1、 第十章第十章 含有耦合電感的電路含有耦合電感的電路10. 1 互感互感10. 2 含有耦合電感電路的計算含有耦合電感電路的計算10. 3 空心變壓器空心變壓器10. 4 理想變壓器理想變壓器10. 1 互感互感一、一、 互感互感當線圈當線圈1中通入電流中通入電流i1時，在線圈時，在線圈1中產生磁通中產生磁通(magnetic flux) 11 ，產生的自感磁通鏈為，產生的自感磁通鏈為 11 ，同時，有部分磁通穿，同時，有部分磁通穿過臨近線圈過臨近線圈2，產生互感磁通鏈為，產生互感磁通鏈為 21 。i1 11 = N1 11 , 21 = N2 21 +u11+u21N1N2 11 21i1當

2、線圈當線圈2中通入電流中通入電流i2時，在線圈時，在線圈2中產生磁通中產生磁通 22 ，產，產生的自感磁通鏈為生的自感磁通鏈為 22 ，同時，有部分磁通穿過臨近線圈，同時，有部分磁通穿過臨近線圈1，產生互感磁通鏈為產生互感磁通鏈為 12 。每個耦合線圈中的磁通鏈等于自感。每個耦合線圈中的磁通鏈等于自感磁通鏈和互感磁通鏈的代數和。即：磁通鏈和互感磁通鏈的代數和。即：+u11+u21N1N2 1 = 11 12 2 = 21+ 22 12 22i2當線圈周圍無鐵磁物質當線圈周圍無鐵磁物質(空心線圈空心線圈)時，時， 11、 21與與i1成正比，成正比， 12、 22與與i2成正比。即：成正比。即：

3、 11 = L1 i1， 21 = M21 i1， 22 = L2 i2， 12 = M12 i2。為自感系數，單位亨為自感系數，單位亨稱稱，H)( 11111LiL ）。的的互互感感系系數數，單單位位亨亨（對對線線圈圈為為線線圈圈稱稱，H21 2112121MiM M21 = M12 =M M 恒大于零恒大于零 1 = L1 i1 M i2 2 = M i1 + L2 i2二、互感線圈的二、互感線圈的同名端同名端 1 = L1 i1 M i2 2 = M i1 + L2 i2 i1*L1L2+_u1+_u2i2M 21+u11+u21i1 11N1N2i2i2 +u11+u21i1 11 0

4、N1N2+u31N3 s i1*L1L2+_u1+_u2i2M 11 = L1 i1 =20Wb 22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb 21 = M i1 =10Wb 12 = M i2 = 5cos(10t) Wb 1 = L1 i1 + M i2 =20+ 5cos(10t) Wb 2 = M i1 + L2 i2 =10+ 15cos(10t) Wb 當兩個線圈同時通以變動的電流時，當兩個線圈同時通以變動的電流時，各電感的磁鏈將隨電流的變動而變動，各電感的磁鏈將隨電流的變動而變動，在每個線圈兩端將產生感應電壓（包含在每個線圈兩端將產生感應電壓（包含自感電壓和互感電壓），設自

5、感電壓和互感電壓），設L1 和和L2的電的電壓和電流分別為壓和電流分別為 u1 、 i1和和u2 、 i2 ，且方，且方向為關聯參考方向，互感為向為關聯參考方向，互感為M，則有，則有 ：注意：如果互感電壓注意：如果互感電壓“+”極性端子與產生它的電極性端子與產生它的電流流進的端子為一對同名端時，互感電壓前應取流流進的端子為一對同名端時，互感電壓前應取“+”號，反之取號，反之取“-”號。號。dtdiL dtdiMuudtd u dtdiM dtdiLuudtd u221222122211121111 三、互感線圈的三、互感線圈的伏安特性伏安特性i1*L1L2+_u1+_u2i2M)tsin(dt

6、diL dtdiMu )tsin(dtdiM dtdiLu10150105022122111 i1*L1L2+_u1+_u2i2Mu1u2 Mi iLdtd u Mi iLdtd u122222211111, i1*L1L2+_u1+_u2i2M在正弦交流電路中，其相量形式的方程為在正弦交流電路中，其相量形式的方程為22122111 jjjj ILIMUIMILUj L11 I2 Ij L2+2 j IM1 j IM+2 U+1 UdtdiL dtdiMu dtdiM dtdiLu22122111 耦合系數耦合系數 (coupling coefficient)k：k kk k 表示兩個線圈磁耦

7、合的緊密程度。表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。全耦合全耦合: 11= 21， 22 = 122122112112defLLMk 1 , , , 2122121122121121212122222211111 k LLMLLMM iNMiNMiNLiNL可以證明，可以證明，k 1。同名端表明了線圈的相互繞法關系。同名端表明了線圈的相互繞法關系。確定同名端的方法：確定同名端的方法：(1) 當兩個線圈中電流同時由同名端流入當兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出或流出)時，兩個時，兩個電流產生的磁場相互增強。（根據繞向判別）電流產生的磁場相互增強。（根據繞向判別） i1122*(2) 當隨時間增大的時

8、變電流從一當隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應同名端的電位升另一線圈相應同名端的電位升高。高。(實驗法判別實驗法判別)V+i1122*R S電壓表正偏。電壓表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi如圖電路，當閉合開關如圖電路，當閉合開關S時，時，i 增加，增加，10-2 含有耦合電感電路的計算含有耦合電感電路的計算i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+MLLLRRR2 2121 tiMtiLiRutiMtiLiRudddddddd222111 )(2121LLM 互感不大于兩個自感的算術平均值。互感不大于兩個自感的算術平均值

9、。02 21 MLLLtiLRiti)MLL(i )RR(uuudddd2212121 tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+在正弦激勵下：在正弦激勵下：*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I 2j2121I)MLL(I)RR(U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量圖相量圖：(a) 正串正串(b) 反串反串例例10-

10、3 圖示電路中，正弦電壓的圖示電路中，正弦電壓的U=50V，R1=3 ， L1=7.5 , R2=5 ， L2=12.5 , M=8 。求該耦合電感的。求該耦合電感的耦合因數耦合因數K和該電路中吸收的復功率。和該電路中吸收的復功率。i*u2+MR1R2L1L2u1+u+826.05.125.78)(2121 LLMLLMk AVjZISAVjZISZUIUjZZZjMLjRZjMLjRZ )63.14025.156()63.1575.93(57.2659.5/,050485 .45)(5 .03)(222121.21222111：各各支支路路吸吸收收的的復復功功率率為為則則：令令 *+R1R2

11、1I2I3Ij L1j L2j M U12222111 jjjj IMILRUIMILRU ）（）（213 III22231113 IMLjRIMjUIMLjRIMjU）（）（ +R1R21I2I3Ij La j Lbj Lc ULc = MLa =L1 MLb = L2 M*+R1R21I2I3Ij L1j L2j M U12222111 IMjILjRUIMjILjRU ）（）（213 III22231113 IMLjRIMjUIMLjRIMjU）（）（ +R1R21I2I3Ij La j Lbj Lc ULc = MLa =L1 MLb = L2 M例例10-4 圖示電路中，正弦電壓的圖

12、示電路中，正弦電壓的U=50V，R1=3 ， L1=7.5 , R2=5 ， L2=12.5 , M=8 。求支路。求支路1、2吸收的復功率。吸收的復功率。*+R1R21I2I3Ij L1j L2j M U 85 . 45 . 021MLMLLMLLcba +R1R21I2I3Ij La j Lbj Lc U)7 .9335.34()74.18897.111(1 .10199.13 .5939.4)/(85 .455 .0305022112212121332211jIUSjIUSIIZZZIZZZUIjMjZjLjRZjLjRZUba 令令+R1R21I2I3Ij La j Lbj Lc U

13、85 . 45 . 0535021cbaLLLRRVU S2111 j)j( UIMILR 0)j(j2221 IZLRIM 10-3 空心變壓器空心變壓器222111Sin22211S1)( )( ZMZIUZZMZUI Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)1 I+S UZ11222)(ZM原邊等效電路原邊等效電路*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX這說明了副邊回路對初級回路的影響可以用引入阻抗這說明了副邊回路對初級回路的影響可以用引入阻抗來考慮。從物理意義講，雖然原副邊沒有電的聯系，但來考慮。從物理意義講，雖然原副邊沒有電的聯系，但由

14、于互感作用使閉合的副邊產生電流，反過來這個電流由于互感作用使閉合的副邊產生電流，反過來這個電流又影響原邊電流電壓。又影響原邊電流電壓。lllXRXRXMXRRMXRMZMZjjj)(22222222222222222222222222222 Zl= Rl+j Xl：副邊對原邊的引入阻抗。：副邊對原邊的引入阻抗。引引入入電電阻阻 2222222222XRRMRl引入電抗引入電抗 2222222222XRXMXl負號反映了副邊的感性阻抗負號反映了副邊的感性阻抗反映到原邊為一個容性阻抗反映到原邊為一個容性阻抗11in2 , , 0ZZI 即副邊開路即副邊開路當當1122211S2/)(/j- ZMZ

15、ZUMI 同樣可解得：同樣可解得：2 I+oc UZ22112)(ZM11Soc jZUMU 112)(ZM原邊對副邊的引入阻抗。原邊對副邊的引入阻抗。副邊等效電路副邊等效電路副邊開路時，原邊電副邊開路時，原邊電流在副邊產生的互感電壓。流在副邊產生的互感電壓。*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j)j( UIMILR 0)j(j2221 IZLRIM Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX例例10-5 圖示電路，圖示電路，R1=R2=0，L1=5H,L2=1.2H,

16、M=2H，us=100cos(10t)，ZL=RL+jXL=3 。求。求原副邊電流原副邊電流i1、i2。:,0250 IUS用用原原邊邊等等效效回回路路求求電電流流解解： )37.3184. 7()123/(400/)()123(,50222222111jjZMjLjZZjLjZL 84.12666. 52 .675 . 3/)(2212222111ZIMjIZMZUIS AtiAti)84.12610cos(266. 5)2 .6710cos(25 . 321 10-4 理想變壓器理想變壓器當當L1 ,M, L2 ，L1/L2 比值比值不變不變 (磁導率磁導率m m ) , 則有則有一一.

17、理想變壓器理想變壓器 (ideal transformer)： 21UnU 211InI *1 I2 I+2 U+1 Un : 1理想變壓器的元件特性理想變壓器的元件特性理想變壓器的電路模型理想變壓器的電路模型212121LLLMMLNNn 1 I2 I+2 U+1 U2 1 In1 1 UnZnIUnInUnIU22222211)( 1 (a) 阻抗變換性質阻抗變換性質 二、理想變壓器的性質二、理想變壓器的性質*1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z (b) 功率性質：功率性質： 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i2+u20)(111112211 niuniuiuiup由此可以看出，理想變壓器既不儲能，也不耗能，