1、3.2 3.2 圓的對稱性圓的對稱性O O九年級數學九年級數學(下下)第三章第三章 圓圓定義一：定義一： 在同一平面內，線段在同一平面內，線段OA繞它固定的一個端點繞它固定的一個端點O旋轉旋轉一周，另一個端點一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫隨之旋轉所形成的圖形叫圓圓。固定的端點固定的端點O叫做叫做圓心圓心，線段，線段OA叫做叫做半徑半徑。、從運動和集合的觀點理解圓的定義：、從運動和集合的觀點理解圓的定義：定義二：定義二：圓圓是到定點的距離等于定長的點的集合。是到定點的距離等于定長的點的集合。、證明幾個點在同一個圓上的方法。、證明幾個點在同一個圓上的方法。 要證明幾個點在同一個圓上，只要

2、證明這幾個點要證明幾個點在同一個圓上，只要證明這幾個點與一個定點的距離相等。與一個定點的距離相等。、點與圓的位置關系：、點與圓的位置關系：設設 的半徑為的半徑為r，則點，則點P與與 O的位置關系有：的位置關系有：（）點在（）點在 上上 r（）點在（）點在 內內 r（）點在（）點在 外外 r知知識識回回顧顧復習提問：復習提問：1 1、什么是軸對稱圖形？我們在學過、什么是軸對稱圖形？我們在學過哪些軸對稱圖形？哪些軸對稱圖形？如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形。如線段、角、等腰三

3、角形、矩形、菱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形形、等腰梯形、正方形2 2、我們所學的圓是不是軸對、我們所學的圓是不是軸對稱圖形呢？稱圖形呢？.圓的對稱性圓的對稱性圓是軸對稱圖形嗎？圓是軸對稱圖形嗎？ 如果是如果是,它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么?你能找到多少條你能找到多少條對稱軸？對稱軸？O你是用什么方法解決上述問題的你是用什么方法解決上述問題的?圓是中心對稱圖形嗎？圓是中心對稱圖形嗎？ 如果是如果是,它的對稱中心是什么它的對稱中心是什么?你能你能找到多少個對稱中心？找到多少個對稱中心？你又是用什么方法解決這個問題的你又是用什么方法解決這個問題的? 想一想想一想圓是

4、軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. .想一想想一想 圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線, ,它有無數條對稱軸它有無數條對稱軸. .O O可利用折疊的方法即可解決上述問題可利用折疊的方法即可解決上述問題. .圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形. .它的對稱中心就是圓心它的對稱中心就是圓心. .用旋轉的方法即可解決這個問題用旋轉的方法即可解決這個問題. .圓的對稱性圓的對稱性猜一猜猜一猜 請同學們觀察屏幕上兩個半徑相等的圓。請回答：請同學們觀察屏幕上兩個半徑相等的圓。請回答： 它們能重合嗎？如果能重合，請將它們的圓心固定它們能重合嗎？如果能重合，請將它們的圓心固定在一起

5、。在一起。 O然后將其中一個圓旋轉任意一個角度，這時兩個然后將其中一個圓旋轉任意一個角度，這時兩個圓還重合嗎圓還重合嗎 ?O歸納歸納 ：圓具有旋轉不變性圓具有旋轉不變性, ,即一個圓繞著它的即一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圓重合。因此圓重合。因此, ,圓是中心對稱圓形，對圓是中心對稱圓形，對稱中心為圓心稱中心為圓心。圓的中心對稱性是其旋。圓的中心對稱性是其旋轉不變性的特例轉不變性的特例. .ABCDOAOBCODAOCBOD我們把我們把頂點頂點在在圓心圓心的的角叫做角叫做圓心角圓心角. 圓心角的概念圓心角的概念判別下列各圖中的角是不是圓心角，

6、并說明理由。判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。做一做做一做按下面的步驟做一做按下面的步驟做一做1、利用手中已準備的兩張半徑相等的透明圓膠片，在、利用手中已準備的兩張半徑相等的透明圓膠片，在 O 和和 O上分別作相等的圓心角上分別作相等的圓心角 A O B和和AOB,然后將兩圓然后將兩圓的圓心固定在一起。的圓心固定在一起。2、將其中的一個圓旋轉一個角度，使得、將其中的一個圓旋轉一個角度，使得O A與與OA重合。重合。ABOABOOABAB定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。的弦相等。 想一想想一想1 1、在同

7、圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它、在同圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎? ?你是怎么想的？你是怎么想的？2 2、在同圓或等到圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓、在同圓或等到圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等嗎？它們所對的弧相等嗎？你是怎么想的？心角相等嗎？它們所對的弧相等嗎？你是怎么想的？ABOABOABOBAO(1) O 和和 O是等圓是等圓,且且A O B= AOBA B=AB，A B= AB.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角

8、所對的弧相等，所對的弦相等。所對的弦相等。 O 和和 O是等圓是等圓,且且 A B= AB, A B=AB， A O B= AOB.(2) O 和和 O是等圓是等圓,且且A B= AB, A B=AB， A O B=AOB(3)在同圓或等圓中，如果兩個圓心在同圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它們所對角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等的弦相等,所對的圓心角相等所對的圓心角相等.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等圓心角相等,它們所對的弧相等它們所對的弧相等.定理：在同圓或等圓中，如果兩個定理：在同圓或等圓中，如果兩個

9、圓心角圓心角、兩、兩 條條弧弧、兩條、兩條弦弦中有一組量相等，那么它中有一組量相等，那么它 們所對應的其余各組量都分別相等。們所對應的其余各組量都分別相等。ABOBAO 1 1、如圖，、如圖，ABAB、CDCD是是OO的兩條弦，的兩條弦，OEOE、OFOF為為ABAB、CDCD的弦心距的弦心距（1 1）如果）如果AB=CDAB=CD，那么，那么_，_， （2 2）如果）如果 ，那么，那么_，_， （3 3）如果）如果AOB=CODAOB=COD，那么，那么_，_ ,_ , （4 4）如果）如果OE=OFOE=OF，那么，那么_，_， CABDEFOOE=OFOE=OFAB= CDAB= CD

10、AB= CDAB= CD AB=CDAB=CDAB=CDAB=CDAB= CDAB= CD AB= CDAB= CD AB=CDAB=CDOE=OFOE=OFOE=OFOE=OFAOB=CODAOB=CODAOB=CODAOB=CODAOB=CODAOB=COD練習練習證明：證明：AB=ACAB=AC又又ACB=60ACB=60AB=BC=CAAB=BC=CA. .AOBAOBBOCBOCAOCAOC. .AB BCO例例1 1、如圖、如圖, , 在在OO中，中， , ACB=60, ACB=60. .求證：求證：AOB=BOC=AOC.AOB=BOC=AOC.AB= CDAB= CD AB=

11、 CDAB= CD 例題例題AOBCDE解：解：2 2、如圖，、如圖，ABAB是是O O 的直徑，的直徑，BC=CD=DEBC=CD=DE，COD=35COD=35，求求AOE AOE 的度數的度數 BC=CD=DE BC=CD=DE BOD=COD=DOE=35 BOD=COD=DOE=35 AOE=180 AOE=180-3-33535 =75 =75練習練習 BEODAC例例2：（數學理解：（數學理解2）如圖，在如圖，在 O中，中，AB，CD是兩是兩條弦，條弦，OEAB，OFCD,重重足分別為足分別為E，F。CAFBEOD如果如果AOB=COD，那么，那么OE與與OF的大小的大小有什么關

12、系？為什么？有什么關系？為什么？如果如果OE=OF那么那么AB與與CD的大小有什么關的大小有什么關系？為什么？系？為什么？ AOB與與 COD呢？呢？解：解：OE=OF，理由是：理由是：OEAB，OFCD，OA=OB，OC=OD，OEB=OFD=90,EOB= AOB,FOD= CODAOB=COD，EOB=FOD，在在EOB和和FOD中，中，OEBOFD,EOBFOD , OBOD EOB FOD（AAS）OE=OF如圖，在如圖，在 O中，中，AB，CD是兩條弦，是兩條弦，OEAB，OFCD,重足分別為重足分別為E，F。CAFBEOD如果如果AOB=COD，那么，那么OE與與OF的的大小有什

13、么關系？為什么？大小有什么關系？為什么？2121例例2：（數學理解：（數學理解2）解：解：AB=CD，AB=CD，AOB=COD，理由是：理由是：OEAB，OFCDOEB=OFD=90在在RtBEO和和RtDFO中，中，OBOD,OEOF RtBEO RtDFO（HL）BE=DF，由垂徑定理得：由垂徑定理得：AB=2BE，CD=2DF，AB=CD，AB=CD，AOB=COD 如圖，在如圖，在 O中，中，AB，CD是兩條弦，是兩條弦，OEAB，OFCD,重足分別為重足分別為E，F。CAFBEOD如果如果OE=OF那么那么AB與與CD的大小有什的大小有什么關系？么關系？ AB與與CD的大小有什么關

14、系？的大小有什么關系？為什么？為什么？ AOB與與 COD呢？呢？例例2：（數學理解：（數學理解2）隨堂練習隨堂練習2.利用一個圓及其若干條弦分別設計出符合條件的圖案：利用一個圓及其若干條弦分別設計出符合條件的圖案：（1）是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形）是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形（2）是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形）是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形（3）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形）既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形隨堂練習隨堂練習OA BC知識技能知識技能1.如圖，如圖，A、B、C、D是是 O上的四點，上的四點，AB=DC，ABC與與DCB全等嗎？為什么？全等嗎？為什么？OBADC數學理解數學理解OA BCD練習練習1. 如圖如圖, O中，中，ABCD. （1）求證：）求證： AOC = BOD （2）求證：）求證：AC=BDODCAB你能得出什么結論？你能得出什么結論？在同一個圓中，在同一個圓中，兩條平行弦所夾的弦相等，所夾的弧相等。兩條平行弦所夾的弦相等，所夾的弧相等。211.1.圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形. . 圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線, ,它有無數條對稱軸它有無數條對稱軸. .2.2.圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形