引入如下定義定義 如果函數在點的全增量可表示為，其中、不依賴于、而僅與有關，則稱函數在點可微分，而稱為函數在點的全微分，記作，即。如果函數在區域內各點處都可微分，那末稱這函數在內可微分。在第二節中曾指出，多元函數在某點的各個偏導數即使都存在，卻不能保證函數在該點連續。但是，由上述定義可知，如果函數在點可微分，那末函數在該點必定連續。事實

25、上，這時由（2）式可得 ，從而 。因此函數在點處連續。下面討論函數在點可微分的條件。定理1（必要條件）如果函數在點可微分，則該函數在點的偏導數、必定存在，且函數在點的全微分為 =+。證 設函數在點可微分。于是，對于點的某個鄰域的任意一點，（2）式總成立。特別當 時（2）式也應成立，這時，所以（2）式成為 。上式兩邊各除以，再令而取極限，就得x0 lim=，從而偏導數存在，且等于。 同樣可證=。所以（3）式成立。證畢。我們知道，一元函數在某點的導數存在是微分存在的充分必要條件。但對于多元函數來說，情形就不同了。當函數的各偏導數都存在時，雖然能形式地寫出 +，但它與之差并不一定是較高階的無窮小，因

26、此它不一定是函數的全微分。換句話說，各偏導數的存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件。例如，函數=在點處有 及 ，所以=,如果考慮點沿著直線 趨于，則=,它不能隨而趨于0，這表示時， 并不是較高階的無窮小，因此函數在點處的全微分并不存在，即函數在點處是不可微分的。由定理1及這個例子可知，偏導數存在是可微分的必要條件而不是充分條件。但是，如果再假定函數的各個偏導數連續，則可以證明函數是可微分的，即有下面定理。定理2（充分條件） 如果函數的偏導數、在點連續，則函數在該點可微分。證 因為我們只限于討論在某一區域內有定義的函數（對于偏導數也如此），所以假定偏導數在點連續，就含有偏導數在該點的某一鄰

27、域內必然存在的意思（以后凡說到偏導數在某一點連續均應如此理解）。設點為這鄰域內任意一點，考察函數的全增量 。在第一個方括號內的表達式，由于不變，因而可以看作是 的一元函數 的增量。于是，應用拉格郎日中值定理，得到 = 又假設，在點 連續，所以上式可寫為 =， （4）其中為、的函數，且當， 時，。 同理可證第二個方括號內的表達式可寫為 ， （5）其中為 的函數，且當時， 。 由（4）、（5）式可見，在偏導數連續的假定下，全增量z可以表示為。 （6）容易看出 |，它是隨著，即而趨于零。 這就證明了 在點是可微分的。以上關于二元函數全微分的定義及微分的必要條件和充分條件，可以完全類似的推廣到三元和三

28、元以上的多元函數。習慣上，我們將自變量的增量、分別記作、，并分別稱為自變量的微分。這樣，函數的全微分就可以寫為 =+. (7)通常我們把二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數的情形。例如，如果三元函數可以微分，那么它的全微分就等于它的三個偏微分之和，即 =+例1 計算函數的全微分解 因為， 所以例2 計算函數在點處的全微分解 因為 =yexy, =xexyx=2y=1x=2y=1 | =, | =, 所以=例3計算函數的全微分.解 因為 =, =+, =, 所以=(+ ) +蘭州工業學院高等數學教案教師姓名授課班級授課時數2授

29、課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數學（同濟6版）參 考 書 目教學手段板書 多媒體 混合授課章節名稱第八章 多元函數微分學第二節 多元復合函數的求導法則教學目的要求1、理解掌握多元復合函數的求導法則，會用此法則求多元復合函數的（偏）導數；了解全微分形式的不變性；2、培養學生歸納總結和綜合應用的能力。教學重點多元復合函數的求導法則。教學難點多元復合函數的求導法則更新補充內容1.2.教學提綱一、復習引入1.先復習一元復合函數的求導法則，然后再學習多元復合函數的求導法 二、知識模塊11. 求導的鏈式法則三、知識模塊2全微分形式的不變性.XX、課堂練習P82 習題9-4 XX、課堂總結課外作業P

30、82 習題9-4 1.3.5.7.10.課后體會與總結1.通過求全微分來求一階偏導數有時比用鏈式法則顯得靈活；2.當復合函數復合的層次比較多，結構較為復雜時，用一階微分的形式不變性求一階偏導數或者全導數較為簡單。授 課 主 要 內 容一、復習引入1.先復習一元復合函數的求導法則，然后再學習多元復合函數的求導法二、求導的鏈式法則 定理 如果函數及都在點可導，函數在對應點具有連續偏導數，則復合函數在點可導，且其導數可用下列公式計算： 證 設獲得增量，這時的對應增量為、，由此，函數對應地獲得增量根據假定，函數在點具有連續偏導數，于是由第三節公式有 這里，當，時， 將上式兩邊各除以，得 因為當時，所以

31、 =+這就證明了復合函數在點可導，且其導數可用公式計算證畢用同樣的方法，可把定理推廣到復合函數的中間變量多于兩個的情形例如，設、，復合而得復合函數 則在與定理相類似的條件下，這復合函數在點可導，且其導數可用下列公式計算在公式及中的導數稱為全導數上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情形例如，設，復合而得復合函數 如果及都在點具有對及對的偏導數，函數在對應點具有連續偏導數，則復合函數在點的兩個偏導數存在，且可用下列公式計算： =+, =+ 事實上，這里求時，將看作常量，因此中間變量及仍可看作一元函數而應用上述定理但由于復合函數以及和都、是的二元函數，所以應把式中的改為，在把換成，這

32、樣便由得到式。同理由式可得到式。 類似地，設、及都在點具有對及對的偏導數，函數在對應點具有連續偏導數，則復合函數在點的兩個偏導數都存在，且可用下列公式計算：=+，=+如果具有連續偏導數，而具有偏導數，則復合函數可看作上述情形中當，的特殊情形，因此 ， ， ，從而復合函數具有對自變量及的偏導數，且由公式及得 ， 注意 這里與是不同的，是把復合函數中的看作不變而對的偏導數，是把中的及看作不變而對的偏導數與也有類似的區別例設 而，求和解 =+ =··1 =，=+ ··1 例設，而求和解··例設， 而，求全導數解= =例設，具有二階連續偏導數

33、，求 及解 令,，則為表達簡便起見，引入以下記號：，這里下標1表示對第一個變量求偏導數，下標2表示對第二個變量求偏導數，同理有、 等等。因所給函數由及，復合而成，根據復合函數求導法則，有，（）求及時，應注意及仍舊是復合函數，根據復合函數求導法則，有 ， 于是 + 例設的所有二階偏導數連續，把下列表達式轉換成極坐標系中的形式：；解 由直角坐標與極坐標間的關系式，可把函數換成極坐標及的函數：現在要將式子及用、及函數對、的偏導數來表示為此，要求出的偏導數、。這里，復合而成，應用復合函數求導法則，得： ，兩式平方后相加，得：再求二階偏導數，得···· 。同理可得

34、。兩式相加，得：。四、全微分形式的不變性設函數具有連續偏導數，則有全微分如果 、又是、的函數、，且這兩個函數也具有連續偏導數，則復合函數 的全微分為，其中及分別由公式和給出，把公式及中的及代入上式，得由此可見，無論是自變量、的函數或者中間變量、的函數，它的全微分形式是一樣的。這個性質叫做全微分形式不變性。例利用全微分形式不變性解本節的例1。解 ，因，代入后歸并含及的項，得（·）（·），即 比較上式兩邊的、的系數，就同時得到兩個偏導數、，它們同例1的結果一樣。蘭州工業學院高等數學教案教師姓名授課班級授課時數2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數學（同濟6版）參 考 書

35、目教學手段板書 多媒體 混合授課章節名稱第八章 多元函數微分學第二節 隱函數的求導法則教學目的要求1、掌握隱函數的求導法則；2、培養學生歸納總結和綜合應用的能力。教學重點隱函數的求導法則教學難點方程組確定的隱函數的偏導數更新補充內容1.2.教學提綱一、復習引入1.先復習前面所學過的一元隱函數求導的方法。二、知識模塊1.由一個方程所確定的隱函數存在定理； 2.由方程組所確定的隱函數存在定理；.XX、課堂練習P89 習題9-5 XX、課堂總結課外作業P89 習題9-5 2.3.5.7.10.（2）（4）課后體會與總結本節在前面已提出隱函數概念的基礎上，根據多元復合函數的求導法導出隱函數的求導公式，

36、給出了隱函數存在定理1、2、3，使我們能夠計算有一個方程或方程組確定的隱函數的導數。授 課 主 要 內 容一、復習引入在第二章第六節中我們已經提出了隱函數的概念，并且指出了不經過顯化直接由方程 =0 (1) 求它所確定的隱函數的方法。現在介紹隱函數存在定理，并根據多元復合函數的求導法來導出隱函數的導數公式.二、隱函數的求導法則1、一個方程的情形 隱函數存在定理1 設函數在點的某一鄰域內具有連續的偏導數，且，, ，則方程=0在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數，它滿足條件，并有 （2） 公式（2）就是隱函數的求導公式這個定理我們不證。現僅就公式(2)作如下推導。將方程(1

37、)所確定的函數代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一個復合函數，求這個函數的全導數，由于恒等式兩端求導后仍然恒等，即得 由于連續，且，所以存在(x0,y0)的一個鄰域，在這個鄰域內，于是得 如果的二階偏導數也都連續，我們可以把等式(2)的兩端看作的復合函數而再一次求導，即得 例1 驗證方程在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個單值且有連續導數、當=0時，的隱函數，并求這函數的一階和二階導數在=0的值。解 設，則,.因此由定理1可知，方程在點(0,1)的某鄰域內能唯一確定一個單值且有連續導數、當=0時，的隱函數。下面求這函數的一階和二階導數 =， ; = 。隱函數存在定理還可以推廣到多元函數.

38、既然一個二元方程(1)可以確定一個一元隱函數，那末一個三元方程 ()=0 (3)就有可能確定一個二元隱函數。與定理1一樣，我們同樣可以由三元函數()的性質來斷定由方程()=0所確定的二元函數=的存在，以及這個函數的性質。這就是下面的定理。隱函數存在定理2 設函數()在點的某一鄰域內具有連續的偏導數，且，則方程()=0在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數，它滿足條件，并有 =,=. (4)這個定理我們不證.與定理1類似，僅就公式(4)作如下推導.由于 (, )0,將上式兩端分別對和求導，應用復合函數求導法則得 +=0, +=0。因為連續，且,所以存在點的一個鄰域，在這個

39、鄰域內0，于是得 =,=。 例2 設，求解 設 () =，則=2, =.應用公式(4)，得 =。再一次對求偏導數，得2、方程組的情形下面我們將隱函數存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個數。而且增加方程的個數，例如，考慮方程組 (5)這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立變化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數。在這種情形下，我們可以由函數、的性質來斷定由方程組(5)所確定的兩個二元函數的存在，以及它們的性質。我們有下面的定理。隱函數存在定理3 設函數、在點的某一鄰域內具有對各個變量的連續偏導數，又，,且偏導數所組成的函數行列式(或稱雅可比(Jacobi)式): =在點

40、不等于零，則方程組，在點的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續且具有連續偏導數的函數，它滿足條件，并有 (6) 這個定理我們不證.與前兩個定理類似，下面僅就公式(6)作如下推導。由于 ,0, ,0,將恒等式兩邊分別對求導，應用復合函數求導法則得 這是關于, 的線性方程組，由假設可知在點的一個鄰域內，系數行列式 從而可解出, ，得 , . 同理，可得 , .例3 設，求,和.解 此題可直接利用公式(6)，但也可依照推導公式(6)的方法來求解。下面我們利用后一種方法來做。將所給方程的兩邊對求導并移項，得 在的條件下， 將所給方程的兩邊對求導，用同樣方法在的條件下可得 例4 設函數在點()的某一鄰域內

41、連續且具有連續偏導數，又 (1)證明方程組 (7)在點的某一鄰域內唯一確定一組單值連續且具有連續偏導數的反函數。(2)求反函數對的偏導數。解 (1)將方程組(7)改寫成下面的形式 則按假設 由隱函數存在定理3，即得所要證的結論。(2)將方程組(7)所確定的反函數代入（7），即得 將上述恒等式兩邊分別對求偏導數，得 由于0，故可解得 同理，可得 蘭州工業學院高等數學教案教師姓名授課班級授課時數2授課形式講授所用教具授課日期所用教材高等數學（同濟6版）參 考 書 目教學手段板書 多媒體 混合授課章節名稱第八章 多元函數微分學第六節 多元函數微分學的幾何應用教學目的要求1、了解偏導數在幾何上的應用；

42、2、掌握曲線的切線方程和曲面的切平面方程的求法。教學重點曲線的切線方程和曲面的切平面方程的求法。教學難點空間曲線作為兩個曲面交線情形下，曲線的切線與法平面方程的建立更新補充內容1.2.教學提綱一、復習引入1.復習空間解析幾何與向量代數的知識二、知識模塊1一元向量值函數及其導數三、知識模塊21.空間曲線的切線與法平面2.曲面的切平面與法線.四、課堂練習P100 習題9-6 1；2.(2);4;6;10XX、課堂總結課外作業P100 習題9-6 5;7;8;11課后體會與總結本節在空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線兩方面研究了微分 法的應用。利用導函數的幾何性質，針對空間曲線的一般表現方式，給出了空間曲線的切向量，從而確定了空間曲線的切線與法平面方程；同時針對由隱式給出的曲面方程