1、穩恒磁場一章習題解答習題91 無限長載流空心圓柱導體的內外半徑分別為a、b，電流在導體截面上均勻分布，則空間各處的的大小與場點到圓柱中心軸線的距離r的關系定性地如圖所示。正確的圖是： r B O a b (A) (B) B a b r O B r O a b (C) B O r a b (D) 習題91圖 解：根據安培環路定理，容易求得無限長載流空心圓柱導體的內外的磁感應強度分布為所以，應該選擇答案(B)。 X Y +q m 習題92圖 習題92 如圖，一個電量為+q、質量為m的質點，以速度沿X軸射入磁感應強度為B的均勻磁場中，磁場方向垂直紙面向里，其范圍從x=0延伸到無限遠，如果質點在x=0

2、和y=0處進入磁場，則它將以速度從磁場中某一點出來，這點坐標是x=0和。(A) 。(B) 。(C) 。 (D) 。解：依右手螺旋法則，帶電質點進入磁場后將在x>0和y>0區間以勻速v經一個半圓周而從磁場出來，其圓周運動的半徑為因此，它從磁場出來點的坐標為x=0和，故應選擇答案(B)。Q I a P I a a a a 2a I I O 習題93圖 習題93 通有電流I的無限長直導線彎成如圖三種形狀，則P，Q，O各點磁感應強度的大小BP，BQ，BO間的關系為。(A) 。(B) 。(C) 。(D) 說明：本題得通過計算才能選出正確答案。對P點，其磁感應強度的大小對Q點，其磁感應強度的大

3、小對O點，其磁感應強度的大小顯然有，所以選擇答案(D)。注：對一段直電流的磁感應強度公式應當熟練掌握。 I1 I2 轉動方向 A B 題解94圖 習題94 如圖所示，一固定的載流大平板，在其附近有一載流小線框能自由轉動或平動，線框平面與大平板垂直，大平板的電流與線框中的電流方向如圖所示，則通電線框的運動情況從大平板向外看是：(A) 順時針轉動 (B) 靠近大平板AB(C) 逆時針轉動 (D) 離開大平板向外運動解：根據大平板的電流方向可以判斷其右側磁感應強度的方向平行于大平板、且垂直于I1；小線框的磁矩方向向上，如圖所示。由公式可以判斷小線框受該力矩作用的轉動方向如圖所示，因此應該選擇答案(C

4、)。習題95哪一幅曲線圖能確切描述載流圓線圈在其軸線上任意點所產生的B隨x的變化關系?(X坐標軸垂直于圓線圈平面，圓點在圓線圈中心O) 線圈的軸電流O X B X O (A) X B O (B) X B O (C) X B O (D) X B O (E) 習題95圖 解：由載流圓線圈(N匝)軸線上的磁感應強度公式可以判斷只有曲線圖(C)是正確的。X Y Z I O I P 習題96圖 習題96 兩根無限長直導線互相垂直地放著，相距d=2.0×102m，其中一根導線與Z軸重合，另一根導線與X軸平行且在XOY平面內。設兩導線中皆通過I=10A的電流，則在Y軸上離兩根導線等距的點P處的磁感

5、應強度的大小為B=。解：依題給坐標系，與Z軸重合的一根導線單獨在P點產生的磁感應強度為同理，另一根與X軸平行的導線單獨在P點產生的磁感應強度為由疊加原理，P點處的磁感應強度的大小為X Y a P l A B 習題97圖 習題97 如圖，平行的無限長直載流導線A和B，電流強度均為I，垂直紙面向外，兩根導線之間相距為a，則(1) 中點(P點)的磁感應強度=。(2) 磁感應強度沿圖中環路l的線積分。解：(1) A、B兩載流導線在P點產生的磁感應強度等大而反向，疊加的結果使P點最終的磁感應強度為零，因此，。(2) 根據安培環路定理容易判斷，磁感應強度沿圖中環路l的線積分等于I。習題98 如圖，半圓形線

6、圈(半徑為R)通有電流I，線圈處在與線圈平面平行向右的均勻磁場中。則線圈所受磁力矩的大小為，方向為。把線圈繞轉過角度時，磁力矩恰為零。 I R O 習題98圖 解：半圓形線圈的磁矩大小為因而線圈所受磁力矩的大小為根據磁力矩公式可以判斷出磁力矩的方向向上。容易知道，當，k=0，±1，±2，時，磁力矩恰為零，這等價于把線圈繞轉過，k=0，1，2，3，。S R 60° 任意曲面 習題99圖 習題99 在均勻磁場中取一半徑為R的圓，圓面的法線與成60°角，如圖所示，則通過以該圓為邊線的如右圖所示的任意曲面S的磁通量。解：通過圓面的磁通量根據磁場的高斯定理，通過整

7、個閉合曲面的磁通量等于零，即所以習題910 如圖所示，均勻電場沿X軸正方向，均勻磁場沿Z軸正方向，今有一電子在YOZ平面沿著與Y軸正方向成135°角的方向以恒定速度運動，則電場和磁場在數值上應滿足的關系是。135° X Y Z O 習題910圖解：電子以恒定速度運動，說明其所受到的合外力為零，即有即 a a 2a I S1 S2 習題911圖 X x dx h O 習題911 如圖，在無限長直載流導線的右側有面積為S1和S2兩矩形回路。兩個回路與長直載流導線在同一平面，且矩行回路的一邊與長直導線平行。則通過面積為S1的矩形回路的磁通量與通過面積為S2的矩形回路的磁通量之比為

8、。解：建立如圖所示的坐標軸OX軸，并在矩形回路內距長直導線x處取寬為dx的窄條面元dS=hdx（圖中帶陰影的面積），則通過該面元的元磁通為所以，通過回路S1的磁通量為通過回路S2的磁通量為故，I I a b c c 習題912圖 習題912 兩根長直導線通頭電流I，如圖所示有三種環路，在每種情況下，等于： (對環路a) (對環路b) (對環路c)解：根據安培環路定理，容易得到：對環路a， 等于；對環路b，等于0；對環路c，等于2。習題913 如圖所示，在真空中有一半圓形閉合線圈，半徑為a，流過的穩恒電流為I，則圓心O處的電流元所受的安培力的大小為，方向為 。 O a I 習題913圖 解：圓心

9、O處的磁感應強度是由半圓形閉合線圈產生的，其直徑段的電流在O處單獨產生的磁場為零，其半圓段在O處產生的磁場即為該點的總磁場的方向垂直于圖面向內。根據安培力公式可知圓心O處的電流元所受的安培力的大小為力的方向垂直于電流元向左。S R O I O l 習題914圖 習題914 一根半徑為R的長直導線均勻載有電流I，作一寬為R、長為l的假想平面S，如圖所示。若假想平面S可在導線直徑與軸所確定的平面內離開軸移動至遠處。試求當通過S面的磁通量最大時S平面的位置。解：見圖示，設假想平面S靠近軸線的一邊到軸線的距離為a，易知長直導線內外的磁場分布為r dr x l I O 題解914圖 R S () ()在

10、假想平面S內、距軸為r處，沿導線直徑方向取一寬度為dr的窄條面元，通過它的元磁通為通過假想平面S的磁通量為由最值條件，令即 解得 (其負根已舍去)R X O dl 題解915圖 習題915 半徑為R的導體球殼表面流有沿同一繞向均勻分布的面電流，通垂直于電流方向的每單位長度的電流為K。求球心處的磁感應強度大小。解：如圖所示，取一直徑方向為OX軸。并沿電流方向在球面上取一寬度為dl 的球帶，該球帶可以看成載流圓環，其載有的電流為dI=Kdl=，其在球心O處產生的元磁場為該元場的方向沿X軸的正方向。球面上所有電流在O點產生的磁感應強度大小為場的方向沿X軸的正方向。 習題916圖 r R O 習題91

11、6如圖，一半徑為R的帶電朔料圓盤，其中有一半徑為r的陰影部分均勻帶正電荷，面電荷密度為，其余部分均勻帶負電荷，面電荷密度為，當圓盤以角速度旋轉時，測得圓盤中心O 點的磁感應強度為零，問R與r滿足什么關系?解：取與圓盤同心、半徑為r、寬度為dr的圓環，其帶量電量為 其等效的圓電流為其在中心O處產生的元場強為因此，中心O點的磁感應強度為令該磁感應強度為零可得習題917 如圖，有一密繞平面螺旋線圈，其上通有電流I，總匝數為N，它被限制在半徑為R1和R2的兩個圓周之間。求此螺旋線中心O處的磁感應強度。R1 R2 O I 習題917圖解：以O點為圓心、以r為半徑，在線圈平面內取寬度為dr的圓環面積，在此

12、環面積內含有dN=ndr=匝線圈，其相應的元電流為dI=IdN。其在中心O點產生的元磁場為O點最終的磁感應強度為該磁感應強度的方向垂直于圖面向外。X x a b c d j O 題解918圖 習題918 厚度為2d的無限大導體平板，其內有均勻電流平行于表面流動，電流密度為j，求空間的磁感應強度分布。解：如圖所示，在垂直于電流密度方向取一矩形回路abcda，其繞行方向與電流密度方向成右手螺旋關系。對此環路應用安培環路定理在平板內部有所以 在平板外部有所以 A B O a b 習題919圖 習題919 均勻帶電剛性細桿AB，電荷線密度為，繞垂直于直線的軸O以角速度勻速轉動(O點在細桿AB的延長線上

13、)，求：(1) O點的磁感應強度；(2)磁矩；(3) 若a>>b，求及。解：(1) 在桿上距軸O為r處取線元dr，其帶電量為，該線元相當于運動的點電荷，其在O 處產生的元磁場大小為元磁場的方向垂直于紙面向里。由于桿上各線元的元磁場的方向均一致，所以求O點的總場可直接對上述元場積分即可的方向垂直于紙面向里。求O點磁場還可以用等效電流法作：在桿上距軸O為r處取線元dr，其帶電量為，該線元相當于運動的點電荷，它作圓周運動的等效環電流為其在O 處產生的元磁場大小為元磁場的方向垂直于紙面向里。對上述元場積分可得O點最終的場的方向垂直于紙面向里。與前邊作法得到的結果相同。 (2) 線元dr的等

14、效環電流為其元磁矩大小為元磁矩的方向垂直于紙面向里。帶電細桿的總磁矩大小為總磁矩的方向垂直于紙面向里。(3) 當a>>b時，帶電細桿相當于點電荷。因此習題920 一線圈的半徑為R，載有電流I，置于均勻外磁場中(如圖示)，在不考慮載流圓線圈本身所激發的磁場的情況下，求線圈導線上的張力。(已知載流圓線圈的法線方向與的方向相同。)R I O 習題920圖 R O 題解920圖 解：設想該載流圓線圈被截成相等的兩半，如圖所示，我們取其中的一半(比如右一半)并分析它的受力情況：安培力作用于中點、方向向右，上、下端點受到的張力均水平向左。由于該半線圈處于力學平衡狀態，因此有即 解得在本題求解中

15、，一是要搞清圓線圈中的“張力”的概念，二是須明確“閉合電流在均勻磁場中所受的合磁力等于零”這一結論。下一道習題我們將證明這個結論。習題921 試證明任一閉合載流平面線圈在均勻磁場中所受的合磁力恒等于零。證明：由安培力公式，線圈任一線元所受到的磁場力為I 題解921圖 則整個閉合載流平面線圈在均勻磁場中所受的合磁力應該為證畢。注意：這里的環積分，是考慮了矢量合成的多邊形法則的結果。習題922 有一“無限大”平面導體薄板，自上而下均勻通有電流，已知其電流密度為i(即單位寬度上通有的電流強度)。(1) 試求板外空間任一點磁感應強度的大小和方向；(2) 有一質量為m，帶正電量為q的粒子，以速度v沿平板

16、法線方向向外運動(如圖)，求：(a) 帶電粒子最初至少在距板什么位置處才不會與大平板碰撞？(b) 須經多長時間，才能回到初始位置(不計粒子重力)？ 習題922圖 解：(1)分析 求板外空間任一點磁感應強度有兩種方法：取電流元積分法和安培環路定理法。由于均勻載流平板是“無限大”，其左、右兩側的場是對稱的，因此，我們可以應用比較簡單的一種安培環路定理法求場。在垂直于電流流向的平面內取一矩形環路abcda，如圖所示，環路的ab邊與cd邊都與平板平行且等距并居于平板左、右兩側，bc邊和da邊都與平板垂直。對此環路應用安培環路定理得 即上式左端第二項和第四項由于與處處垂直，因而都等于零，因此有所以對題給

17、圖示，平板左、右兩側的磁場都是均勻的，大小都等于，只不過方向相反：板右側場垂直于紙面向里，板左側場垂直于紙面向外。(2) 帶電粒子將在豎直平面內作圓周運動，其圓周運動的半徑為可見，欲使粒子不與平板相碰撞，粒子最初至少在距板為R的位置處。粒子從開始運動到回到原處所需的最短時間剛好是一個周期，即R 習題923圖 習題923 半徑為R的圓盤帶有正電荷，其電荷面密度，k是常數，r為圓盤上一點到圓心的距離，圓盤放在一均勻磁場中，其法線方向與垂直。當圓盤以角速度繞過圓心O點且垂直于圓盤平面的軸作逆時針旋轉時，求圓盤所受磁力矩的大小和方向。解：在圓盤上取半徑為r、寬度為dr的細圓環，環面積為，環的帶電量為。

18、其等效環電流為其元磁矩大小為的方向垂直于紙面向外。整個轉動圓盤的磁矩為的方向垂直于紙面向外。根據線圈在磁場中所受磁力矩公式可得圓盤所受磁力矩的大小為的方向垂直于向上。習題924 如圖所示，載有電流I1和I2的長直導線ab和cd 相互平行，相距為3r，今有載有電流I3的導線MN=r水平放置，且其兩端M、N分別與I1、I2的距離都是r，ab、cd和MN共面，求導線MN所受的磁力大小和方向。解：建立圖示坐標系，在I1和I2之間任一點x處的磁感應強度(暫設垂直于紙面向里為正)為 M N I3 x x+dx X 題解924圖 a b c d I1 I2 M N I3 r r r 習題924圖 MN上電流

19、元受到的力為，方向“”整個MN受到的力的大小為，方向“”討論：若，則方向向上；反之，若，則方向向下。3r r r/2 P e O 習題925圖 習題925 空氣中有一半徑為r的無限長直圓柱金屬導體，豎直線為其中心軸線，在圓柱體內挖一個直徑為r/2的圓柱空洞，空洞側面與相切，在未挖洞部分通以均勻分布的電流I，方向沿向下，如圖所示。在距軸線3r處有一電子(電量為-e)沿平行于軸方向，在中心軸線和空洞軸線所決定的平面內，向下以速度飛經P點，求電子經P時，所受的磁場力。分析：此題所給的載流圓柱體的內部被挖去一洞，屬于“破缺型”問題，仿照靜電學中的類似問題采用的“反號電荷補償法”，這里我們采用“反向電流

20、補償法”進行處理。設想在空洞位置是一電流密度與未挖部分的電流密度相等而流向相反的電流，這樣原來的載流體系就等價于電流密度為的、向下均勻流動、半徑為r的完整圓柱導體和一個電流密度也為、但向上均勻流動、半徑為r/4的完整較小的圓柱導體構建而成。因而，空間任一點的場應為這兩個電流各自產生的場的疊加。解：設流經導體截面的電流密度為向上的電流在P點產生的場為，方向“”向下的電流在P點產生的場為，方向“”P點最終的場為，方向“”根據洛侖茲力公式，此刻飛經P點的電子所受力的大小為，方向“”習題926 長直導線與半徑為R的均勻導體圓環相切于點a，另一直導線沿半徑方向與圓環接于點b，如圖所示。現有穩恒電流I從端

21、a流入而從端b流出。(1) 求圓環中點O的磁感應強度；(2) 沿閉合環路L的環流等于什么？a b L I I R 120° O 習題926圖 解：(1) 圓環中點O的磁感應強度可以看成段、三分之一圓周、三分之二圓周和段共四段電流產生的場的疊加。因為段電流單獨產生的場為，方向“”三分之一圓周電流單獨產生的場為，方向“”三分之二圓周電流單獨產生的場為，方向“”段電流單獨產生的場為因此，圓環中點O的磁感應強度為，方向“”(2) 沿閉合環路L的環流為a b c I1 I2 習題927圖 習題927 設右圖中兩導線中的電流I1、I2均為8A，對在它們磁場中的三條閉合曲線a，b，c分別寫出安培環路定理等式右邊電流的代數和。并說明：(1) 各條閉合曲線上，各點的磁感應強度B的量值是否相等?(2) 在閉合曲線c上各點的B值是否為零?為什么?解：對閉合曲線a為8A；對閉合曲線b亦為8A；對閉合曲線c為0。(1) 在個條閉合曲線上，各點的磁感應強度的量值并不相等。(2) 在閉合曲線c上各點的磁感應強度的量值不為零，因為該曲線上的場是由I1和I2共同產生的，場強疊加的結果。A c b a I X Y Z 習題928圖 習題928 一塊半導體的體積為a×b×c，如圖所示，沿X軸方向通有電流I，在Z方向有均勻磁場。這