1、.體能測試時間安排摘要：本問題屬于優(yōu)化問題，要求我們從學(xué)校管理人員出發(fā)，在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間為目標(biāo)，制定5個體能測試項目的最優(yōu)測試安排和班級的最優(yōu)測試時刻表。首先，根據(jù)模糊數(shù)學(xué)理論與同一時間內(nèi)五項測試所能夠測試人數(shù)比相結(jié)合，確定了20人一組的測試方案，具體安排見表1。五項測試中臺階試驗測試的平均速度最慢，為保證時間段盡可能的少，應(yīng)該使臺階試驗儀器在每個時間段內(nèi)連續(xù)工作而不間歇，確定了在三天上午的三個時間段內(nèi)完成所有測試的可行性。最終排出了在同一班級學(xué)生同時進測試室，并且學(xué)生等待時間盡可能少的條件下的各班級測試時間安排表（見表3）。此外，建立了學(xué)生測試平均等

2、待時間=的數(shù)學(xué)模型。從而近似得出學(xué)生測試平均等待時間為306秒。隨后，從各項測試儀器的數(shù)量、同一班級學(xué)生人數(shù)分組情況以及測試室人員容量三個方面對已建模型進行綜合分析，給出了滿足學(xué)校要求的、更加科學(xué)合理的改進方案。關(guān)鍵詞：模糊數(shù)學(xué) 優(yōu)化 綜合分析 平均等待時間一、問題重述某校按照教學(xué)計劃安排各班學(xué)生進行體能測試，以了解學(xué)生的身體狀況。測試包括身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力和臺階測試共5個項目，均由電子儀器自動測量、記錄并保存信息。該校引進身高與體重測量儀器3臺，立定跳遠、肺活量測量儀器各1臺，握力和臺階試驗測量儀器各2臺。身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力4個項目每臺儀器每個學(xué)生的平均測試（

3、包括學(xué)生的轉(zhuǎn)換）時間分別為10秒、20秒、20秒、15秒，臺階試驗每臺儀器一次測試5個學(xué)生，需要3分30秒。每個學(xué)生測試每個項目前要錄入個人信息，即學(xué)號，平均需時5秒。儀器在每個學(xué)生測量完畢后學(xué)號將自動后移一位，于是如果前后測試的學(xué)生學(xué)號相連，就可以省去錄入時間，而同一班學(xué)生的學(xué)號是相連的。學(xué)校安排每天的測試時間為8:00-12:10與13：30-16:45兩個時間段。5項測試都在最多容納150個學(xué)生的小型場所進行，測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的各班人數(shù)見附表。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試，并且在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間。

4、要求用數(shù)學(xué)符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學(xué)問題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測試時間的安排計劃，并且說明該計劃怎樣滿足學(xué)校的上述要求和條件。最后，請對學(xué)校以后的體能測試就以下方面提出建議，并說明理由：如引進各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學(xué)生是否需要分成幾個組進行測試等。附表 參加體能測試的各班人數(shù)班號123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號161718192021222324252627282930人數(shù)44203039353838282530362024323

5、3班號313233343536373839404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號4647484950515253545556人數(shù)4243414245421939751717二、模型假設(shè)1) 規(guī)定每個班的所有學(xué)生同時進入測試場所，但不要求同時離場，每個學(xué)生測完所有項目后就立即離開。2) 所有的儀器在測試過程中都不會出現(xiàn)故障，能時刻保證正常運行。3) 每個班的所有學(xué)生在測試前不在會場，在測試開始時全部準(zhǔn)時到達會場。4) 所有同學(xué)在測試時均無缺席，測試過程正常，不受任何因素干擾。5) 前后兩組同學(xué)在測試交接時完美銜接。三、符號說明1) n表示測試

6、學(xué)生人數(shù)。2) T表示第i個學(xué)生測完五項測試的時刻（i=1,2,n）。3) T表示第i個學(xué)生進入測試室的時刻。四、問題分析本題要求在一天兩個固定的時間段內(nèi)安排全校56個班在可容納150人的場所進行體能測試，同一班所有學(xué)生在同一時間段內(nèi)完成所有測試，并在所需時間段數(shù)最少時盡量節(jié)約學(xué)生的等待時間。測試內(nèi)容為5個項目，每個學(xué)生測試每個項目前需要5秒錄入學(xué)號，由于學(xué)號可自動后移一位，故同一班學(xué)生應(yīng)盡量按相連學(xué)號順序進行測試以減少錄入時間。各個項目所需時間不同，若不考慮錄入時間,則在420秒內(nèi)身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力測試、臺階試驗五種測試可分別測試學(xué)生126人、21人、21人、56人、20人。

7、即根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的思想可近似認為，相同時間內(nèi)五種測試儀器可測人數(shù)比為6:1:1:2:1。為了使學(xué)生等待時間盡量少，應(yīng)選擇分組測試的方式，且每組人數(shù)的多少決定了學(xué)生的等待時間。因為臺階試驗用時最長，故在所需時間段最少的前提下應(yīng)保證臺階試驗不間斷。因此，任何測試時刻都應(yīng)保證有10個學(xué)生在進行臺階試驗。經(jīng)分析，為了更好的安排，可以在10人進行臺階測試的同時也安排10人進行其他4項的測試，且這10人測試完其他4項的各項用時最多不應(yīng)超過215秒，這樣10人臺階測試完成后可立即與測試另4項的10人交換測試項目，這樣學(xué)生的等待時間較少。之所以沒有選擇30人一組或40人一組，是因為每組人數(shù)較少時可以減少學(xué)生的等

8、待時間。因此要安排出以20人為一組的測試時間安排表。要求測試時間段數(shù)最少，那么同一時間段內(nèi)要安排盡可能多的班級進行測試，同時要保證用時最長的臺階試驗儀器不間斷地工作。經(jīng)計算，56個班級共2036個學(xué)生，每天上午最多可以測試人數(shù)m滿足，故可以在三個上午使所有學(xué)生測完。五、模型的建立與求解根據(jù)問題分析，在考慮同一班所有學(xué)生在同一時間段內(nèi)完成所有測試，并在所需時間段數(shù)最少時盡量節(jié)約學(xué)生的等待時間的條件下，選擇20人一組的測試方式相對較好。將此20人再分為A、B兩個小組，一小組10個人。先讓10人進行臺階測試，同時另外10人進行其他四項測試，共用時215秒（具體測試安排見表1）。之后，A、B兩個小組交

9、替測試，20人測完共用430秒。表1時刻測試項目身高與體重立定跳遠肺活量握力臺階試驗011、13、15錄入17錄入19錄入18、20錄入1至10錄入511、13、15測試17測試19測試18、20測試1至10測試1512、14、16測試2517、19錄入18測試20測試11、14錄入3017、19測試11、14測試4518、20測試19測試11錄入12、15測試5011測試6013、16測試6520測試7012測試7517、19錄入8017、19測試8511錄入9011測試13測試9517、19完成10011012測試14測試12013013測試15測試15014測試16測試17015測試17

10、測試19016測試18測試21016完成18完成2151至10完成由表1可知，在20人測試完全結(jié)束之前，各編號學(xué)生可提前離開的時間見表2：表2測試的序號10912345、76、8其他提前離開測試室的時間/秒1301201058565452550將20人一組的測試中所有錄入時間平均到每個學(xué)生，得t=12.5 秒每個學(xué)生與儀器的接觸時間t=10+20+20+15+210+ t=287.5 秒每個學(xué)生的等待時間T=T-T-t則學(xué)生平均等待時間為=由此可知，上述20人一組的測試，學(xué)生平均等待時間為=107 秒如果要使等待時間最省且同一班的學(xué)生必須同時進入會場，對于人數(shù)是20的整數(shù)倍的班級先排在前面，且

11、一次可以進去一個。對于排在后面非20整數(shù)倍的班級，在前一個班級剩余人數(shù)不足20時開始進入，既不影響前一個班級的測試，也不使自身過早進入測試室造成等待時間增加。為了盡量減少學(xué)生的平均等待時間，人數(shù)超過20且除以20后的剩余人數(shù)盡量少的班級先進。各個班級的具體進入測試室的時間安排見表3。 對于56個班級所有學(xué)生的平均等待時間，根據(jù)模糊數(shù)學(xué)理論與公式=，處理得=306 秒表3時間進入測試室的班級編號第一天上午第二天上午第三天上午8時00分00秒424888時07分10秒98時14分20秒152178時21分30秒44278時28分40秒19358時35分50秒18368時43分00秒31518時50

12、分10秒458時57分20秒34309時04分30秒25129時11分40秒79時18分50秒54439時26分00秒1059時40分20秒4124569時47分30秒139時54分40秒214710時01分50秒1410時09分00秒465510時16分10秒291510時23分20秒222310時30分30秒5010時37分40秒49410時52分00秒39403311時06分20秒3113711時20分40秒2661611時35分00秒2533211時49分20秒203828六、模型評價與改進以上模型綜合考慮了同一班的所有學(xué)生在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試，在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間。但這并不是本問題的最優(yōu)化結(jié)果，我們可以從以下幾個方面對原有模型進一步優(yōu)化。1. 從各項測量儀器的數(shù)量分析根據(jù)相同時間內(nèi)五種測試儀器可測人數(shù)近似比6:1:1:2:1，以及表1的測試時間安排，知立定跳遠、肺活量、臺階測試三種儀器數(shù)量較少，身高與體重測試儀器數(shù)量偏多。因此，可以減少一臺身高與體重測試儀器，增加立定跳遠、肺活量、臺階測試三種儀器各一臺。這樣可以減少儀器的閑置時間，充分利用儀器，減少測試總時間。2. 從分組情況分析從表3