1、 線性代數(shù)知識點總結(jié)第一章 行列式 二三階行列式N階行列式：行列式中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的和 （奇偶）排列、逆序數(shù)、對換行列式的性質(zhì)：行列式行列互換，其值不變。（轉(zhuǎn)置行列式） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號。 推論：若行列式中某兩行（列）對應元素相等，則行列式等于零。 常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式、代數(shù)余子式 定理：行列式中某一行的元素與另

2、一行元素對應余子式乘積之和為零。 克萊姆法則： 非齊次線性方程組 ：當系數(shù)行列式時，有唯一解： 齊次線性方程組 ：當系數(shù)行列式時，則只有零解 逆否：若方程組存在非零解，則D等于零 特殊行列式：轉(zhuǎn)置行列式：對稱行列式:反對稱行列式: 奇數(shù)階的反對稱行列式值為零三線性行列式: 方法：用把化為零，?；癁槿切涡辛惺缴希ㄏ拢┤切涡辛惺?行列式運算常用方法（主要）行列式定義法（二三階或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降階法、升階法、歸納法、 第二章 矩陣 矩陣的概念：（零矩陣、負矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣) 矩陣的運算：加法（同型矩陣）-交換、結(jié)合律 數(shù)乘-分配、結(jié)合律 乘法

3、注意什么時候有意義 一般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 轉(zhuǎn)置 (反序定理) 方冪： 幾種特殊的矩陣：對角矩陣：若AB都是N階對角陣，k是數(shù)，則kA、A+B、 AB都是n階對角陣 數(shù)量矩陣：相當于一個數(shù)（若） 單位矩陣、上（下）三角形矩陣（若） 對稱矩陣 反對稱矩陣 階梯型矩陣：每一非零行左數(shù)第一個非零元素所在列的下方 都是0 分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法：類似，轉(zhuǎn)置：每塊轉(zhuǎn)置并且每個子塊也要轉(zhuǎn)置 注：把分出來的小塊矩陣看成是元素 逆矩陣：設(shè)A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的， (非奇異矩陣、奇異矩陣|A|=0、伴隨矩陣) 初等變換1、交換兩行

4、（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性 初等矩陣都可逆 初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的（對換陣 倍乘陣 倍加陣） 等價標準形矩陣 矩陣的秩r(A)：滿秩矩陣 降秩矩陣 若A可逆，則滿秩 若A是非奇異矩陣，則r（AB）=r（B） 初等變換不改變矩陣的秩 求法：1定義2轉(zhuǎn)化為標準式或階梯形 矩陣與行列式的聯(lián)系與區(qū)別： 都是數(shù)表；行列式行數(shù)列數(shù)一樣，矩陣不一樣；行列式最終是一個數(shù)，只要值相等，就相等，矩陣是一個數(shù)表，對應元素相等才相等；矩陣，行列式 逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I則A與B一定互逆； 不是

5、所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。矩陣的逆矩陣滿足的運算律： 1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 2、可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且 3、可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置也是可逆的，且 4、兩個可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的，且 但是兩個可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A為N階方陣，若|A|=0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。 5、若A可逆，則伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣： （代數(shù)余子式）特殊矩陣的逆矩陣：（對1和2，前提是每個矩陣都可逆） 1、分塊矩陣 則 2、準對角矩陣， 則 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判斷矩陣是否可逆

6、：充要條件是，此時求逆矩陣的方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法 只能是行變換初等矩陣與矩陣乘法的關(guān)系： 設(shè)是m*n階矩陣，則對A的行實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對A的列實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A （行變左乘，列變右乘） 第3章 線性方程組消元法 非齊次線性方程組：增廣矩陣簡化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當r=n時，有唯一解；當時，有無窮多解 r(AB)r(B)，無解 齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n 當齊次線性方程組方程個數(shù)<未知量個數(shù)，一定有非零解 當齊次線性方程組方程個數(shù)=

7、未知量個數(shù)，有非零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個N維向量：由n個實數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量，負向量，相等向量，轉(zhuǎn)置向量向量間的線性關(guān)系: 線性組合或線性表示 向量組間的線性相關(guān)（無）：定義向量組的秩：極大無關(guān)組（定義P188） 定理：如果是向量組的線性無關(guān)的部分組，則它是 極大無關(guān)組的充要條件是：中的每一個向量都可由線性表出。 秩:極大無關(guān)組中所含的向量個數(shù)。 定理：設(shè)A為m*n矩陣，則的充要條件是：A的列（行）秩為r。現(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次非齊次、基礎(chǔ)解系線性組合或線性表示注：兩個向量，若則是線性組合 單位向

8、量組 任意向量都是單位向量組的線性組合 零向量是任意向量組的線性組合 任意向量組中的一個都是他本身的線性組合向量組間的線性相關(guān)（無）注： n個n維單位向量組一定是線性無關(guān) 一個非零向量是線性無關(guān)，零向量是線性相關(guān) 含有零向量的向量組一定是線性相關(guān) 若兩個向量成比例，則他們一定線性相關(guān)向量可由線性表示的充要條件是 判斷是否為線性相關(guān)的方法：1、定義法：設(shè)，求（適合維數(shù)低的）2、 向量間關(guān)系法：部分相關(guān)則整體相關(guān)，整體無關(guān)則部分無關(guān)3、 分量法（n個m維向量組）：線性相關(guān)（充要） 線性無關(guān)（充要） 推論當m=n時，相關(guān)，則；無關(guān)，則 當m<n時，線性相關(guān)推廣：若向量組線性無關(guān)，則當s為奇數(shù)時

9、，向量組 也線性無關(guān)；當s為偶數(shù)時，向量組也線性相關(guān)。 定理：如果向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表出，且 表示法唯一的充分必要條件是線性無關(guān)。極大無關(guān)組注：向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但他們所含向量的個數(shù)是確定的； 不全為零的向量組的極大無關(guān)組一定存在； 無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其本身； 向量組與其極大無關(guān)組是等價的。齊次線性方程組（I）解的結(jié)構(gòu)：解為 （I）的兩個解的和仍是它的解； （I）解的任意倍數(shù)還是它的解； （I）解的線性組合也是它的解，是任意常數(shù)。非齊次線性方程組（II）解的結(jié)構(gòu)：解為 （II）的兩個解的差仍是它的解； 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解，v是其導出組AX

10、=O的一個解，則u+v是（II）的一個解。定理： 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩，則該方程組的基礎(chǔ)解系存在，且在每個基礎(chǔ)解系中，恰含有n-r個解。 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解，v是其導出組AX=O的全部解，則u+v是（II）的全部解。第4章 向量空間 向量的內(nèi)積 實向量定義：（，）=性質(zhì)：非負性、對稱性、線性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的長度 的充要條件是=0；是單位向量的充要條件是（，）=1單位化向量的夾角正交向量：是正交向量的充要條件是（，）=0正交的向量組必定線性無關(guān)正交矩陣：階矩陣 性質(zhì)：1、若A為正交

11、矩陣，則可逆，且，且也是正交矩陣；、若A為正交矩陣，則；、若A、為同階正交矩陣，則也是正交矩陣；、階矩陣（）是正交矩陣的充要條件是的列（行）向量組是 標準正交向量；第五章 矩陣的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是N階方陣，若數(shù)使AX=X，即（I-A）=0有非零解，則稱為A的一 個特征值，此時，非零解稱為A的屬于特征值的特征向量。 |A|= 注： 1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法 求 將代入（I-A）X=0求出所有非零解 3、對于不同的矩陣，有重根、單根、復根、實根（主要學習的） 特殊：的特征向量為任意N階非零向量或 4、特征值： 若是A的特征值 則- 則- 則- 若=A則-=0或

12、1 若=I則-=-1或1 若=O則-=0 跡tr(A )：跡（A）= 性質(zhì)： 1、N階方陣可逆的充要條件是A的特征值全是非零的 2、A與有相同的特征值 3、N階方陣A的不同特征值所對應的特征向量線性無關(guān) 4、5、P281 相似矩陣定義P283：A、B是N階矩陣，若存在可逆矩陣P，滿足，則矩陣A與B 相似，記作AB性質(zhì)1、自身性：AA,P=I 2、對稱性：若AB則BA 3、傳遞性：若AB、BC則AC - - 4、若AB，則A與B同（不）可逆 5、若AB，則 兩邊同取逆， 6、若AB，則它們有相同的特征值。 （特征值相同的矩陣不一定相似） 7、若AB，則 初等變換不改變矩陣的秩 例子：則 A=O

13、A=I A=矩陣對角化定理：N階矩陣A與N階對角形矩陣相似的充要條件是A有N個線性無關(guān)的特征向量注：1、P與中的順序一致 2、A,則與P不是唯一的推論：若n階方陣A有n個互異的特征值，則 （P281）定理：n階方陣的充要條件是對于每一個重特征根，都有 注：三角形矩陣、數(shù)量矩陣的特征值為主對角線。約當形矩陣 約當塊：形如的n階矩陣稱為n階約當塊； 約當形矩陣：由若干個約當塊組成的對角分塊矩陣（是約當塊）稱為約當形矩陣。定理：任何矩陣A都相似于一個約當形矩陣，即存在n階可逆矩陣。第六章 二次型二次型與對稱矩陣 只含有二次項的n元多項式f()稱為一個n元二次型，簡稱二次型。 標準型：形如 的二次型，

14、稱為標準型。 規(guī)范型：形如 的二次型，稱為規(guī)范型。線性變換矩陣的合同：設(shè)AB是n階方陣，若存在一個n階可逆矩陣C，使得 則稱A與B是合同的，記作A B。合同的性質(zhì)：反身性、對稱性、傳遞性、秩、化二次型為標準型：配方法、做變換（二次型中不含有平方項）第一章 行列式一行列式的定義和性質(zhì)1. 余子式和代數(shù)余子式的定義例1行列式第二行第一列元素的代數(shù)余子式（）ABCD測試點 余子式和代數(shù)余子式的概念解析 ,答案 B2行列式按一行或一列展開的公式1）2）例2 設(shè)某階行列式的第二行元素分別為對應的余子式分別為則此行列式的值為 .測試點 行列式按行(列)展開的定理解 例3 已知行列式的第一列的元素為，第二列

15、元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x 問 .測試點 行列式的任意一行(列)與另一行(列)元素的代數(shù)余子式的乘積之和為零.解 因第一列的元素為，第二列元素的代數(shù)余子式為2,3,4,x,故所以3行列式的性質(zhì)1）2）用數(shù)乘行列式的某一行（列）所得新行列式原行列式的倍.推論3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等于原行列式的相反數(shù). 推論4）如果行列式中兩行（列）對應元素成比例，則行列式值為0.5）行列式可以按任一行（列）拆開.6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.例4 已知，那么（ ）A.B.C.D. 測試點 行列式的性質(zhì)解析 答案 B例5設(shè)行列式=1，=2

16、，則=（）ABC1D測試點 行列式的性質(zhì)解 故應選 D答案 D二行列式的計算1二階行列式和三角形行列式的計算.2.對一般數(shù)字行列式，利用行列式的性質(zhì)將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計算.3對行列式中有一行或一列中只有一個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開. 4行列式中各行元素之和為一個常數(shù)的類型.5.范德蒙行列式的計算公式例6求4階行列式的值.測試點 行列式的計算解 例7計算3階行列式 解 例8 計算行列式：測試點 各行元素之和為常數(shù)的行列式的計算技巧.解 例9計算行列式 測試點 行列式中有一行只有兩個元素不為零的行列式的計算和三角形行列式的計算解例10計算行列式解 例11設(shè)問（1

17、）中，項的系數(shù)？（2）方程有幾個根？試寫出所有的根。測試點 1.范德蒙行列式的判別和計算公式;2.行列式按行(列)展開的定理.解（1）項的系數(shù)(2)因為所以方程有三個根:第二章 矩陣一、矩陣的概念1.要弄清矩陣與行列式的區(qū)別2.兩個矩陣相等的概念3.幾種特殊矩陣（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數(shù)量陣）二、矩陣的運算1 矩陣的加、減、乘有意義的充分必要條件例1設(shè)矩陣,， ，則下列矩陣運算中有意義的是（）ABCD測試點: 矩陣相乘有意義的充分必要條件答案: B例2設(shè)矩陣， ，則 =_.測試點: 矩陣運算的定義解 .例3設(shè)矩陣， ，則_.測試點: 矩陣運算的定義解 2矩陣運算的性質(zhì)比較矩陣運算（包

18、括加、減、數(shù)乘、乘法等）的性質(zhì)與數(shù)的運算性質(zhì)的相同點和不同點（加法的交換律和結(jié)合律；乘法關(guān)于加法的分配律；）重點是矩陣乘法沒有交換律（由此產(chǎn)生了矩陣運算公式與數(shù)的運算的公式的不同點. (如果，可能例如都不為零，但.3轉(zhuǎn)置 對稱陣和反對稱陣 1）轉(zhuǎn)置的性質(zhì)2）若，則稱為對稱（反對稱）陣例4矩陣為同階方陣，則=（）ABCD答案: B例5設(shè)令,試求.測試點 矩陣乘法的一個常用技巧解 因為,所以 答案 例6為任意階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（）ABCD解析 故為對稱陣. 故為反對稱陣. 故為對稱陣.同理也為對稱陣.答案 B例7已知矩陣,為2階單位矩陣,令求測試點 方陣多項式的概念;4. 方陣的行

19、列式的性質(zhì)例7設(shè)為n階方陣，為實數(shù)，則=（）ABCD答案: C例8矩陣，則行列式_.解析 答案 5.逆矩陣1）方陣可逆(也稱非異，滿秩)的充分必要條件是.當可逆時，.其中方陣的伴隨陣的定義。特別 當時，重要公式； 與的關(guān)系2）重要結(jié)論：若n階方陣滿足，則都可逆，且.3）逆矩陣的性質(zhì)：;當時，；;.4）消去律：設(shè)方陣可逆，且，則必有.（若不知可逆，僅知結(jié)論不一定成立。）6分快矩陣矩陣運算時，分快的原則：保證運算能順利進行（包括分塊矩陣和子塊的運算）如；分快矩陣的運算規(guī)則；特別是分快矩陣的轉(zhuǎn)置準對角陣的逆矩陣： 如果 都是可逆陣，則例9 二階矩陣，則（）ABCD測試點 伴隨矩陣的定義,二階方陣的伴

20、隨陣答案: A例10 三階陣，則= _.測試點 重要公式 .答案例11 ，則_.解 例12 設(shè)為2階可逆矩陣，且已知，則 =（）ABCD測試點 逆矩陣的性質(zhì)解 由 ,所以 故答案 D例13設(shè)求.測試點 求逆矩陣的方法解 所以注意 一定要驗算例14 已知則_。測試點 關(guān)于逆矩陣的重要推論若都是階矩陣，且滿足則都可逆，且解 由得，即，即 ，故 答案 例15設(shè)是n階方陣，且，證明可逆.測試點 若則都可逆,且證 因為,即,所以故可逆,且.例16設(shè)階方陣滿足，其中為正整數(shù)，證明可逆，且分析 只要檢查即可證 因為 .故 三、矩陣的初等變換和初等矩陣1初等變換的定義和性質(zhì)稱矩陣的下列三種變換為初等行變換：（

21、1）兩行互換；（2）某一行乘一個非零的數(shù)；（3）某一行的倍加到另一行上。類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.方陣經(jīng)初等變換后的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能將矩陣化為標準形，其中為矩陣的秩.如果矩陣經(jīng)過有限次的初等變換變成則稱矩陣與等價.等價矩陣有相等的秩，從而有相等的等價標準形.2.初等矩陣的定義和性質(zhì)1）初等矩陣的定義;初等陣都可逆，且其逆也是同類型的初等陣.2) 初等變換和矩陣乘法之間的關(guān)系3)對任意階矩陣，總存在一系列階初等陣和一系列階

22、初等陣使得 4)矩陣階與等價的充分必要條件是存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得 例17 下列矩陣中，是初等矩陣的為（）ABCD 測試點 初等矩陣的定義和性質(zhì)解析C.是由單位矩陣經(jīng)第三行加第一行得到的，故是初等矩陣。答案 C例18設(shè)三階矩陣,若存在初等矩陣,使得則 【 】A. B. C. D.測試點 矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關(guān)系答案 B 四、矩陣的階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法1 矩陣的階子式的概念2 矩陣秩的概念 定義矩陣的秩為0，對于非零矩陣，如果有一個階子式不等于而所有的階子式（如果有的話）都等于則稱矩陣的秩為.顯然階可逆矩陣的秩等于，故可逆陣又稱是滿秩的.階梯形矩陣的秩等

23、于其非零行的個數(shù).3. 等價矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）;從而矩陣左乘（右乘）可逆陣其秩不變.反之兩個同形矩陣只要秩相等，則二者必等價.4.求矩陣秩的方法 例19設(shè)矩陣，則中（）A所有2階子式都不為零B所有2階子式都為零C所有3階子式都不為零D存在一個3階子式不為零測試點 矩陣的階子式的概念.答案 D例20設(shè)矩陣，矩陣，則矩陣的秩 =_.測試點 矩陣秩的概念解 答案 例21設(shè)矩陣，問a為何值時，（1）秩；（2）秩.測試點 求矩陣秩的方法解 所以 當時, 秩;當時, 秩例22設(shè)為m×n矩陣，是n階可逆矩陣，矩陣的秩為，則矩陣的秩為_.測試點 用可逆矩陣左(右)乘任意矩陣,則

24、的秩不變.答案 例23設(shè)階方陣的秩為，則與等價的矩陣為（）ABCD答案 B測試點 矩陣等價的概念；等價矩陣有相等的秩；反之同形的兩個矩陣只要其秩相等，必等價.解 因為A,C,D的矩陣的秩都為，B的矩陣的秩等于.故答案應為B.五、矩陣方程的標準形及解的公式例24設(shè)矩陣， ，求矩陣方程的解.測試點 解矩陣方程的方法解 驗算!例25設(shè)均為3階矩陣,為3階單位矩陣,且滿足:.若已知求矩陣.測試點 解矩陣方程的方法解 因為，故從而 ，又顯然可逆，應用消去律得 .驗算 所以確有 例26已知矩陣滿足方程，求。測試點 求矩陣方程的解解 由 得故 其中所以 驗算第三章 向量空間一、維向量線性運算的定義和性質(zhì);例

25、1已知其中，則 _.測試點 維向量線性運算的定義和性質(zhì)解 因為,所以 故 (請驗算)答案 .例2設(shè)向量則由線性表出的表示式為_.測試點 向量由向量組線性表示;組合系數(shù)的求法解 考慮 該線性方程組的增廣矩陣所以 答案 (驗算!)二、維向量組的線性相關(guān)性1向量組的線性相關(guān)性的定義和充分必要條件：1）定義: 設(shè)是一組維向量.如果存在個不全為零的數(shù)，使得,則稱向量組線性相關(guān)，否則，即如果，必有，則稱向量組線性無關(guān).2) 個維向量線性相關(guān)的充分必要條件是至少存在某個是其余向量的線性組合.即線性無關(guān)的充分必要條件是其中任意一個向量都不能表示為其余向量的線性組合.例3設(shè)向量組線性相關(guān)，則必可推出（）A中至少

26、有一個向量為零向量B中至少有兩個向量成比例C中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性組合D中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組合測試點 向量組線性相關(guān)的概念答案 C例4向量組線性無關(guān)的充分條件是A. 都不是零向量B. 中任意兩個向量都不成比例C. 中任意一個向量都不能表為其余向量的線性組合D. 中任意個向量都線性無關(guān)測試點 向量組線性相關(guān)的概念; 充分條件;必要條件;充分必要條件.解 都不是零向量,但線性相關(guān). 中任意兩個向量都不成比例,且其中任意個向量都線性無關(guān),但線性相關(guān).故A,B,D都不正確.答案 C例5.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明向量組也線性無關(guān).測試點 向量組線性無關(guān)的定義; 證 設(shè)

27、 因為 則 即 因為線性無關(guān),故,所以只能.這表明若,必有.據(jù)向量組線性無關(guān)的定義,知也線性無關(guān)例6.若向量組線性無關(guān),則可能的取值應滿足 .測試點 個維向量線性無關(guān)相應的行列式;解所以 且.答案 且.2. 關(guān)于線性相關(guān)的幾個定理1) 如果向量組線性無關(guān),而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一.2) 線性相關(guān)的向量組再增加向量所得的新向量組必線性相關(guān).(部分相關(guān),則整體相關(guān);或整體無關(guān),則部分無關(guān))3) 若向量組線性無關(guān),則接長向量組 必線性無關(guān).3判斷向量組線性相關(guān)性的方法1)一個向量線性相關(guān)； 2)含有零向量的向量組必線性相關(guān)；3)向量個數(shù)向量維數(shù)時，n維向量組線性相關(guān). 4)向量個數(shù)&

28、gt;向量維數(shù)時, 向量組必線性相關(guān)；5)部分相關(guān)，則整體必相關(guān)；（整體無關(guān)，則部分必無關(guān)）.6)若向量組線性無關(guān)，則其接長向量組必線性無關(guān)；7)向量組線性無關(guān)向量組的秩所含向量的個數(shù)，向量組線性相關(guān)向量組的秩<所含向量的個數(shù);8)向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的充分必要條件是齊次方程組有（沒有）非零解.例7.設(shè)維向量組線性無關(guān),則A. 組中減少任意一個向量后仍線性無關(guān)B. 組中增加任意一個向量后仍線性無關(guān)C. 存在不全為零的數(shù),使D. 組中至少有一個向量可以由其余向量線性表出解析 因為若向量組線性相關(guān)，則增加任何一個向量后仍線性相關(guān)，其等價的定理是向量組相性無關(guān)，則組中減少任意一個向量后仍線性

29、無關(guān)答案 A例8設(shè)向量，下列命題中正確的是（）A若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)B若線性無關(guān)，則必有線性無關(guān)C若線性相關(guān)，則必有線性無關(guān)D若線性無關(guān)，則必有線性相關(guān)答案 B例9.設(shè)向量組線性無關(guān),而向量組線性相關(guān).證明:向量必可表為的線性組合.測試點 關(guān)于線性相關(guān)性的幾個定理證1因為線性相關(guān)，故線性相關(guān)，又因為線性無關(guān),所以必可表為的線性組合. 證畢.證2 因為線性無關(guān),故必線性無關(guān),又因為線性相關(guān)故必能由線性表示,當然可表為的線性組合. 證畢. 三、向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩1極大無關(guān)組的定義：設(shè)是向量組的一個部分組.如果（1）線性無關(guān)；（2）任給，都有線性相關(guān)，則稱是向量組的一個極大無關(guān)組.

30、2向量組的秩，向量組的秩與矩陣的秩；求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法例10的行向量組的秩 _.測試點 矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系;答案 例11設(shè)是一個4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ ）A1B2C3D4測試點 （1）向量組的秩的概念；（2）向量由向量組線性表示的概念 （3）向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念解 因為可以表為的線性組合，且表示法惟一，必有線性無關(guān),因為設(shè)，由可以表為的線性組合，即故 由表示法惟一，有 于是有，故線性無關(guān)，又可以表為的線性組合，所以為向量組的一個極大無關(guān)組，故向量組的秩為3.答案 C例12設(shè)向量組（

31、1）求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組；（2）將其余向量表為該極大線性無關(guān)組的線性組合.測試點 求向量組的極大無關(guān)組,并將其余向量由該極大無關(guān)組線性表示的的方法解 所以 原向量組的秩為， 為所求的極大無關(guān)組.四、子空間的定義，基、維數(shù)、向量在一組基下的坐標 1. 維向量空間的定義：維實向量的全體構(gòu)成的集合稱為維向量空間，記為.2. 子空間的定義：設(shè)是的一個非空子集，且滿足對加法運算和數(shù)乘運算封閉，則稱是的一個子空間,簡稱為向量空間.3.生成子空間的定義：設(shè)則由它們的所有線性組合構(gòu)成的一個子空間，稱它為由生成的子空間.例13 設(shè)，說明哪個是子空間，那個不是.解析 在中，任取為任意數(shù)，都有所以是子空

32、間.類似地，可以證明也是子空間.但對，取都屬于而這表明對加法運算不封閉，故不是子空間. 4. 向量空間的基和維數(shù)的定義向量空間的一個向量組線性無關(guān)，且中每個向量都能由它線性表示，則稱它為向量空間的一個基.零空間沒有基，定義它為0維，否則，稱向量空間的基所含向量個數(shù)為該空間的維數(shù).設(shè)稱為在這組基下的坐標.例14向量空間為實數(shù)的維數(shù)為_.測試點 向量空間維數(shù)的概念解 容易看出 是的一個基。答案 例15證明向量組是的一組基，則向量在這組基下的坐標是_.測試點 向量在一組基下的坐標解 因為故線性無關(guān)，所以它是的一組基.考慮 該線性方程組的增廣矩陣為 得 所以在這組基下的坐標是（即）答案 .例16 求由

33、向量組生成的子空間的一個基，并說明該生成子空間的維數(shù).解析 顯然是的一個極大無關(guān)組，故是由向量組生成的子空間的一個基，所以該子空間的維數(shù)等于第四章 線性方程組一、線性方程組的三種表示方法 1. 2.，其中 .3 其中二、齊次線性方程組1齊次方程組有非零解的條件1）齊次方程組有非零解的充分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)（即矩陣的列數(shù)）.2）n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是.3)設(shè)是階矩陣.若，則齊次方程組必有非零解.(這是齊次方程組有非零解的充分條件但不必要)例1設(shè)為矩陣，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（）A的列向量組線性相關(guān)B的列向量組線性無關(guān)C的行向量組線性相關(guān)D的行向

34、量組線性無關(guān)測試點 齊次方程組有非零解與列向量組線性相關(guān)的關(guān)系.答案 A例2. 設(shè)是4×3矩陣，若齊次線性方程組只有零解，則矩陣的秩 _.測試點 1.齊次方程組只有零解的充分必要條件;2根據(jù)系數(shù)矩陣的階數(shù),確定方程的個數(shù)和未知數(shù)的個數(shù).解析 線性方程組的系數(shù)矩陣的行數(shù)等于方程的個數(shù)，列數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)因為是4×3矩陣，故方程組的未知數(shù)的個數(shù)，故方程組只有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩答案 例3.齊次線性方程組有非零解,則 .解析 有非零解而 故因為有非零解，則或答案 或 2. 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)1）齊次方程組解的性質(zhì)設(shè)都是的解，則也是的解(C1，C2為任意常數(shù))2）齊次方程

35、組的基礎(chǔ)解系的概念設(shè)是齊次方程組的一組解.如果它滿足：（1）線性無關(guān)；（2）的任何一個解都可以表示為的線性組合，則稱為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系.如果齊次方程組有非零解（即），則它有基礎(chǔ)解系.重要結(jié)論:齊次方程組的基礎(chǔ)解系含個線性無關(guān)的解；齊次方程組的任意個線性無關(guān)的解都構(gòu)成該齊次方程組的基礎(chǔ)解系；3）齊次方程組的基礎(chǔ)解系的求法例4 3元齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為 .測試點 齊次方程組的基礎(chǔ)解系 (定義;含幾個解向量;求法)解 因為齊次方程組的系數(shù)矩陣為的秩為,未知數(shù)的個數(shù)為,所以其基礎(chǔ)解系含個解.答案 例5已知是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系,則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以選用A. B.C.與

36、等秩的向量組D. 與等價的向量組測試點 1.齊次方程組的基礎(chǔ)解系 特別是若齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系含4個解,則它的任意4個線性無關(guān)的解都是它的基礎(chǔ)解系;2.判斷向量組線性無關(guān)的方法;3.等價的向量組有相等的秩;等價與等秩的區(qū)別4,齊次方程組解的性質(zhì).解 因為是齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系,故都是齊次方程組的解,因為與等價,故能由線性表示,故也都是的解.又因為線性無關(guān),所以該向量組的秩=4,又因為等價的向量組有相等的秩,所以的秩也等于4,所以也線性無關(guān).故也是的基礎(chǔ)解系. 所以 D正確.答案 D例6.設(shè)m×n矩陣的秩，是齊次線性方程組的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為（）AB C

37、D知識點 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的概念及所含解向量的個數(shù);向量組線性相關(guān)性的判別解 顯然A,B,C選項中的三個向量都是線性相關(guān)的,而齊次方程組的基礎(chǔ)解系應由線性無關(guān)的向量組組成.答案 D 3）齊次方程組的通解公式 如果是基礎(chǔ)解系，則它的通解為 ，其中為任意數(shù).例6求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解.測試點 求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解的方法解 取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為該齊次方程組的基礎(chǔ)解系,該齊次方程組的通解為 為任意數(shù))三非齊次方程組 1非齊次方程組解的性質(zhì)1）設(shè)都是的解，則是它的導出組的解.2）設(shè)都是的解，則當時，也是的解.3）設(shè)是的一個解，是它的導出組的解,則是的解.例7已知是

38、3元非齊次線性方程組的兩個解向量，則對應齊次線性方程組有一個非零解向量_.測試點 線性非齊次方程組解的性質(zhì) 解 答案 例8設(shè)齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解,則是方程組_的解。測試點 線性方程組解的性質(zhì)答案 2關(guān)于非齊次方程組解的討論定理 個未知數(shù)，個方程的線性方程組中，（系數(shù)矩陣是階矩陣）是增廣矩陣.則1）當且僅當（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組有惟一解；2）當且僅當（未知數(shù)的個數(shù)）時，方程組有無窮多解；3）當且僅當時，方程組無解.從以上定理可見1）線性方程組有解的充分必要條件是.2）當線性方程組，方程的個數(shù)未知數(shù)的個數(shù)時，該方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)行列式.例9已知某個3元非齊次

39、線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則的取值為_.測試點 1.增廣矩陣經(jīng)初等行變換變成,則以為增廣矩陣的線性方程組與原方程組通解; 2.非齊次方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相等的秩解 當時,故方程組無解.答案 .例10 如果非齊次線性方程組有解,則它有惟一解的充分必要條件是其導出組 .解 非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是未知數(shù)的個數(shù)，而它恰是其導出組只有零解,沒有非零解的充要條件.答案 只有零解. 3.非齊次方程組的通解的結(jié)構(gòu)其中是方程的一個特解，為系數(shù)矩陣的秩，為它的導出組（與它對應的）齊次方程組的基礎(chǔ)解系.例10設(shè)3元非齊次線性方程組的兩個解為，且

40、系數(shù)矩陣的秩，則對于任意常數(shù) 方程組的通解可表為（） 測試點 1.非齊次線性方程組的通解的公式;2.非齊次方程組解的性質(zhì)3.齊次方程組的基礎(chǔ)解系的概念解 因為都是非齊次方程組的解，故是它的導出組的解，又因為為3元方程組，故它的基礎(chǔ)解系含一個解，即它的任何一個非零解都是它的基礎(chǔ)解系，故就是它的基礎(chǔ)解系，又是非齊次方程組的解，所以為的通解. 答案 C例11設(shè)3元非齊次線性方程組(1) 試判定當為何值時,方程組有無窮多個解?(2) 當方程組有無窮多解時,求出其通解(要求用它的一個特解和它導出組的基礎(chǔ)解系表示).測試點 線性方程組的討論解所以 當即時,方程組無解;當 即 時方程組有惟一解;當 即時,方

41、程組有無窮多解.這時取為約束未知數(shù),為自由未知數(shù),取為方程組的特解,為其導出組的基礎(chǔ)解系.故方程組的通解為 .例12 設(shè)向量可以由向量組線性表示,則數(shù)應滿足的條件是A. B. C. D.解析 考察方程,其增廣矩陣為 故方程組有解時,必有答案 C第五章 特征值與特征向量一、特征值與特征向量 1特征值與特征向量的定義要點：是n階方陣的特征值，是指存在非零列向量，使得.這時，稱為矩陣屬于特征值的特征向量.由此知，是n階方陣的特征值，這時，齊次方程組的非零解都是矩陣屬于特征值的特征向量.例1 設(shè)為3階矩陣,為3階單位陣,若行列式,則的一個特征值為 【 】A. B. C. D. 測試點 為的特征值的充分

42、必要條件是.解 因為,故所以必有一個特征值為.答案 B例2 已知矩陣的一個特征值為，則 _.測試點 為的特征值的充分必要條件是.解 為矩陣的一個特征值故.答案 例3 設(shè)3階矩陣的每行元素之和均為2,則必有一個特征值為 .測試點1.特征值的定義 2. 解 因為3階矩陣的每行元素之和均為2, 所以必有一個特征值為.答案 例4設(shè)矩陣，則的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是（）ABCD解 的特征值為，當時，所以，故的基礎(chǔ)解系只含一個解，這表明只有一個屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，故的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是.答案 C 2關(guān)于特征值、特征向量的性質(zhì)1）與有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；2）設(shè)都是矩

43、陣屬于特征值的特征向量，是數(shù)，只要，則也是矩陣屬于特征值的特征向量；3) 設(shè)階方陣的個特征值為,則(2).4）矩陣屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān);5）設(shè)是矩陣屬于特征值的特征向量，則是矩陣屬于特征值的特征向量，其中.6)設(shè)是可逆矩陣的特征值.則，且是矩陣的特征值.3特征值、特征向量的求法例5設(shè)階矩陣有一個特征值為,對于階單位矩陣,矩陣必有一個特征值為 .解 ,則,因為有一個特征值為,故必有一個特征值為例6設(shè)為n階可逆矩陣，已知有一個特征值為，則必有一個特征值為_.測試點 若 為可逆矩陣的一個特征值，則為矩陣的特征值.解 因為有一個特征值為，故有一個特征值為,所以必有一個特征值為.答案 .例7

44、 已知是n階矩陣，且滿足方程,證明的特征值只能是或.測試點 設(shè)為的特征值，則為矩陣的特征值.矩陣的所有特征值均為0.證 設(shè)為的特征值，則必為的特征值，又因為，故，故必有或.證畢二、相似矩陣 1.相似矩陣的定義 設(shè)都是階方陣，如果存在可逆陣使得，則稱與相似.2. 相似矩陣的性質(zhì)1)反身性，對稱性，傳遞性；2）若方陣與相似，則與有相同的特征值，（但不一定有相同的特征向量）進而，且,其中表示矩陣的跡，即,為方陣的n個特征值；注意：反之，若與有相同的特征值，與不一定相似；例如有相同的特征值，但與不相似.例8 設(shè)3階矩陣與相似,且已知的特征值為則矩陣的跡 【 】A. 3 B. 2 C.1 D.0測試點1. 相似矩陣的特征值相同;從而其跡和行列式也相同；2.矩陣的特征值與該矩陣的跡和行列式的關(guān)系.解 由已知的特征值也為故的跡答案 A例9 設(shè)3階矩陣與相似，且已知的特征值為. 則=（）ABC7D12測試點 (1) 相似矩陣的特征值相