1、1第二章 3 立方根講解與例題驀礎(chǔ)知陶H超凍.耙厳性j(; H -T X Jf F J J J f JP K.% J X K I% tJ1立方根的概念及表示方法(1) 立方根的概 念：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即x3=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立. .3. . .3327 一3 方根(也叫做二次方根).如 2 = 8，那么 2 就叫做 8 的立方根，由于 一乙=，所以一-28 227叫做一 ；的立方根.8(2) 立方根的表示方法：a的立方根可表示為習(xí)a”，讀作三次根號a”，其中3”是根指數(shù)，“a”是被開方數(shù)要注意，這里的根指數(shù)“一 3”不能省略例如：2 的立方根可3表示為 A,；2.哦，判斷一

2、個(gè)數(shù)x是不是某數(shù)a的立方根，就看X3是不是等于a. 對啊！求一個(gè)數(shù)的立方根，應(yīng)先找到一個(gè)立方等于所求數(shù)的數(shù)，再求立方根【例 1 1】求下列各數(shù)的立方根:(1)8 ; (2) 125; (3) 27 ； (4) 0.064 ; (5)0 ; (6) 6.3(1)因?yàn)?23= 8,所以 8 的立方根是 2，即.：8 = 2.3因?yàn)?一 5)3= 125，所以一 125 的立方根是 一 5，即 一 125= 5.131 1 1因?yàn)?3 = 27，所以 27 的立方根是 3，即因?yàn)?一 0.4)3= 0.064，所以一 0.064 的立方根是3因?yàn)?03= 0，所以 0 的立方根是 0,即 0= 0.

3、3(6) 6 的立方根是-J 6.談重點(diǎn)化簡立方根完全立方數(shù)的立方根是可以化簡的，的，只需表示出來即可，如(6).【例 1 2】下列語句正確的是(A. 64 的立方根是 2C.緊的立方根是土5216 6解析:A因?yàn)榇?64 = 8,而 2 的立方等于 8,故 8 的立方根是 2.解:1_= 127= 330.4，即一 0.064 = 0.4.如(1)(5);非完全立方數(shù)的立方根是不可以化簡)B. 3 是 27 的立方根D. ( 1)2的立方根是一 12Bx因?yàn)橐?3 的立方是一 27, 3 是 27 的立方根是錯(cuò)誤的.Cx51251255因?yàn)?的立方是麗，所以麗的立方根是6，Dx因?yàn)?一 1)

4、2= 1,它的立方根是 1,而不是一 1.答案：A2.立方根的性質(zhì)(1) 立方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；0 的立方根是 0.(2) 開立方求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算， 叫做開立方.如同開平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開立方與立方也互為逆運(yùn)算.【例 2】 有下列命題：負(fù)數(shù)沒有立方根；一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)； 一個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根和這個(gè)數(shù)同號，0 的立方根是 0;如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)必是1 和 0.其中錯(cuò)誤的是().A.B.C.D .解析：一個(gè)正數(shù)的立方根 是一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，0 的立方根是0.立方根等于本身的數(shù)有 0

5、,1 和1.所以都是錯(cuò)的，只有正確.答案：B辨誤區(qū) 1,0 , 1 的立方根深入理解概念，特別地，要關(guān)注1,0， 1 的立方根的情況.3立方根的應(yīng)用立方根在日常生活中應(yīng)用很廣泛，如求物體的體積等.【例 3】某金屬冶煉廠，將 27 個(gè)大小相同的立方體鋼錠在爐中熔化后澆鑄成一個(gè)長方 體鋼錠，量得這個(gè)長方體鋼錠的長、寬、高分別為160 cm、80 cm 和 40 cm，求原來立方體鋼錠的邊長為多少？分析：原來立方體鋼錠體積=在爐中熔化后澆鑄成的長方體鋼錠的體積.380解：設(shè)立方體的邊長為xcm，貝 U 27x= 160X80 x40.解得x=3.3答：原來立方體鋼錠的邊長為cm.3點(diǎn)評：本題是一個(gè)等

6、積變形問題，禾 U 用體積不變列方程即可.基本方法廉本能力_ 丄竺!竺竺旦已也態(tài):話 .亍. .4.立方根的化簡公式3333，-a=a；,a3=a； (.a)3=a.33如果x3=a,那么x就是a的立方根，即x=,a，所以x3= (.a)3=a.同樣，根據(jù)定義，3a3是a的三次方，所以a3的立方根就是a,即.a3=a.333設(shè)x3=a,則(一x)3= x3=a.根據(jù)立方根的定義可知，x=a,x=，J a.，一a=3,a.3要深入理解立方根的性質(zhì)，必須掌握以上性質(zhì)公式.4【例4】化簡:33立方根，再求其相反數(shù)，因?yàn)椋?a=:a.求帶分?jǐn)?shù)的立方根，首先要把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再求.333解：:一 64

7、=64= #4 = 4.33(2)0.000 125 =：0.053= 0.05.思維拓展創(chuàng)新應(yīng)用5 靈活利用立方根與平方根解題如果不正確地認(rèn)識和理解它們的異同，在解題中2x=a,那么x叫做a的平方根.立方根：如果x3=a,那么x叫做a的立方根.表示方法不同.正數(shù)3根記為a.表示平方根時(shí)，根指數(shù) 2 一般省略不寫，但是用根號表示立方根時(shí)，根指數(shù)3 絕對不能省略，否則就與二次根式混淆了 .讀法不同.正數(shù)a的平方根土 ，咕，讀作“正、3負(fù)根號a”.數(shù)a的立方根歸讀作“三次根號a或a的立方根”.被開方數(shù)的取值范圍不3同.在平方根土：a中，被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即a0但在a中，a可以是任意的數(shù). 根的個(gè)

8、數(shù)不同.一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，0 的平方根是 0，負(fù)數(shù)沒有平方根.任何數(shù)都存在立方根，一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根，一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根，0的立方根是 0.(2)聯(lián)系：求平方根與立方根的運(yùn)算都是開方運(yùn)算，開平方與平方互為逆運(yùn)算，開立方與立方互為逆運(yùn)算，都是乘方的逆運(yùn)算.【例 5 1】 已知.a3+ 64 + |b3 27| = 0，求(ab)b的立方根.分析：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a,b即可.解：由題意，得a+ 64= 0, |b 27| = 0,于是a+ 64= 0,b 27 = 0.解得a= 4,b= 3.因此(ab)b= ( 4 3)3= 343.33故(ab)b的立方根為

9、.(ab)b= . 343 = 7. 析規(guī)律非負(fù)數(shù)的性質(zhì)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為 0.33(1) 64; (2) .0.000 125分析：求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根，可以根據(jù)立方根的定義來求,也可以轉(zhuǎn)化成它的絕對值的平方根與立方根是兩個(gè)很相近的概念，很容易引起混淆而造成解題錯(cuò)誤.(1)區(qū)別：定義不同.平方根：如果a的平方根記；(3)5【例5 2已知引 5x+ 32 = 2,求x+ 17 的平方根.分析：由立方根的定義先求出X的值，再求x+ 17 的平方根.解：由立方根的定義，得35x+ 32= ( - 2).解得x=-8,則x+ 17= 9.故x+ 17 的平方根為土 3.變式題：(1) 一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別為3a+ 1 和a+ 11,求這個(gè)數(shù)的立方根;已知 3m 9 的立方根為 3，求 2m 3 的立方根；已知 2x- 1 的平方根為土 3,3y- 2 的立方根為