1、“橢圓的切線方程”教學設計馬鞍山二中 劉向兵一、教學目標知識與技能：1、能根據已知條件求出已知橢圓的切線方程；2、讓學生可以運用研究圓的切線方程的方法類比到橢圓切線方程的研究。過程與方法：嘗試用橢圓的切線方程解決橢圓的切線性質問題。情感態度與價值觀：通過對橢圓的切線方程問題的探究，培養學生勤于思考，勇于探索的學習精神。二、教學重點與難點教學重點：應用特殊化（由特殊到一般）方法解決問題。教學難點：橢圓的切線方程的探究。三、教學流程設計（一）創設情境復習：怎樣定義直線與圓相切？設計意圖：溫故而知新。由前面學習過的直線與圓相切引出直線與橢圓相切。定義做類比, 都是“直線與其有且只有一個交點”來定義相

2、切，從而通過解析法中聯立方程組，消元，一 元二次方程中的判別式等于零來解決。(二)探究新知 基礎鋪墊:22x2V2, yJ2。先由x y問題1、已知橢圓C : 1與直線l只有一個公共點82(1)請你寫出一條直線l的方程；(2)若已知直線l的斜率為k 1 ,求直線l的方程；(3)若已知切點P(2,1),求直線l的方程；(4)若已知切點P(聲,B),求直線l的方程。設計意圖：(1)根據橢圓的特征，可以得到特殊的切線方程如特殊情況過渡到一般情況。切線確定，切點確定。(2)已知斜率求切線，有兩條，并且關于原點對稱。利用斜截式設直線，聯立方程組，消元，得到一元二次方程，判別式 0。切線斜率確定，切線不確

3、定。(3)已知切點求切線，只有唯一一條。利用點斜式設直線，聯立方程組，消元，得到一元二次方程，判別式0。由于切點是整數點，運算簡潔。切點確定，切線確定。可總結由(2) (3)兩道小題得到求切線方程的一般步驟：設直線，聯立方程組，消元，得到一元二次方程，判別式0。(4)同(3)的方法，但是切點不是整數點，運算麻煩，學生運算有障礙，所以要引出由 切點得到橢圓切線的一般方法。問題一般化： 22猜想：橢圓C :t 4 1與直線l相切于點P(X0, y°),則切線l的方程? a b(橢圓的切線方程的具體求法，詳情請見微課)設計意圖：類比經過圓上一點 P(xo, yo)的切線的方程為xox yo

4、y r2進行猜想，培養學生合情推理的能力。由于具體的求解過于繁瑣，思想方法同問題1,所以上課時沒必要花費時間進行求解，做成微課方便學生課后時間自己解決。探究：在橢圓中，有關切線問題，還可以求哪些量?例：已知圓的方程是x2 + y2 = r2,求經過圓上一點P(X0, y0)的切線的方程。經過圓上一點P(X0, y0)的切線的方程為XoX yoy r2,且直線OP垂直于切線,所以，kop k切線=-1,1.點與圓設點 P(xo, yo),圓(x a)2 (y b)2 r2則.,、222點在圓內(Xo a)(yo b) r ,222點在圓上(Xoa)(yob)r,222點在圓外(Xo a)(yo

5、b) r由圓C方程及直線l的方程，消去一個未知數，得一元二次方程，設一元二次方程的根的判別式為A,則l與圓C相交。，l與圓C相切o,l與圓C相離 o2已知圓C : X2類比到圓中:r2與直線l相切于點P(Xo,yO),且點P(Xo,yo)在第一象限，若直線l與x軸、y軸分別交于點B、A.結論(1)過點P的切線方程為(2) ；OP ABkop kAB時，橢圓圓，所以kop kAB1；(可以用極限的思想理解,1)當橢圓中的a(3)過點P的切線方程為 xoxy0y2B(,0),所以kAB 無；(橢圓中kAB xoy。22rr與x軸、y軸分別交于點 B、A , A(0,一), y。b2xx一0也可理解

6、為a趨于b時，kAB趨于 )a V。y0(4)|AB|AP| |BP| 2j|AP| | BP |2j|OP|2 2r ,當且僅當 | AP | | BP | r 時,取“二由2014年浙江tWj考題最后一道題 222014 浙江卷如圖，設橢圓C:與 4 1(a b 0),動直線l與橢圓C只有一個公共 a b點P,且點P在第一象限.(1)已知直線l的斜率為k,用a, b, k表示點P的坐標；(2)若過原點O的直線11與l垂直，證明：點 P到直線11的距離的最大值為 a-b.2 x如圖，設橢圓C : -ya2七1(a bb 0),動直線l與橢圓C只有一個公共點P,且點P在(1)已知直線l的斜率為

7、k,用a, b, k表示點P的坐標;a2 + b2=1聯立消去 y 得(b2+ a2k2)x2 + 2a2kmx +a2m2 a2b2= 0. 422222222由于l與C只有一個公共點，所以 4a k m 4a (m b )(b a k ) 0 ,化簡得m2a2k2b2(*),解得點P的坐標為a2kmb2mb2 + a2k2' b2 + a2k2 .又點P在第一象限，故 m Ja2k2 b2 ,所以點P的坐標為P(a2kb2)a2k2 b2 ' a2k2 b2(2)設點P(x0,y。)，且點P(-0,yo)在第一象限，用點 p的坐標Xo,yo表示橢圓的切線方程;(2)解：P(

8、xo, y0),則由(1 )知刈a2kb2則可設過點P切線l的方程為y y0入 y yok(xxo)得 y yo一a2k2b2，yOk(xXo)消參得. a2k2XoVob2a2k k單。代a Vo2 xo -2 a化為整式2巨1b22,2a y°y b x°x22.22a yob xo兩邊同除以b2x2a Vo22a yoa2b2得橢圓的切線方程(xXo),22b xo2. 2a b (因p在橢圓上，所以所以，過切點P(xo,yo)的橢圓的切線方程x°xyoy2 T2a bx°xyoy22ab1 ,與圓的切線方程做類比， 形式相仿。1.連接OP,切線l

9、的斜率為k切線，直線OP的斜率為kop,求證kOp k班g =定值;(3)由(2)中所得的xoV。a2k k又因為必如一o xoxo O所以kop kABb2x)a2%b2i2 = 7E 值a(與圓的kop k明=-1做類比,橢圓加強為了圓，所以kOPkAB可以用極限的思想理解，當橢圓中的 a b時,11)a2 x 問題2、已知橢圓C : 一2a2b21與直線l相切于點P(xo,yo),且點P(xo, yo)在第一象限,若直線l與x軸、y軸分別交于點B、A ,求線段| AB |的最小值。直線AB的方程設為y kx m,Am),B( m,。)，則根據兩點間的距離公式可得 k29. 9. 9.a

10、k b (*),代入可得2 m 2一、.，一 . 一.| AB| 一初m ,又因為前面根據直線和橢圓相切已求出 k2.2m 22 222 b| AB |2- m a k b a kk,2/ 21 2b (a kb2 2ab (ab)2，線段| AB |的最小值為a b .當且僅當a2kk2k4b ，一時，取到a卜面再繼續討論“”取到時的條件。由前面已證kAB2y。2x。b3 ab3x。232a y。23X0a (13)babx。22ax。2x。3-a一,代入a bkop22y。2x。b3 ,日 得a2y。b3 a b '所以可得到，|PA|22X0(Y0m)2X02 (kx。)2(12

11、 2k )x。b、2(1)x0a32alX0，得 |PA|a ba2. |PA| a,| PB| b22問題3、已知橢圓C :、$ a b1與直線l相切于點P(x0,y°),且點P(xo, yo)在第一象限,若直線l與x軸、y軸分別交于點B、A.若過原點O的直線li與l垂直交與點D,證明:| PD | |AB| 定值.B、A,a4 b4'1,x。2y。222所以 A(0,b-),B(,0),則 |AB |V。Xo由于直線li過原點O且與l垂直,故直線li的方程為x + ky = 0,所以點P到直線li的前面已證過 kb2x。a2y。距離 pd 1 ky。x。1,；k2 11 b1 PD 1ky。 1a2 x0_病1b4x。2 1V a4y。2|PD | |AB| |a2 b2| a2 b2,2,22,2,| a xo yo b xoy。| a b |242-44.a y。 b x。ab:x。2y。21=定值(c為橢圓的半焦距)22問題4、如圖，設橢圓C:與 Vt 1（a b 。），動直線l與橢圓C只有一個公共點P,a b且點P在第一象限.若過原點O的直線li與l垂直，證明：點 P到直線li的距離的最大值為a b.證明：方法一、由于直線li過原點O且與l垂直，故直線li的方程為x + ky =。，所以點P到直線li的