1、 基于數學史應用的一節高中導數教學設計摘要：導數的概念與應用的教學中，有些概念及方法不好解釋，老師往往強加給學生，學生就產生了想當然的認識，不利于學生創新意識和數學素養的培養，而數學史的應用再現了知識的產生、發展過程，從而充分調動學生思考的積極性，使學生在學習新知識的同時，感受到數學所蘊含的豐富的哲學思想。關鍵詞：數學素養；數學史；變化率；導數數學史在數學教育中有著重要的地位，它在幫助學生理解新知識、新概念，掌握新方法等方面，有著很大的作用，同時在培養數學素養，感受數學精神，養成良好的習慣方面能起到很好的促進作用。本文通過導數概念的引入教學，從一個側面反映出數學史在高中數學教學中的地位及作用，

2、以求拋磚引玉。一、數學史在高中數學教學中具有突出的重要性與必要性課程標準明確提出：“讓學生經歷知識的產生、發展過程，感受數學的內涵與本質?！逼鸪跤X得執行起來非常困難，也沒太大必要。隨著經驗的積累，筆者的這種想法發生了改變。學習科學能給人以力量，讓人們受到鼓舞，獲得信念與勇氣，然而只是簡單而粗糙地“告訴”學生這些科學，顯然與新課程標準的精神不相符合。因此，讓學生經歷這些理論的形成的過程不僅能讓學生獲得科學知識，更重要的是讓學生在學習過程中受到啟發，培養勤于思考，勇于創新的能力，不斷提高數學素養。實踐中，筆者大膽引入了數學史的教學。下面是筆者對該節課的教學設計，節選了其中的教學過程部分。二、導數概

3、念的背景及產生過程（一）教學設想遵循“創設問題情景提出問題分析問題解決問題”的原則。（1）通過具體實例分析，讓學生經歷用變化率刻畫變化的快慢，從平均變化率到瞬時變化率的認識過程，進而給出導數概念和導數的幾何意義。（2）通過導數概念的形成過程，理解生活中數學概念的基本發展過程，初步學會用極限的思想分析并解決問題。（3）分析生活中的各種現象最后將其統一為數學中的導數概念過程，認識到數學與生活的聯系和數學在實用性方面的巨大力量，進而對數學中蘊涵的理性美產生發自內心的欣賞情感。（二）教學過程平均變化率瞬時變化率導數。1.平均變化率的再認識通過教材中的實例分析，讓學生理解平均速度可以刻畫物體一段時間的運

4、動快慢，并結合相應的圖像，體會圖像的“陡”“坡”與平均變化率的關系，最后抽象概括出平均變化率的一般數學概念：yf（x1）-f（x0）f（x0+x）-f（x0）xx1-x0x，其中 x=x1-x02.瞬時變化率的認識一方面，讓大家理解瞬時速度的產生過程，另一方面，讓大家理解切線斜率的產生過程，而這兩方面正是牛頓與萊布尼茲的研究過程。問題1：前面我們已經明白平均速度可以刻畫物體一段時間內的運動快慢，那么在一點處的速度如何刻畫呢？我選擇了一個較為簡單的例子：若一物體運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數關系為：s=t2，試估計t=5s這個時刻的瞬時速度。學生經過一段時間的思考與分組討論后，

5、我介紹了相應的數學史：因為瞬時的速度很難測量，直到牛頓的發現，這一難題才得到解決。大家想不想知道牛頓是怎樣思考的呢？能否用平均速度近似代替瞬時速度？如果可以，以怎樣一個平均速度代替較好的呢？我選擇了510s的平均速度，=15m/s，此時的誤差難以避免，但是能不能減少誤差呢？剛才我選擇的區間較大，能不能縮小些呢？大家在我的引導下，選擇56s的平均速度，=11m/s，誤差縮小了，能不能再減少誤差呢？大家發現隨著區間的不斷縮小，所得平均速度分別為10.1，10.01,10.001,10.0001，越來越接近一個確定的常數10，到底5s處的瞬時速度為多少？很多同學說，近似為10m/s，大約是10m/s

6、。我又問大家什么是大約10m/s，10.1叫大約，10.01也叫大約，10.001還叫大約，可見這種說法還不夠科學準確。我告訴大家，如果當初牛頓只停留在無休止的運算當中，就永遠也得不到偉大的結果，而只是停留在無休止的量變過程中。其實要完成從量變到質變的飛躍，只需跨出那小小的一步，我們共同想想：如何跨出那小小的一步，完成由量的改變到質的飛躍？那么在5s處的瞬時速度到底是多少呢？“10m/s，不多不少剛剛好。”大家較為整齊地回答?？雌饋泶蠹液孟衩靼琢艘恍?，但還是有疑惑，我就鼓勵大家：人類經歷這一過程花去了幾百年的時間，而現在讓大家用十幾分鐘的時間來理解確實很困難，隨著時間的推移，大家的知識不斷積累

7、，會慢慢明白這一道理的，而后來恩格斯評價這一飛躍時稱：“這是人類精神上的最高勝利?！眴栴}2：如圖，p（xo，yo）是f（x）=x2+1圖象上一點，那么如何求該圖象在p（xo，yo）處的切線的斜率呢？在x0過程中，割線ab的變化情況你能描述一下嗎？請在函數圖象中畫出來。引導學生觀察：類比數、形的變化：x0， b（x0+x，f（x0+x）a（x0，f（x0），當x0，割線ab有一個無限趨近的確定位置（演示動畫），這個確定位置上的直線叫曲線在x=x0處的切線，請把它畫出來。x0，割線ab切線ad，則割線ab的斜率切線ad的斜率有了前面的基礎，大家理解起來簡單容易得多，但同時也發現兩個過程中具有相似之

8、處，就是用無限逼近的思想，完成了由量變到質變的過程。問題3：運用上面的方法求瞬時速度和切線斜率顯然太過復雜，能否簡化解題步驟呢？這樣的問題是為了下節課導數的運算法則提供知識和思維的準備。最后我讓大家談談本節課的體會和收獲，很多同學都談到了收獲知識的同時，感受到科學發現不僅需要勤奮不懈，更需要巨大的膽識與異于常人的勇氣。三、課后評價與反思本節課在整個教學設計過程中始終圍繞一個主題探究前人偉大發現的足跡，再現當年歷史。在教學過程中，讓同學們感受到數學歷史的發展，以及蘊涵在數學中深刻而豐富的哲學思想。通過這節課的學習，給學生以鼓舞與信心，促使他們達到端正學習態度的目的。數學史在教學中的應用在高中階段可以說無處不在，除了導數與積分外，像指數函數與對數函數、數列、簡單線性規劃等，都與數學史息息相關。在平時的教學教研活動中，教師如果能進一步探討