1、19 9. .3 3圓的方程圓的方程-2-知識梳理雙基自測21自測點評1.圓的定義和圓的方程 定點 定長 D2+E2-4F0 -3-知識梳理雙基自測自測點評212.點與圓的位置關系平面上的一點M(x0,y0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2之間存在著下列關系:(1)drM在圓外,即(x0-a)2+(y0-b)2r2M在;(2)d=rM在圓上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2M在;(3)drM在圓內,即(x0-a)2+(y0-b)22. 答案解析關閉D-7-知識梳理雙基自測自測點評234154.(2017湖南邵陽一模)已知點A(-1,4),B(3,-2),則以AB為直徑的圓的標準方

2、程為. 答案解析解析關閉以AB為直徑的圓的方程為(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得(x-1)2+(y-1)2=13. 答案解析關閉(x-1)2+(y-1)2=13-8-知識梳理雙基自測自測點評234155.圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長為2 ,則圓C的標準方程為. 答案解析解析關閉 答案解析關閉-9-知識梳理雙基自測自測點評1.求圓的標準方程,一定要抓住圓的圓心和半徑兩個核心要素.2.配方法在圓的一般方程化為標準方程時起關鍵作用,因此要熟練掌握.3.求軌跡方程時,一定要結合已知條件進行檢驗,以防漏解或增解.-10-考點1考點2考點3例

3、1(1)已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為()A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2(2)經過P(-2,4),Q(3,-1)兩點,且在x軸上截得的弦長等于6的圓的方程為.思考求圓的方程有哪些常見方法?答案: (1)B(2)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0 -11-考點1考點2考點3解析: (1)(方法一)設出圓心坐標,根據該圓與兩條直線都相切列方程即可.即|a|=|a-2|,解得a=1,故圓C的方程為(x-1)2+(y

4、+1)2=2.(方法二)題目給出的圓的兩條切線是平行線,故圓的直徑就是這兩條平行線之間的距離 ;圓心是直線x+y=0被這兩條平行線所截線段的中點,直線x+y=0與直線x-y=0的交點坐標是(0,0),與直線x-y-4=0的交點坐標是(2,-2),故所求圓的圓心坐標是(1,-1),所求圓C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.-12-考點1考點2考點3(方法三)作為選擇題也可以驗證解答.圓心在x+y=0上,排除選項C,D,再驗證選項A,B中圓心到兩直線的距離是否等于半徑2即可.(2)設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將P,Q兩點的坐標分別代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.設x1

5、,x2是方程的兩根,由|x1-x2|=6可得D2-4F=36,由解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.-13-考點1考點2考點3解題心得求圓的方程時,應根據條件選用合適的圓的方程.一般來說,求圓的方程有兩種方法:(1)幾何法,通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.確定圓的方程時,常用到的圓的三個性質:圓心在過切點且垂直切線的直線上;圓心在任一弦的中垂線上;兩圓內切或外切時,切點與兩圓圓心共線;(2)代數法,即設出圓的方程,用待定系數法求解.-14-考點1考點2考點3對點訓練對點訓練1(1)過點A

6、(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點B(2,1),則圓C的方程為.(2)(2017河南百校聯盟)經過點A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程為.答案: (1)(x-3)2+y2=2(2)(x-2)2+(y-1)2=10 -15-考點1考點2考點3-16-考點1考點2考點3-17-考點1考點2考點3-18-考點1考點2考點3 解 (1)設P(x,y),圓P的半徑為r,則y2+2=r2,x2+3=r2.故y2+2=x2+3,即y2-x2=1.故點P的軌跡方程為y2-x2=1.(2)設P的坐標為(x0,y0),因此圓P的方程為x2+(y-1)2=3;-19-考

7、點1考點2考點3當y0=x0-1時,因此圓P的方程為x2+(y+1)2=3.綜上所述,圓P的方程為x2+(y1)2=3.-20-考點1考點2考點3解題心得1.求與圓有關的軌跡問題時,根據題設條件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根據題目提供的條件列出方程;(2)定義法,根據圓、直線等定義列方程;(3)幾何法,利用圓的幾何性質列方程;(4)代入法,找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式等.2.求與圓有關的軌跡問題時,題目的設問有兩種常見形式,作答也應不同.若求軌跡方程,則把方程求出化簡即可;若求軌跡,則必須根據軌跡方程,指出軌跡是什么曲線.-21-考點1考點2考點3對點訓練對點訓

8、練2已知點A(-1,0),點B(2,0),動點C滿足|AC|=|AB|,則點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程為.-22-考點1考點2考點3-23-考點1考點2考點3-24-考點1考點2考點3考向二截距型最值問題例4在例3的條件下求y-x的最大值和最小值.思考如何求解形如ax+by的最值問題?-25-考點1考點2考點3-26-考點1考點2考點3考向三距離型最值問題例5在例3的條件下求x2+y2的最大值和最小值.思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題?解 如圖所示,x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小

9、值.-27-考點1考點2考點3考向四建立目標函數求最值問題例6設圓x2+y2=2的切線l與x軸正半軸,y軸正半軸分別交于點A,B,當|AB|取最小值時,切線l的方程為.思考如何借助圓的幾何性質求有關線段長的最值?答案: x+y-2=0 -28-考點1考點2考點3-29-考點1考點2考點3解題心得求解與圓有關的最值問題的兩大規律:(1)借助幾何性質求最值形如 的最值問題,可轉化為定點(a,b)與圓上的動點(x,y)的斜率的最值問題;形如t=ax+by的最值問題,可轉化為動直線的截距的最值問題;形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.(2)建立函數關

10、系式求最值根據題目條件列出關于所求目標式子的函數解析式,然后根據關系式的特征選用參數法、配方法、判別式法等,利用基本不等式求最值是比較常用的.-30-考點1考點2考點3(2)已知實數x,y滿足(x-2)2+(y+1)2=1,則2x-y的最大值為,最小值為.(3)已知P(x,y)在圓C:(x-1)2+(y-1)2=1上移動,則x2+y2的最小值為.(4)設P為直線3x-4y+11=0上的動點,過點P作圓C:x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線,切點分別為A,B,則四邊形PACB的面積的最小值為.-31-考點1考點2考點3-32-考點1考點2考點3-33-考點1考點2考點3求半徑常有以下方法:(1)若已知直線與圓相切,則圓心到切點(或切線)的距離等于半徑;(2)若已知弦長、弦心距、半徑,則可利用弦長的一半、弦心距、半徑三者滿足勾股定理的關系求得.-34-考點1考點2考點31.求圓的方程需要三個獨立條件,因此不論選用哪種形式的圓的方程都要列出三個獨立的關系式.2.解答與圓有關的最值問題一般要結合代數式的幾何意義進行,注意數形結合,充分運用圓的性質.3.解決與圓有關的軌跡問題,一定要看清要求,是求軌跡方程還是求軌跡.-35-易錯警示軌跡問題易忘記特殊點的檢