1、第 2 講 二進制與十進制知識網絡所謂數的進位制，指的是記載數目的一種規則。世界上大多數地區和民族均采用的是十進制計數法。在十進制計數法中，采用0、1、 2、3、4、5、6、7、8、 9 這 10 個數字表示任何十進制數，它遵循的原則是“逢十進一，退一當十”，任何一個十進制數 N 都可以表示為：，其中都 只 能 取 0，1，2， ，9 中 的 數 字 ， 簡 記 為。類似的，對于在現代計算機運算技術中采用的二進制計數法，我們有以下的說明：在二進制計數法中，采用0 和 1 這兩個數字表示任何二進制數，它遵循“逢二進一，退一當二”的原則。同樣，任何一個二進制數 N都可以表示為：，其中都只能取0 和

2、 1 ，我們簡記為。重點·難點二進制的四則運算是本講的難點，它遵循“逢二進一，退一當二”的原則。這就要將它與十進制區分開來，利用二者的類似點進行計算。本講的重點在于這兩種進制數之間的互換，如何選取合適的方法是關鍵。學法指導（1） 二 進 制 數 轉 換 成 十 進 制 數 ： 通 過 下 式，可以直接計算其結果。例如：，即（ 2）十進制數轉化成二進制數：我們一般用倒寫余數法，即把這個十進制數用2 除，記下余數，再用 2 除它的商，再記下余數，直到商為0 為止。 將所得余數自下而上依次排列起來，就得到二進制數。例如：化為二進制數。經典例題例1 有一個人拿著兩只空瓶，其中一只可以容納7

3、斤水， 另外一只可以容納5 斤水。6 斤水。請問，此人應當怎樣用這兩只空瓶取回6 斤水來？思路剖析本題是一個進制問題，容積為7 斤的空瓶，可以裝0 斤、 1 斤、 2 斤最多可以裝7“”（倒掉重裝），這類似于八進制記數法。對容積為5 斤的空瓶的要得到 6 斤水，先從算法上實現這一步。首先把6 表示成 5 和 7 的加減運算式6=5+5+5+5-7-7 然后在實踐中實現這個算式，“+”表示裝水，“-”表示倒水。由于6=5+5+5+5-7-7 ，因此可以做如下操作：（ 1 ） 用容積為5 斤的空瓶裝滿水，倒入容積為7 斤的空瓶中，這時 7 斤瓶中有5 斤水。（ 2）再用容積為5 斤的空瓶裝滿水，往

4、容積為7 斤的瓶中倒，直到注滿為止。這時，5 斤的瓶中還剩3 斤水， 而 7 斤的瓶中裝滿了水，把水倒回水池中，使 7 斤瓶為空瓶。（ 3）把5 斤瓶中的3 斤水倒入7 斤瓶中，然后，用5 斤瓶裝滿水繼續注入7 斤瓶中，5 斤瓶中還剩一斤水，而7 斤瓶中又一次裝滿，將7 斤瓶中水倒回水7 斤瓶為空瓶。（ 4）將5 斤瓶中剩下的1 斤水倒入7 斤瓶中。然后，用5 斤瓶裝滿水繼續注入7 斤瓶7 斤瓶中正好裝了6 斤水。 例 2 比較下列兩組數的大小。（ 1） 與思路剖析對兩個不同進制的數，無法直接進行比較，因此我們必須將這兩個數進行轉化，使其處由于別的進制化為十進制比較容易，因此我們采取將所有數均

5、化為十進制的解答（ 2）即由于所以（ 3）即即由于所以 例 3 一個自然數用五進制表示是三位數， 用七進制表示是三位數， 求這個自然數。思路剖析由五進制數化成的十進制數與由七進制數化成的十進制數是同一個數，即二者相等，由此得到一個關于a、 b、 c 的方程，解這個方程便可求出這個自然數。解答由于這兩個數應表示同一個自然數，因此得到即 12a=b+24c依題意，a、 b、 c只能取 0、 1、 2、 3、 4 中的值，因為為三位數，所以a 0，又因為 b=12a-24c 其中 12a-24c 可以被 4 整除，因此b必是 4 的倍數，b=0 或4。當 b=4 時，12a-24c=4 即 3a-6

6、c=1，此方程無解；當 b=0 時，12a-24c=0 即 a=2c，所以此方程有解a=2 且 c=1 或 a=4 且 c=2；當 a=2， b=0， c=1 時，有和，在十進制數中應為；當 a=4， b=0， c=2 時，有，在十進制數中應為。答：這個自然數為51 或 102。 例 4 請判斷下列算式是幾進制數的乘法。221× 322=132212思路剖析對此類問題，必須仔細觀察式子。本式有最大數3，所以這個算式運算應是在四進制或四進制以上的進制中進行的。再觀察首位數字的運算情況，2 × 3 的積應該進位，否則無法得到六位數的乘積。因此可以判斷，該運算可能是在四進制或五進

7、制中進行。解答先從表面上可以斷定該算式應是在四進制以上進制中進行的運算。因為出現的數字有：0、 1 、 2、 3。其次由首位數字的運算情況來看，3 × 2 必須進位，否則得不到六位數的乘積。這樣可以判斷這個算式只能是在四進制或五進制中進行的。若是四進制，則有因而不是四進制。在五進制中，成立。答：算式221× 322=132212 只能在五進制中才能成立。 例 5 判斷下列加法是在幾進制中進行的，并指出各字母代表的數碼（不同的字母代表不同的數碼）。思路剖析解決此類問題的突破口在于不論是在哪個進制中，兩個數碼相加最多只能進一。據此可確定 A=1 ，再設進制為P，由各個位上數的相

8、加情況，得到關于P 的一元一次方程，解之便可。解答設進制為P。根據題意A=1 ，因為加法是在P 進制中進行的，所以B=P-1 ，否則不能進位。再由個位數相加情況，D+A=B 即 D+1=P-1 ，由此得出D=P-2 。接著由十位數的相加情況，C+C=B 即 2C=B=P-1 ，最后由百位數的相加情況，B+D 一定要進位，否則和的千位數為0，從而 B+D=P+C ，把 B=P-1 ， D=P-2，代入上式得，求得P=5，于是有 B=4， D=3， C=2，這就是說這個算式是在五進制中進行的，且A=1 ， B=4， C=2， D=3。豎式為 例6 請問自然數能否被 18 整除。思路剖析表面上本題與

9、進制無關。可是如果將這個自然數算出來，再去用18 除看能否除盡，那么這個計算量比較大。考慮到這個自然數都是由2 的冪組成的，所以用二進制數來解決會比較方便。解答而 計算：這說明能被整除， 從而也表明了能被 18 整除。答：自然數能被 18 整除。 例 7 下式是一個八進制的除式，請在“”中填上恰當的數字。思路剖析仔細觀察式子，由商的個位數字乘以除數后為1 ，可知，除數為 12，且商的個位數字為 1。可以根據余數逐步向上遞推，從而確定每個空格所表示的數字。解答先把算式中的各“”用字母表示，得算式由于，所以 A=1 ， G=1 ， L=2由 L=2 ，即 K=1 ， E=5再由，可以推出F=7，

10、H=1 ， I=0， J=6由此推出B=1 ， C=0， D=7。于是這個算式為：點津對進制類型的問題，要求必須對題中的式子進行仔細的觀察，特別是例4、例5、例6、例7，粗一看，可能找不到合適的方法，找不到題中的突破口。有的同學可能采取試探的方法逐一尋找，但在實際問題中，應當想辦法使得用最少的試探次數來找到問題的答案。發散思維訓練1試判斷算式123× 302=111012 在幾進制中才能成立。2問自然數能否被 9 整除？3證明：當n時，費爾瑪數的末位數字一定是7。4某班共有49 名學生，班里組織了一次全員乒乓球賽，比賽實行淘汰制。為了減少比賽場次，規定只有在某一輪參賽選手為單數時才安

11、排一人輪空。到決出冠軍為止，共有幾個人輪空？5下面是二進制中的除法，請填上空格中的數字。6某軍需倉庫保管員將1000 發子彈分裝在10 個盒子里，一旦需要，只要告訴他1000以內的任何發子彈，他都可以拿出若干個盒子，湊出所需要的子彈，而不必打開盒子，問這10 個盒子里各裝多少發子彈。7 一個自然數用三進制表示是三位數的， 用四進制表示是三位數， 求這個自然數。8試確定下列加法是在幾進制中進行的，并指出各字母代表的數碼（要求不同的字母代表不同的數字）。參考答案1 解：從 123× 302=111012 的個位數字的變化中可知，要使 3× 2 的個位數字是2， 只有在四進制中才

12、能成立，3× 2=12 故可初步確定此乘法是在四進制中，此時123× 302的結果為可見在四進制中成立。2解：這說明能被整除，從而得到能被 9 整3解：費爾瑪數中， 這個數的增長是非常迅速的，化成二進制數形式較簡單所以要求費爾瑪的個位數字，即是求由費爾瑪被10 除所得的余數，而10 的二進制形式為，下面用豎式除法求余數。由上面豎式除法可知，被除數每隔8 位，商數循環出現一次，而且每隔4 位開始重復出現余數 11。費爾瑪數是一個位數，先考慮費爾瑪數的前位數，由于n 2，因此恰好是 4 的倍數，從而知這位數被除所得的余數是11。再考慮費爾瑪數的最后一個數字是1，所以最后的余數是

13、。因此費爾瑪數的末位數字是7。4解：顯然， 當參賽人數為2， 4， 8， 16， 32， 時， 每一輪比賽都不會有人輪空。49 人參賽，不是 2 的正整數次冪，因而一定有人輪空。現補上15 名，湊夠64 名，這 15 名選手為假先手，與 49 名真選手中的任何一個人比賽時一定被淘汰。在每輪比賽中盡可能安排真對真，只有真選手剩下一個時，才安排真假對陣，這時真的必勝，如同輪空一樣。這樣，假選手碰真的人數和要計算的輪空人數是一致的。假選手碰真的人數：15÷ 2=7 1（ 1 人碰真）7÷2=31（又1人碰真）3÷2=1 1 （又1人碰真）1÷2=01（又1人碰

14、真）所以共有4 人碰真，即比賽中有4 人輪空。上面計算15 名假選手碰真的過程，與把15 表示成二進制的過程完全一致，而碰真人數就是 15 的二進制數中所含 1 的個數。5解：因為這是在二進制中的除法，所以只能在“”中填入 0 或 1 ，并且每個數的最高位必然是 1。我們用字母來表示“”。（ 1）由 M× 1=Y，顯然有Y=M=1 ， U=0 ，并且 L=0，從而商為101；（ 2） J=T=X，是與其他數無關的，所以它們可以同時取0 或同時取1，經檢驗，取1 時無解；（ 3）由余數上推，可以得到其他的數。因此，該式為6解：本題是如何用10 個數來表示從1 到 1000 內的所有數。

15、由于即二進制數中，。這說明，在二進制數中用1 ， 10， 100，1000000000 能表示從1 到中任何數，對應的有，在十進制數中，用1， 2， 4， 8，256， 512這 10 個數能表示從1到 1023 之間的所有自然數。但只有 1000 發子彈，而在第10 個盒子中裝入489 發子彈，即可保證不打開合子就能得到從 1 到 1000 之間任何數目的子彈。7解：這兩個數表示同一個自然數，因而有即 8a=b+15c由題設，a、 b、 c 只能取0、 1、 2三個值， 因為為三位數，所以c 0， 據此 b+15c>15>8所以在等式8a=b+15c， a只能取2，即a=2此時有

16、 b+15c=8 × 2=16只有1+15× 1=16所以b=c=1因此這個自然數的三進制和四進制形式分別為和 ，而在十進制中應為，故所求自然數為22。8解：根據進位特點，兩個數相加最多只能進1，因面 B=1 。此算式中共出現了4 個不同字母，代表著4 個不同的數字，所以至少四進制，至多十進制。分情況討論為：（ 1 ） 當算式為四進制算式時，由 A 和均為兩個四位數的千位數字，因面 A 0， C 0。這樣， A 和 C 只能取 2 或 3。由兩個四位數的百位數字B+B+1=C ，可知C=3，從而A=2、B=1 、 D=0，此算式成立。即（ 2）當算式為五進制時，C+A 的和的個位數字為1 ，因此 C+A 一定超過10，即會向