1、第四章 正弦穩態分析 正弦波在電力、通訊、控制三大系統中的應用極為廣泛。電路在以正弦規律變化的激勵的作用下的各線性元件的響應的變化規律的分析是電路分析的又一重點。第一節 正弦量及其描述一正弦量的時域表示 正弦電流 )cos( mitIi正弦電壓 )cos( mutUuIm 、Um 振幅(最大值)； 角頻率； i 、u 初相角。 三要素1周期T 、頻率f和角頻率（正弦波變化快慢要素）T正弦量變化一個循環所需的時間，常用單位：s，ms，sf正弦量單位時間內的循環周數，常用單位：Hz，kHz，MHzfT22相角隨時間變化的速率， 。正弦量變化一周時其相位變化了 2弧度, T=2 )( itdtd 2

2、tu(t)Umu0(=T )正弦量及其描述低頻(音頻) 20kHz，如工頻 f =50Hz(=314rad/s T = 0.02s)； 中頻 幾百kHz，如我國電臺中波：5351605kHz； 高頻 幾MHz以上，如電視信號：幾十幾百MHzf 2相(位)角、初相(角)與相位差（正弦波變化的進程要素） 相角：如(t+i )，反映正弦量的變化進程。 初相:i =(t+i )|t=0, 即t = 0時刻的相角,與計時起點有關，其SI單位為rad且rad =180；1=(/180)rad .=0的正弦量可視為參考正弦量； i為縱軸左邊正向最大值的點與原點間的最短距離。(縱軸右邊正向最大值的點與原點間的

3、最短距離計為負值)。ti(t)Imi0i 圖中，i 0，(t+i )=0，即t = -i時，i達正向Im ；同理，i 0(u i )：稱u相位超前于i或稱i相位滯后于u ui0(u i )：稱u相位滯后于i 或稱i相位超前于u ui =0 (u =i )稱u與i同相 ui = 稱u與i反相 ui =(2) 稱u與i正交 3振幅(幅值、最大值)與有效值的關系有效值(effective value)的定義：若一周期性電流i在一個周期T內流過某電阻R所作的功等于大小為I的直流電流在這段時間T內流過上述R所作的功，則I就定義為的i有效值。正弦量及其描述TTTdtiTIRTIRdtIRdti022020

4、21 有效值即方均根值 符號規定：瞬時值：i， u， u1 ， 小寫字母；最大值：Im, Um，U1m ，相應的大寫字母上加足標m；有效值：I， U， U1 ， 相應的大寫字母。正弦量有效值與最大值的關系：)cos( umtUu若有：mm02m02m022m707. 024)22sin(2 2)22cos(1)(cos1 UUttTUdttTUdttUTUTuTuTu則：UUUm414. 12IIIII414. 12 , 2mm同理： 交流表指示值、銘牌交流額定值通常指有效值(如220V，380V)；而耐壓值往往指最大值。 其Um =311V . Um =537V 二正弦量的頻域表示 1、正弦

5、量的運算： V)60cos(10 ,V)30cos(5 21tutu已知：?21uuu求：解：直接用三角函數進行： )60cos(10)30cos(5 21ttuuutt sin16.11cos33. 9(分別“積化和差”并合并整理) V)1 .50cos(55.1433. 916.11g cos16.1133. 922ttarct 上述運算過程較復雜。若遇乘、除法，則更復雜。我們觀察到u的仍與u1 、u2相同，變化的只是振幅與初相這兩個要素，這使我們想到將復數與正弦量建立某種聯系，使之運算得到簡化2復數及其運算 復數A的四種表示形式： A=a+jb 代數形式 A =|A|(cos+jsin)

6、 三角形式 A =|A|e j 指數形式 A =|A| 極坐標形式 +j+iAba 0sincosAbAa正弦量的頻域表示+j=-arctg|b/a|, a0 =arctg(b/a), a0, b0 =arctg(b/a), a0, b0=arctg|b/a|-, a0, b0)( )0(,22反之為負逆時針角度為正abtgArcbaA 在主值范圍內(-/2 +/2)的取值，所在象限的正負與a、b正負的關系如圖 )( )( abtgArcabtgarc為 復數代數形式與極坐標形式的計算器互換例例1：將-3-j4 r . 顯示“5” 或 顯示“-126.8698 顯示“5” 顯示“-126.86

7、98”)26.871(5)1803.135(5)180 (5 4343 343422tgarctgArcj注意到此例分子分母均負，因而為第三象限角。例例2：將10-60 x, y1.2.3. 顯示“5” X Y 或 顯示“-8.66” 1. 顯示“5” 顯示“-8.66”2.10 -60 =10cos(-60 )+j10sin(-60 )=5-j8.66 3.復數的四則運算 設A1 =a1+jb1 = |A1|1 , A2 =a2+jb2 =|A2|2,復數加、減 宜用代數形式進行或在復平面上用平行四邊形法則或多邊形法則進行 A1A2 =(a1a2) + j(b1b2) 復數乘、除 宜用極坐標

8、形式進行： A1A2 =|A1|1|A2|2 =|A1|A2|(1 +2) 2121221121 AAAAAA復數的四則運算可用具復數計算功能的計算器直接計算 顯示“18” 顯示“39”例：(5+j4) (6+j3)=18+j393、正弦量與復數的關系：由歐拉公式，復指數函數：) sin(2) cos(22) (iiijtIjtIIet222)cos(2 ) (ReReRe tttjjijijieIeIeIetIiA1A2 = |A1|ej1|A2| ej2 =|A1|A2| ej(1 +2 )正弦量：復數的四則運算大寫字母I上加小圓點是為了使之與有效值I相區別，相量不同于一般的復數，是針對正

9、弦電流i或正弦電壓u而言的復常數。ijIIeIi 此復數稱為正弦量i的(有效值)相量相量(phasor)。tjeI 2 為一旋轉矢量，ejt為按角速度逆時針旋轉的旋轉因子 2 tjeIRe 為此旋轉矢量在實軸上的投影+i+j(t=0)i(t=t1) t1it12 tjeIiRet幾何意義： 相量 與正弦量i一一對應。即：給定了正弦量，就可以寫出其相量；反之， 給定了相量及，就可寫出其正弦量。相量反映了正弦量中振幅及初相這兩個要素，暫時撇開了及t。I3213321251,A 20,V)15sin(100 A,)cos(2100 iUIeItutij及求已知/.A)60cos(220 ;V 75

10、)9051 ( ;A 100 32100210021251tiUI例：解：4正弦量運算與相量運算的對應正弦量運算與相量運算的對應 同頻率正弦量相加(減)的結果仍為同頻率的正弦量，且對應為相量的加(減)。1）兩同頻率正弦量相加(減)：; ),cos(211111 IIti; ),cos(222222 IIti)(222 212121ReReRetttjjjeIIeIeIiii21III; ,2)cos(2 ReIIe Ititj,V)30cos(5 1tuV)60cos(10 2tu例 已知用相量形式求u1+u2)V( 1 .50 55算器直接算mmmUUUV)1 .5

11、0cos(55.14 tu可見相量計算比三角函數法計算簡便。 顯示“DEG” 顯示“9.33” 顯示“11.16” 顯示“14.55” 顯示“50.1” U U2 60o U1 30o解：2）正弦量的微分與積分 ;2)cos(2 tjie ItiRe)2()2()2( tttjjje Ije Idtde IdtddtdiReReRe90 : IIjdtdi的相量為求導相量j. 90;初相增加倍振幅為原來的. 90 : IjIidtt的相量為 正弦穩態下R、L、C等元件的VAR涉及建立正弦量微分方程，由以上可知正弦穩態電路微分方程可對應為復數系數的相量代數方程。因而正弦穩態分析可用比較簡便的相量

12、法進行。由電路直接建立相量方程，首先要確定電路元件的相量模型及VAR的相量形式。. 90;1初相減小倍振幅為原來的積分相量j第二節 正弦電路中的電阻、電感和電容從而其相量模型和波形分別為：一、一、R元件：元件：)cos(2 :)cos(2: iRRRiRRtRIiRutIi則設RRiuRRIRURIU : 即R+ uR - iR+ -RRIRU i RURIuRiR當UL 一定時，L越大，IL 就越小，XL =L 稱為感抗,量綱L=VA= 越大，XL 越大，高頻信號就越難以通過L；LLLLiLLILjUdtdiLutIi: , )cos(2: 則設90iuLLLIULLLIjXU二、二、L元件

13、：元件：相量模型和波形LILUiL iL+ uL - uLiL=0，即XL =0,直流情況下L可等效為短路.jLLULI+ 三、三、C元件：元件：ccccucCUCjIdtduCitUu:)cos(2: 則設90uiccCUI 901 : 1iuCCCCICUICjU即UC 一定時，1C越大，IC 就越小，XC = -1C稱為容抗。CCCIjXCjU1量綱1C=VA=, 越大，即XC 越小時，高頻信號就越容易通過C；=0，即XC 時，直流情況下C可等效為開路。C iC+ uC -iCuCCICU1( jC)+ CICUu 相量模型和波形 第三節電路定律的相量形式 復阻抗與復導納 00 0:KV

14、L0:KCLUIui正弦穩態時一、KCL、KVL的相量形式：二、復阻抗、歐姆定律的相量形式：在正弦穩態下，線性無源一端口網絡端口電壓相量與電流相量之比稱為其等效復阻抗Z (complex impedance)(iuIUIUZIZU 歐姆定律的相量形式。線性無源網絡（NO）UIUI Z 對R、L、C元件，有：CCLLRjXCjZjXLjZRZ1 , ,. , , 等效串聯電抗的虛部等效串聯電阻的實部ZXZRZ是普通的復數，不是相量，Z上方不打圓點Z的兩種坐標形式：極坐標形式：Z=|Z|Z阻抗角的模 ;|iuzZIUZ 代數形式：Z=R + jX. | , sin|cos|22RXtgarcXRZ

15、ZXZRzzz換算 |Z| RXzZ、|Z|、R、X的量綱皆為，且滿足“阻抗三角形 UIRjXRU + +XUN個復阻抗串聯：NzkzNkNkNkNkkkkkkZZXXRRZZ11111| 但串復數形式的分壓公式。 串串UZZUKK阻抗“性質”：UIRjXX=0(Z = u-i =0)： ， 同相，N0呈電阻性(諧振狀態)；UIX0(Z =u-i 0(Z =u-i 0)： 超前于 ，N0呈(電)感性；UI 例1圖示電路已知： ，試求正弦穩態下的i 、uR 、uL 與uC ，并作相量圖。V)805000cos(2100tu i 1512mH5F+ uR -+ uL -+ u -+ uC -解：此

16、題如直接在時域求解,則據KVL及元件的VAR列寫i的方程為一二階微分方程,解方程較煩.我們用歐姆定律的相量形式即相量法分析:例1建立電路的相量模型如圖,其中: ; 40005. 0511CXC60125LXLVU801001 .53252015406015jjjjXjXRZZZZCLCLR)( ;A 6.924 3.1552 80100計算器直接計算ZUI15j60 j40+ -U+ -LU+ -CU+ -SUI9 .26609 .26415IRUR;A )9 .265000cos(24ti;V)9 .265000cos(260tuR;V)1 .635000cos(2160V)9 .11650

17、00cos(2240tutuCL9 .1162409 .26460jIjXULL1 .631609 .26440jIjXUcc討論：（有效值）但相量形式）（時域; ; )( ; CLRCLRCLRUUUUKVLUUUUKVLuuuu, |2 2RXzRXUUarctgUUU, |sin|coszXzRUUUU作相量圖時：串聯電路以電流相量為基礎作出電壓相量比較方便；并聯電路以電壓相量為基礎作出電流相量比較方便26.9IRULUCUXUUi)對RLC串聯正弦穩態電路有：的電壓相量與電容上的電壓相量反相，彼此抵消之故；iii) Z代數形式所對應的“串聯模型”的阻抗與其電壓相似：|Z| X zRUU

18、XURzii)UL =240V，UC =160V，都大于電源電壓U =100V(DC 電路不會如此)，這是由于電感上XIURIUIZUXR三、復導納三、復導納Y在正弦穩態下，線性無源一端口網絡端口電流相量與電壓相量之比稱為等效復導納Y(complex admittance)，即：)(uiUIUIYjBGYYY |線性無源網絡（NO）UIUI YUYIGjBGIBIIU|Y|BGYIIGIBY. | , sin|cos|22GBtgarcBGYYBYGYYy. | , sincos22GBYBGYByGIItgarcIIIIIIIY代數形式所對應的“并聯模型”的導納與其電流相似：. , ; ,

19、等效并聯電納的虛部等效并聯電導的實部YBYGBUIGUIUYIBG其中Y、|Y|、G、B的SI量綱皆為西門子(S).Y與Z的關系 ：, ,Z Z1 1Y Y ; , |1|ZYZY（1）顯然有：得：2222)(j1XRXXRRjXRjBG. )( , 2222XRXBXRRG. )( , 2222BGBXBGGR（2）且由：注意：當Z 0時，上式中的G1/R，|B|1/| X |且B與X異號。反映了Y并聯模型參數與Z串聯模型參數之間的關系 對應得：Y的“性質”：IUB=0(Y=i-u=0)， 、 同相，N0呈電阻性(諧振狀態)；IUB0(Y =i-u 0)， 滯后于 ，N0呈(電)容性；IUB

20、0(Y =i-u 0）為例，電路的u,i,p的波形如圖: 其物理意義為：p的恒定分量算術平均值) P = UI cos 反映了N消耗的平均功率；p0時，外電路能量一部分被N內R所消耗，另一部分L、C儲能； p0，Q C = -UC IC 0 。為了區分起見，給定(即cos)值時，常在后面附加“滯后”或“超前”字樣。由于通常是電壓源供電，“滯后”指i滯后于u(感性)；“超前”指i超前于u(容性)；IUQIUPUISXR,例例：三表法測線圈交流參數R和L： WLVA30WR50V1A*電感線圈220V50HZ解解：方法一 ;127. 031440408 . 050sin:,306 . 050cos

21、1 .536 . 015030cos;50150H /同理滯后LLXLZXZRUIPIUZ)( 方法二 .127. 031440403050,50150;30130222222H /LLXLRZXIUZIPR五、功率因數(=cos)的提高. 輸電線路損耗就越大 越大, I 越小則 P, 輸送一定的 通常為恒壓供電,用率; 直接影響電源設備的利 S, 遠低于 低的使P原因 由于電力系統的負載多為感性負載（如日光燈、電機、電扇等），故提高的方法：在感性負載的“附近”（如某單位的變電所）并聯并聯適當的電容。不會影響原負載的工作（電壓電流不變）!通過例子說明： LR+-UI1IC2I例例：原電路P =

22、10kW，cos1 =0.6(感性)。如何使電路的cos提高到0.9？ 解解：i)并聯電容后相量圖定性分析如圖：小于1，可見功率因數提高了；原負載電路的電壓、電流的大小和相位不變（負載工作狀況不變）；而總電流（輸電線路）I明顯小于I1 。1U1II2Iii ) 由cos1提高到cos所需C的公式推導：PQS并聯電容不改變整個電路的P，只改變其無功（無功補償）而Q由P tg1= QL變為P tg=QL + QC = P tg1 CU 2 ，21)(UPCtgtgF877F220314)8 .28tg1 .53tg(10000)tgtg(; 8 .289 . 0cos ; 1 .536 . 0co

23、s22111UPCiii ) 此例題正常求解的計算過程： 要使cos提高到接近于1，所需的C將要大大增加，但I的減小已十分有限了 效益差 故一般將cos提高到0.9左右即可。六、復功率六、復功率 ，功率平衡，功率平衡S六、復功率 (complex power)，功率平衡1復功率S SjQjQP PS S;cos ; 2222 QP P SPQPSS/IUIeUeUIeUIejUISijujiujj)()sin(cos2222)(ZIIjXRXjIRIjQPS（2）對于無源網絡的串聯等效模型Z = R + j X ，有：（3）對于無源網絡的并聯等效模型Y = G + j B ，有 異號) B 與

24、 X 且注意到 XUQUUjBGjBUGUjQPSX,()(22222/* *Y Y于是有（1）2復功率平衡：設網絡共有b條支路，電壓電流取關聯方向則： 0, 000KKKKKQPSIU電路中復功率具有守恒性，即某些元件（支路）發出的復功率恒等于另一些元件（支路）的復功率。也可以說成電路中總的有功功率是各部分有功功率只和，總的無功功率是各部分無功功率只和，但是總的視在功率并不是各部分視在功率之和。第五節 正弦穩態電路的一般相量分析法一、分析方法概述： 對于電阻電路：由i = 0，u = 0及u = R i 等效變換、獨立變量法、網絡定理 正弦穩態下變為： 相量形式的上述各方法。IZUIUKK及

25、0, 0（4）所有的方程均為相量與復數的關系式，不但有大小關系，還有相位關系。且一個復數方程可對應為兩個實數方程(實部方程與虛部方程或模方程與輻角方程)。相量法在DC分析法的基礎上，還具有以下特點：（1）涉及復數運算，計算量大。（2）同一電路的阻抗串聯模型的阻抗、電壓及功率相似；或導納并聯模型的導納、電流及功率相似。因此可借助這些Rt的關系使計算簡化。（3）可借助其它一些幾何關系及相位關系(如等腰、等邊、同相、反相、正交等)使分析簡化。（5）功率花樣多(P、Q、S、 ）S例1：求右圖電路各節點的電壓：2+-2j1j2AIS05 . 1SUV03解：電路的相量模型建立如圖：節點1不寫；節點2、3

26、的方程為： 021)211121(032132nn UUj3)1 (3)1 (23232nnnnUjUUUj05 . 1)2121(2132 nnUjU 3111)1 (2jj V. V, nn7 .336 . 323313)1 (216 .2624. 221313132jjUjjU據原電路的寫出電氣量的瞬時值（正弦量）的表達式+ -j810j10A02UI例2：求圖示二端網絡的戴維南等效相量模型。+U -I +1045o V-5j3第六節第六節 最大功率傳輸最大功率傳輸一、問題的引出與結論一、問題的引出與結論有源正弦穩態網絡N+ -ZL=RL+jXLUIZL= ? 時可使PL=Pmax=？ZL=RL+jXL+-Zi=Ri+jXi+- UIOCU2222)()(LiLi LLLXXRRURIRPOC00LLLL XPRP及由iLdiLdXXRR可求得P L 達極大值時 i 2Ld4maxRUPPOC即Z L d = Z i*= Ri - jXi （共軛匹配） 討論：共軛匹配時，電路的效率為50%，實際電路的效率可能更低，電力系統希望盡量大不運行在匹配狀態。在弱電系統，為使負載獲得最大功率，可忽略其無關緊要的效率問題。戴