1、第九編 解析幾何§9.1直線的傾斜角與斜率基礎自測1.設直線l與x軸的交點是P，且傾斜角為,若將此直線繞點P按逆時針方向旋轉45°，得到直線的傾斜角為+45°，則的范圍為 .答案 0°135°2.（2008·全國文）曲線y=x3-2x+4在點（1，3）處的切線的傾斜角為 .答案 45°3.過點M（-2，m），N（m，4）的直線的斜率等于1，則m的值為 .答案 14.已知直線l的傾斜角為，且0°135°，則直線l的斜率取值范圍是 .答案 （-,-1）0，+）5.若直線l經過點（a-2，-1）和（-a-2，1

2、）且與經過點（-2，1），斜率為-的直線垂直，則實數a的值為 .答案 -例1 若，則直線2xcos+3y+1=0的傾斜角的取值范圍是 .答案 例2 （14分）已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l1與l2是否平行；（2）l1l2時，求a的值.解 （1）方法一 當a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當a=0時，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;2分當a1且a0時，兩直線可化為l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 5分綜上可知，a=-1時，l1l2，否則l1與l2不平

3、行. 6分方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-1×60, 2分l1l24分a=-1, 5分故當a=-1時，l1l2，否則l1與l2不平行.6分（2）方法一 當a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直，故a=1不成立.8分當a1時，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),12分由·=-1a=.14分方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.14分例3 已知實數x,y滿足y=x2-2x+2 (-1x1).試求：的最大值與最小值.解 由的幾何意義可知，它表

4、示經過定點P（-2，-3）與曲線段AB上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值為8，最小值為.1.直線xcos+y+2=0的傾斜角的取值范圍是 .答案 2.已知兩條直線l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.當m分別為何值時，l1與l2:（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5時，顯然，l1與l2相交；當m-5時，易得兩直線l1和l2的斜率分別為k1=-，k2=-，它們在y軸上的截距分別為b1=，b2=.（1）由k1k2,得-，m-7且m-1.當m-7且m-1時，l1與l2相交.（

5、2）由,得，m=-7.當m=-7時，l1與l2平行.（3）由k1k2=-1,得-·=-1，m=-.當m=-時，l1與l2垂直.3.若實數x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為 .答案 一、填空題1.直線xcos+y-1=0 (R)的傾斜角的范圍是 .答案 2.（2009·姜堰中學高三綜合練習）設直線l1:x-2y+2=0的傾斜角為,直線l2:mx-y+4=0的傾斜角為,且=+90°,則m的值為 .答案 -23.已知直線l經過A（2，1），B（1，m2）（mR）兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是 .答案 4.已知直線l1：y=2x+3，直線l2與l1

6、關于直線y=x對稱，直線l3l2，則l3的斜率為 .答案 -25.若直線l沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來位置，那么直線l的斜率是 .答案 -6.（2008·浙江理，11）已知a0,若平面內三點A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共線，則a= .答案 1+7.已知點A（-2，4）、B（4，2），直線l過點P（0，-2）與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是 .答案 （-，-31，+）8.已知兩點A（-1，-5），B（3，-2），若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是 .答案 二、解答題9.已知線段PQ兩端點的坐標分別為（

7、-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0與線段PQ有交點，求m的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點.kAP=-2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時直線x+my+m=0與線段PQ有交點，所求m的取值范圍是-m.方法二 過P、Q兩點的直線方程為y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-.由已知-1-2, 解得-m.10.已知直線l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得：（1）l1與l2相交；（2）l1l2;(3)l1l2;(4)l1,l2重合.解 （1）由已知1×3m(m-2)

8、,即m2-2m-30,解得m-1且m3.故當m-1且m3時，l1與l2相交.（2）當1·（m-2）+m·3=0，即m=時，l1l2.(3)當=,即m=-1時，l1l2.（4）當=，即m=3時，l1與l2重合.11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D點的坐標，使四邊形ABCD為直角梯形（A、B、C、D按逆時針方向排列）.解 設所求點D的坐標為（x，y），如圖所示，由于kAB=3，kBC=0，kAB·kBC=0-1，即AB與BC不垂直，故AB、BC都不可作為直角梯形的直角邊.若CD是直角梯形的直角邊，則BCCD，ADCD，kBC=0，CD的斜率不存在

9、，從而有x=3.又kAD=kBC，=0，即y=3.此時AB與CD不平行.故所求點D的坐標為（3，3）.若AD是直角梯形的直角邊，則ADAB，ADCD，kAD=，kCD=.由于ADAB，·3=-1.又ABCD，=3.解上述兩式可得此時AD與BC不平行.故所求點D的坐標為,綜上可知，使ABCD為直角梯形的點D的坐標可以為（3，3）或.12.已知兩點A（-1，2），B（m，3）.（1）求直線AB的方程；（2）已知實數m，求直線AB的傾斜角的取值范圍.解 （1）當m=-1時，直線AB的方程為x=-1,當m-1時，直線AB的方程為y-2=(x+1).（2）當m=-1時，=;當m-1時，m+1，

10、k=（-，-，.綜合知，直線AB的傾斜角.§9.2 直線的方程、直線的交點坐標與距離公式基礎自測1.下列四個命題中真命題的序號是 .經過定點P0（x0，y0）的直線都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示經過任意兩個不同點P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直線都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示不經過原點的直線都可以用方程表示經過定點A（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示答案 2.A、B是x軸上兩點，點P的橫坐標為2，且|PA|=|PB|，若直線PA的方程為x-y+1=0，則直線PB的方程為 .答案 x+y-5=03.（2008

11、3;全國文）原點到直線x+2y-5=0的距離為 .答案 4.過點P（-1，2）且方向向量為a=（-1，2）的直線方程為 .答案 2x+y=05.一條直線經過點A（-2，2），并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 求適合下列條件的直線方程：（1）經過點P（3，2），且在兩坐標軸上的截距相等；（2）經過點A（-1，-3），傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.解 （1）方法一 設直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點（0，0）和（3，2），l的方程為y=x，即2x-3y=0.若a0，則設l的方程為，l過點（3，2），a=

12、5，l的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由題意知，所求直線的斜率k存在且k0,設直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直線l的方程為：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：設直線y=3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2. tan=3,tan2=-.又直線經過點A（-1，-3），因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例2 過點P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，求使

13、：（1）AOB面積最小時l的方程；（2）|PA|·|PB|最小時l的方程.解 方法一 設直線的方程為 (a2,b1),由已知可得.（1）2=1，ab8.SAOB=ab4.當且僅當=,即a=4,b=2時，SAOB取最小值4，此時直線l的方程為=1,即x+2y-4=0.（2）由+=1,得ab-a-2b=0,變形得(a-2)(b-1)=2,|PA|·|PB|=··=·.當且僅當a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時，|PA|·|PB|取最小值4.此時直線l的方程為x+y-3=0.方法二 設直線l的方程為y-1=k(x-2) (k0),則

14、l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）=×（4+4）=4.當且僅當-4k=-,即k=-時取最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.·（2）|PA|·|PB|=4,當且僅當=4k2,即k=-1時取得最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3 （14分）已知直線l過點P（3，1）且被兩平行線l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程.解 方法一 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3,此時與l1,l2的交點分別是A（3，-4），B（3

15、，-9），截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.4分若直線l的斜率存在時，則設直線l的方程為y=k(x-3)+1,分別與直線l1,l2的方程聯立，由,解得A.8分由,解得B, 由兩點間的距離公式，得+=25，解得k=0,即所求直線方程為y=1.12分綜上可知，直線l的方程為x=3或y=1.14分方法二 設直線l與l1,l2分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,兩式相減，得(x1-x2)+(y1-y2)=56分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25聯立可得或, 12分由上可知，直線l的傾斜角分別為0°和90°，

16、故所求的直線方程為x=3或y=1. 14分例4 求直線l1:y=2x+3關于直線l:y=x+1對稱的直線l2的方程.解 方法一 由知直線l1與l的交點坐標為（-2，-1），設直線l2的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線l上任取一點（1，2），由題設知點（1，2）到直線l1、l2的距離相等，由點到直線的距離公式得=，解得k=(k=2舍去)，直線l2的方程為x-2y=0.方法二 設所求直線上一點P（x,y）,則在直線l1上必存在一點P1（x0,y0）與點P關于直線l對稱.由題設：直線PP1與直線l垂直，且線段PP1的中點P2在直線l上.，變形得,代入直線l1:y=2x+3

17、，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直線方程為x-2y=0.1.（1）求經過點A（-5，2）且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；（2）過點A（8，6）引三條直線l1,l2,l3，它們的傾斜角之比為124，若直線l2的方程是y=x,求直線l1,l3的方程.解 （1）當直線l在x、y軸上的截距都為零時，設所求的直線方程為y=kx,將（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此時，直線方程為y=-x,即2x+5y=0.當橫截距、縱截距都不是零時，設所求直線方程為=1，將（-5，2）代入所設方程，解得a=-，此時，直線方程為x+2y+1=0.綜上所述，所求

18、直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）設直線l2的傾斜角為,則tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直線l1的方程為y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程為y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.2.直線l經過點P（3，2）且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OAB的面積為12，求直線l的方程.解 方法一 設直線l的方程為（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直線方程為=1,即2x+3y-12=0.方法二 設直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0,得直線l在x軸上的截距a=3-,令x=0,得直線l在y軸上的截距b=2-3k.(2

19、-3k)=24.解得k=-.所求直線方程為y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三條直線l1：2x-y+a=0（a0）,直線l2:4x-2y-1=0和直線l3:x+y-1=0,且l1與l2的距離是.(1)求a的值；(2)能否找到一點P,使得P點同時滿足下列三個條件:P是第一象限的點;P點到l1的距離是P點到l2的距離的;P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是.若能,求P點坐標;若不能,說明理由.解 (1)l2即為2x-y-=0,l1與l2的距離d=,=,=,a0,a=3.(2)假設存在這樣的P點.設點P(x0,y0),若P點滿足條件,則P點在與l1、l2平行的直線l：2x-y

20、+C=0上，且=，即C=或C=，2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P點滿足條件，由點到直線的距離公式=×，即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P點在第一象限，3x0+2=0不滿足題意.聯立方程，解得 (舍去).由解得假設成立，P即為同時滿足三個條件的點.4.光線沿直線l1:x-2y+5=0射入，遇直線l:3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.解 方法一 由得反射點M的坐標為（-1,2）.又取直線x-2y+5=0上一點P（-5，0），設P關于直線l的對稱點P(x0,y0)，由PPl可知,kPP=-=.而PP的中點Q

21、的坐標為,Q點在l上，3·-2·+7=0.由得根據直線的兩點式方程可得l的方程為29x-2y+33=0.方法二 設直線x-2y+5=0上任意一點P（x0,y0）關于直線l的對稱點為P(x,y),則,又PP的中點Q在l上，3×-2×+7=0,由可得P點的坐標為x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化簡得29x-2y+33=0,即為所求反射光線所在的直線方程.一、填空題1.過點（1，3）作直線l，若經過點（a，0）和（0，b），且aN*，bN*，則可作出的l的條數為 .答案 22.已知直線l1的方向向量為a=(1,3),直線l2的方向向量為b=(-1,

22、k),若直線l2過點（0，5），且l1l2，則直線l2的方程是 .答案 x+3y-15=03.若直線l與兩直線y=1,x-y-7=0分別交于M，N兩點，且MN的中點是P（1，-1），則直線l的斜率是 .答案 -4.直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線方程是 .答案 x+2y-3=05.經過點P（1，4）的直線在兩坐標軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為 .答案 2x+y-6=06.點（1，cos）到直線xsin+ycos-1=0的距離是(0°180°)，那么= .答案 30°或150°7.設l1的傾斜角為，l1繞其上一點P沿逆時針方

23、向旋轉角得直線l2，l2的縱截距為-2，l2繞P沿逆時針方向旋轉-角得直線l3：x+2y-1=0，則l1的方程為 .答案 2x-y+8=08.若直線l:y=kx-1與直線x+y-1=0的交點位于第一象限，則實數k的取值范圍是 .答案 (1,+)二、解答題9.已知直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：（1）過定點A（-3，4）；（2）斜率為.解 （1）設直線l的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=±6，解得k1=-或k2=-.直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（

24、2）設直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程是y=x+b,它在x軸上的截距是-6b,由已知，得|-6b·b|=6，b=±1.直線l的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一條光線經過P（2，3）點，射在直線l:x+y+1=0上，反射后穿過Q（1，1）.（1）求光線的入射方程；（2）求這條光線從P到Q的長度.解 （1）設點Q(x,y)為Q關于直線l的對稱點且QQ交l于M點，kl=-1，kQQ=1.QQ所在直線方程為y-1=1·（x-1）即x-y=0.由解得l與QQ的交點M的坐標為.又M為QQ的中點，由此得.解之得Q（-2，-2）.設入射線與l交點N，且P

25、，N，Q共線.則P（2，3），Q（-2，-2），得入射線方程為，即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分線，因而|NQ|=|NQ|.|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=,即這條光線從P到Q的長度是.11.已知正方形的中心為直線2x-y+2=0,x+y+1=0的交點，正方形一邊所在的直線方程為x+3y-5=0,求正方形其他三邊的方程.解 設與直線l:x+3y-5=0平行的邊的直線方程為l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐標P（-1，0），由點P到兩直線l,l1的距離相等，則,得c=7或c=-5（舍去）.l1：x+3y+7=0.又正方形另兩邊所在直線與l垂直，設另兩邊方程

26、為3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四條邊的距離相等，=，得a=9或a=-3,另兩條邊所在的直線方程為3x-y+9=0,3x-y-3=0.另三邊所在的直線方程為3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.過點P（3，0）作一直線，使它夾在兩直線l1：2x-y-2=0與l2:x+y+3=0之間的線段AB恰被點P平分，求此直線的方程.解 方法一 設點A（x，y）在l1上，由題意知，點B（6-x，-y），解方程組，得，k=.所求的直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二 設所求的直線方程為y=k(x-3),則,解得,由,解得.P(3,0)是線段AB的中點

27、，yA+yB=0，即+=0，k2-8k=0，解得k=0或k=8.又當k=0時，xA=1,xB=-3,此時,k=0舍去，所求的直線方程為y=8(x-3),即8x-y-24=0.§9.3 圓的方程基礎自測1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a的取值范圍是 .答案 -2a2.圓x2+y2+2x-4y+1=0關于直線2ax-by+2=0（a、bR）對稱，則ab的取值范圍是 .答案 3.過點A（1，-1），B（-1，1），且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是 .答案 （x-1）2+(y-1)2=44.以點（2，-1）為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為

28、 .答案 (x-2)2+(y+1)2=95.直線y=ax+b通過第一、三、四象限，則圓（x+a）2+(y+b)2=r2 (r0)的圓心位于第 象限.答案 二例1 已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為 .答案 x2+y2-4x=0例2 （14分）已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，且OPOQ（O為坐標原點），求該圓的圓心 坐標及半徑.解 方法一 將x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.4分設P（x1,y1）,Q(x2,y2),則y1、y2滿足條件：y1+y2=4

29、,y1y2=.6分OPOQ,x1x2+y1y2=0.8分而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此時0,圓心坐標為，半徑r=.14分方法二 如圖所示，設弦PQ中點為M，O1MPQ，=2.O1M的方程為:y-3=2,即：y=2x+4.由方程組.解得M的坐標為（-1，2）.則以PQ為直徑的圓可設為（x+1）2+（y-2）2=r2.6分OPOQ，點O在以PQ為直徑的圓上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.+（3-2）2+5=.m=3.半徑為,圓心為.14分方法三 設過P、Q的圓系

30、方程為x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，點O（0，0）在圓上.m-3=0，即m=3.3分圓的方程可化為x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.6分圓心M，7分又圓在PQ上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.12分圓心為，半徑為.14分例3 已知實數x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b=-2±.所以y-x的最大值為-2

31、+，最小值為-2-.（2）x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.1.（2008· 山東文，11）若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標準方程是 .答案 (x-2)2+(y-1)2=12.已知圓C：（x-1）2+(y-2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；（2）求直線l被圓C截得的

32、弦長的最短長度及此時的直線方程.（1）證明 直線l可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不論m取什么實數，它恒過兩直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點.兩方程聯立，解得交點為（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,點（3，1）在圓內部，不論m為何實數，直線l與圓恒相交.（2）解 從（1）的結論和直線l過定點M（3，1）且與過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2=2=4.此時，kl=-,從而kl=-=2.l的方程為y-1=2(x-3),即2x-y=5.3.已知點P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點.（1）求P點到直線3

33、x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圓心C（-2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=.P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，最小值為d-r=-1=.（2）設t=x-2y, 則直線x-2y-t=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點.1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）設k=，則直線kx-y-k+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點，1.k,kmax=，kmin=.一、填空題1.圓x2+y2-2x+4y+3=0的圓心到直線x-y=1的距離為 .答案 2.兩條直線y=x

34、+2a,y=2x+a的交點P在圓（x-1）2+(y-1)2=4的內部，則實數a的取值范圍是 .答案 -a13.已知A（-2，0），B（0，2），C是圓x2+y2-2x=0上任意一點，則ABC面積的最大值是 .答案 3+4.圓心在拋物線y2=2x上且與x軸和該拋物線的準線都相切的圓的方程是 .答案 x2+y2-x±2y+=05.若直線2ax-by+2=0 (a0,b0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+1=0的周長，則的最小值是 .答案 46.從原點O向圓：x2+y2-6x+=0作兩條切線，切點分別為P、Q，則圓C上兩切點P、Q間的劣弧長為 .答案 7.（2008·四川理，1

35、4）已知直線l：x-y+4=0與圓C：（x-1）2+（y-1）2=2，則C上各點到l距離的最小值為 .答案 8.以直線3x-4y+12=0夾在兩坐標軸間的線段為直徑的圓的方程為 .答案 （x+2)2+=二、解答題9.根據下列條件求圓的方程：（1）經過坐標原點和點P（1,1），并且圓心在直線2x+3y+1=0上；（2）已知一圓過P（4,-2）、Q(-1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4,求圓的方程.解 （1）顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為：=，即x+y-1=0.解方程組,得圓心C的坐標為（4，-3）.又圓的半徑r=|OC|=5,所以所求圓的方程為（x-4）2+

36、(y+3)2=25.（2）設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0將P、Q點的坐標分別代入得： 令x=0，由得y2+Ey+F=0由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的兩根，所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48解、組成的方程組得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.解 將圓方程化為(x-1)2+(y-

37、1)2=1,其圓心為C（1，1），半徑r=1,如圖，由于四邊形PACB的面積等于RtPAC面積的2倍，所以SPACB=2××|PA|×r=.要使四邊形PACB面積最小,只需|PC|最小.當點P恰為圓心C在直線3x+4y+8=0上的正射影時,|PC|最小,由點到直線的距離公式,得|PC|min=3,故四邊形PACB面積的最小值為2.11.已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP中點的軌跡方程;(2)若PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.解 (1)設AP中點為M(x,y),由中點坐標公式可知

38、,P點坐標為(2x-2,2y).P點在圓x2+y2=4上,(2x-2)2+(2y)2=4.故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設PQ的中點為N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,設O為坐標原點,連結ON,則ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.12.已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l:x-y+10=0上.(1)若動圓C過點(-5,0),求圓C的方程;(2)是否存在正實數r,使得動圓C中滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且

39、僅有一個，若存在,請求出來;若不存在,請說明理由.解 (1)依題意,可設動圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=25,其中圓心(a,b)滿足a-b+10=0.又動圓過點(-5,0),(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程組,可得或,故所求圓C的方程為(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=5.當r滿足r+5d時，動圓C中不存在與圓O：x2+y2=r2相外切的圓；當r滿足r+5d時，r每取一個數值，動圓C中存在兩個圓與圓O：x2+y2=r2相外切；當r滿足r+5=d,即r=5-5時，動圓C中有且僅有1個圓與圓O：x2+y2=

40、r2相外切.§9.4 直線、圓的位置關系基礎自測1.若直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交，則P（a，b）與圓的位置關系為 .答案 在圓外2.若直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2ax+4y+a2-12=0總有兩個不同交點，則a的取值范圍是 .答案 -6a43.兩圓x2+y2-6x+16y-48=0與x2+y2+4x-8y-44=0的公切線條數為 .答案 24.若直線y=k(x-2)+4與曲線y=1+有兩個不同的交點，則k的取值范圍是 .答案 5.(2008·重慶理，15)直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0 (a3)相交于兩點A,B,弦AB的中點為(0,1),

41、則直線l的方程為 .答案 x-y+1=0例1 已知圓x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR）.（1）求證：不論m為何值，圓心在同一直線l上；（2）與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；（3）求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.（1）證明 配方得：（x-3m）2+y -(m-1)2=25，設圓心為（x，y），則，消去m得l：x-3y-3=0，則圓心恒在直線l：x-3y-3=0上.（2）解 設與l平行的直線是l1：x-3y+b=0，則圓心到直線l1的距離為d=.圓的半徑為r=5，當dr，即-5-3b5-3時，直線與圓相交；當d=r,即b=&

42、#177;5-3時，直線與圓相切；當dr，即b-5-3或b5-3時，直線與圓相離.（3）證明 對于任一條平行于l且與圓相交的直線l1：x-3y+b=0，由于圓心到直線l1的距離d=，弦長=2且r和d均為常量.任何一條平行于l且與圓相交的直線被各圓截得的弦長相等.例2 從點A（-3，3）發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l 所在直線的方程.解 方法一 如圖所示，設l與x軸交于點B（b,0)，則kAB=,根據光的反射定律，反射光線的斜率k反=.反射光線所在直線的方程為y=(x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.已知圓x2+y2-

43、4x-4y+7=0的圓心為C（2,2），半徑為1,=1,解得b1=-,b2=1.kAB=-或kAB=-.l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二 已知圓C：x2+y2-4x-4y+7=0關于x軸對稱的圓為C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圓心C1的坐標為（2，-2），半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切.設l的方程為y-3=k(x+3),則=1,即12k2+25k+12=0.k1=-，k2=-.則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三 設入射光線方程為y-3=k(x+3),反射光線所在的直線方程為y=-kx+b,由于二者橫截距相等

44、，且后者與已知圓相切.,消去b得.即12k2+25k+12=0,k1=-,k2=-.則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.例3 已知圓C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m為何值時，（1）圓C1與圓C2相外切；（2）圓C1與圓C2內含？解 對于圓C1與圓C2的方程，經配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.（1）如果C1與C2外切，則有=3+2.(m+1)2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.（2）如果C1與C2內含，則有3-2.(m+1)2+(m+2

45、)21,m2+3m+20,得-2m-1,當m=-5或m=2時，圓C1與圓C2外切；當-2m-1時，圓C1與圓C2內含.例4 （14分）已知點P（0，5）及圓C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直線l過P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；（2）求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.解 （1）方法一 如圖所示，AB=4，D是AB的中點，CDAB，AD=2，圓x2+y2+4x-12y+24=0可化為（x+2）2+（y-6）2=16，圓心C（-2，6），半徑r=4，故AC=4，在RtACD中，可得CD=2.2分設所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,即kx-y+5=0.由點C到

46、直線AB的距離公式：=2，得k=.此時直線l的方程為3x-4y+20=0.4分又直線l的斜率不存在時，此時方程為x=0.6分則y2-12y+24=0,y1=6+2,y2=6-2,y2-y1=4,故x=0滿足題意.所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0.8分方法二 設所求直線的斜率為k，則直線的方程為y-5=kx,即y=kx+5,聯立直線與圓的方程,消去y得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=0 2分設方程的兩根為x1,x2,由根與系數的關系得 4分由弦長公式得|x1-x2|=4,將式代入，解得k=，此時直線的方程為3x-4y+20=0. 6分又k不存在時也滿足題意，此時直線方程為x=

47、0.所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0. 8分（2）設過P點的圓C的弦的中點為D（x,y）,則CDPD，即·=0， 10分（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0. 14分1.m為何值時，直線2x-y+m=0與圓x2+y2=5.（1）無公共點；（2）截得的弦長為2；（3）交點處兩條半徑互相垂直.解 （1）由已知，圓心為O（0，0），半徑r=,圓心到直線2x-y+m=0的距離d=，直線與圓無公共點，dr,即,m5或m-5.故當m5或m-5時，直線與圓無公共點.（2）如圖所示，由平面幾何垂徑定理知r2-d2=12，

48、即5-=1.得m=±2,當m=±2時，直線被圓截得的弦長為2.（3）如圖所示，由于交點處兩條半徑互相垂直，弦與過弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，d=r，即·,解得m=±.故當m=±時，直線與圓在兩交點處的兩條半徑互相垂直.2.從圓C：x2+y2-4x-6y+12=0外一點P（a，b）向圓引切線PT，T為切點，且|PT|=|PO| （O為原點）.求|PT|的最小值及此時P的坐標.解 已知圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=1.圓心C的坐標為（2，3），半徑r=1.如圖所示，連結PC，CT.由平面幾何知，|PT|2=|PC|2-|CT|2=（a

49、-2）2+（b-3）2-1.由已知，|PT|=|PO|，|PT|2=|PO|2，即（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2.化簡得2a+3b-6=0.得|PT|2=a2+b2=（13a2-24a+36）.當a=時，|PT|min=.|PT|的最小值為，此時點P的坐標是.3.求過點P（4，-1）且與圓C：x2+y2+2x-6y+5=0切于點M（1，2）的圓的方程.解 方法一 設所求圓的圓心為A（m,n)，半徑為r,則A,M,C三點共線，且有|MA|=|AP|=r，因為圓C：x2+y2+2x-6y+5=0的圓心為C（-1，3），則,解得m=3,n=1,r=,所以所求圓的方程為(x-3)2+(y-

50、1)2=5.方法二 因為圓C：x2+y2+2x-6y+5=0過點M（1，2）的切線方程為2x-y=0,所以設所求圓A的方程為x2+y2+2x-6y+5+(2x-y)=0,因為點P（4，-1）在圓上，所以代入圓A的方程，解得=-4,所以所求圓的方程為x2+y2-6x-2y+5=0.4.圓x2+y2=8內一點P（-1，2），過點P的直線l的傾斜角為，直線l交圓于A、B兩點.（1）當=時,求AB的長；（2）當弦AB被點P平分時，求直線l的方程.解 （1）當=時，kAB=-1，直線AB的方程為y-2=-（x+1），即x+y-1=0.故圓心（0，0）到AB的距離d=，從而弦長|AB|=2=.（2）設A（

51、x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-2，y1+y2=4.由兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0，kAB=.直線l的方程為y-2=（x+1），即x-2y+5=0.一、填空題1.（2008·遼寧理）若圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒有公共點，則k的取值范圍為 .答案 (-,)2.（2008·重慶理，3）圓O1：x2+y2-2x=0和圓O2：x2+y2-4y=0的位置關系是 .答案 相交3.已知圓C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a0)及直線l:x-y+3=0,當直線l被圓C截得的弦