2023年小學數學壓軸幾何圖形經典30題匯編

01.幾何易錯知識點

一、線、角

1.直線沒有端點，沒有長度，可以無限延伸。

2.射線只有一個端點，沒有長度，射線可以無限延伸，并且射線有方向。

3.在一條直線上的一個點可以引出兩條射線。

4.線段有兩個端點，可以測量長度。圓的半徑、直徑都是線段。

5.角的兩邊是射線，角的大小與射線的長度沒有關系，而是跟角的兩邊叉開的

大小有關，叉得越大角就越大。

6.幾個易錯的角邊關系：

(1)平角的兩邊是射線，平角不是直線。

(2)三角形、四邊形中的角的兩邊是線段。

(3)圓心角的兩邊是線段。

7.兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線

的交點叫做垂足。

8.從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度叫做點到直線的距離。

9.在同一個平面上不相交的兩條直線叫做平行線。

二、三角形

1.任何三角形內角和都是180度。

2.三角形具有穩定的特性，三角形兩邊之和大于第三邊,三角形兩邊之差小于第三邊。

3.任何三角形都有三條高。

4.直角三角形兩個銳角的和是90度。

5.兩個三角形等底等高，則它們面積相等。

6.面積相等的兩個三角形，形狀不一定相同。

三、正方形面積

1.正方形面積：邊長X邊長

2.正方形面積：兩條對角線長度的積+2

四、三角形、四邊形的關系

1.兩個完全一樣的三角形能組成一個平行四邊形。

2.兩個完全一樣的直角三角形能組成一個長方形。

3.兩個完全一樣的等腰直角三角形能組成一個正方形。

4.兩個完全一樣的梯形能組成一個平行四邊形。

五、圓

把一個圓割成一個近似的長方形，割拼成的長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。則長方

形的面積等于圓的面積，長方形的周長比圓的周長增加rx2o

半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。

半圓的周長公式：C=pd,2+d或C=pr+2r

在同一個圓里，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小以上倍

數的平方倍。

六、圓柱、圓錐

把圓柱的側面展開，得到一個長方形，這個長方形的長等于圓柱的底面的周長，寬等于圓柱的高。

如果把圓柱的側面展開，得到一個正方形，那么圓柱的底面周長和高相等。

把一個圓柱沿著半徑切開，拼成一個近似的長方體，體積不變，表面積增加了兩個面，增加的面積是rxh

x2o

把一個圓柱沿著底面直徑劈開，得到兩個半圓柱體，表面積和比原來增加了兩個長方形的面，增加的面積

和是dxhx20

把一個圓柱加工成一個最大的圓錐，那么圓柱與圓錐等底等高，削去的圓柱的體積占圓柱體積的，削去的

圓柱的體積占圓錐體積的2倍。

把一個圓柱截成幾段，增加的表面積是底面圓，增加的面的個數是：截的次數X2。

02.幾何圖形的九大解法

分割法

I例1：將兩個相等的長方形重合在一起，求組合圖形的面積。（單位：厘米）

解：將圖形分割成兩個全等的梯形。

S組=(7-2+7)x2-?2x2=24(平方厘米)

I例2:下列兩個正方形邊長分別為8厘米和5厘米，求陰影部分面積。

解：將圖形分割成3個三角形。

5=5x54-2+5x8-2+(8-5)x5-2=12.5+20+7.5=38(平方厘米)

I例3:左圖中兩個正方形邊長分別為8厘米和6厘米。求陰影部分面積。

解：將陰影部分分割成兩個三角形。

S陰=8x(8+6)+2+8x6+2=56+24=80(平方厘米)

添輔助線

I例1：已知正方形邊長4厘米，A、B、C、D是正方形邊上的中點，P是任意一點。求陰影部分面積。

解：從P點向4個定點添輔助線，由此看出，陰影部分面積和空白部分面積相等。

S陰=4x4+2=8（平方厘米）

I例2將下圖平行四邊形分成三角形和梯形兩部分，它們面積相差40平方厘米，平行四邊形底20.4厘米，

高8厘米。梯形下底是多少厘米？

解：因為添一條輔助線平行于三角形一條邊，發現40平方厘米是一個平行四邊形。

所以梯形下底：40+8=5（厘米）

I例3:平行四邊形的面積是48平方厘米，BC分別是這個平行四邊形相鄰兩條邊的中點，連接A、B、C

得到4個三角形。求陰影部分的面積。

解：如果連接平行四邊形各條邊上的中點，可以看出空白部分占了整個平行四邊形的八分之五，陰影部分

占了八分之三。

S陰=48+8x3=18（平方厘米）

倍比法

2

I例1：已知OC=2AO;SABO=2m,求梯形ABCD的面積。

解：因為0C=2A0,所以SBOC=2x2=4(m2)

SDOC=4x2=8(m2)

SABCD=2+4x2+8=18(m2)

例2:已知S陰=8.75m2,求下圖梯形的面積。

2.5

解：因為7.5+2.5=3(倍)

所以S空=3S陰

S=8.75x(3+1)=35(m2)

例3:下圖AB是AD的3倍，AC是AE的5倍,那么三角形ABC的面積是三角形ADE的多少倍？

A

解：設三角形ADE面積為1個單位。

則SABE=lx3=3SABC=3x5=15

所以三角形ABC的面積是三角形ADE的15倍。

割補平移

I例1：已知S陰=20m2,EF為中位線求梯形ABCD的面積。

解：沿著中位線分割平移，將原圖轉化成一個平行四邊形。從圖中看出，陰影部分面積是平行四邊形面積

一半的一半。

SABCD=20x2x2=80(m2)

I例2:求下圖面積(單位厘米)。

10

?/

//

乃/

t/

5

10

解1:S組=5平行四邊形二10x(5+5)=100(平方厘米)

解2:S組=5平行四邊形=S長方形=5x(10+10)=100(平方厘米)

I例3:把一個長方形的長和寬分別增加2厘米，面積增加24平方厘米。求原長方形的周長。

解：C=(24+2-2)x2=20(厘米)

等量代換

I例1：已知AB平行于EC,求陰影部分面積。

（單位：m）

解:因為AB//EC

所以SAAOE=S^BOC

則S陰=0.5S長方形=10x8+2=40(m2)

例2:下圖兩個正方形邊長分別是6分米、4分米。求陰影部分面積。

解：因為Sl+S2=S3+S2=6x4-?2

所以S1=S3

則S陰=6x6+2=18（平方分米）

等腰直角三角形

I例1：已知長方形周長為22厘米，長7厘米,求陰影部分面積。

解:寬=22+2-7=4（厘米）

S陰=（7+（7-4））x4+2=20（平方厘米）

或S陰=7x4-4x4+2=20（平方厘米）

I例2:已知下列兩個等腰直角三角形，直角邊分別是10厘米和6厘米。求陰影部分的面積。

解：10-6=4（厘米）6-4=2（厘米）

5陰=（6+2）x4+2=16（厘米）

例3:下圖長方形長9厘米，寬6厘米，求陰影部分面積。

解：三角形BCE是等腰三角形

FD=ED=9-6=3（厘米）

S陰=（9+3）x6-2=36（平方厘米）

或S陰=9x9-2-3x3+2=36（平方厘米）

擴倍、縮倍法

例：求左下圖的面積（單位：米）。

30

40

解：將原圖擴大兩倍成長方形，求出長方形的面積后再縮小兩倍，就是原圖形面積。

S=(40+30)x30^2=1050(平方米)

代數法

I例1:圖中三角形甲的面積比乙的面積少8平方厘米，AB=8cm,CE=6cmo求三角形甲和三角形乙的面

積各是多少？

入

BE

解：設AD長為Xcme再設DF長為Ycmo

8X+8=8(6+X)+2

X=4

4Y-2+8=6(8-Y)+2

Y=3.2

S甲=4x3.2+2=6.4(cm，)

S乙=6.4+8=14.4(cm2)

I例2:下圖是一個等腰三角形，它的腰長是20厘米,面積是144平方厘米。在底邊上任取一點向兩腰作

垂線，得a和b，求a+b的和。

220

解：過頂點連接a、b的交點。

20b+2+20a+2=144

10a+10b=144

a+b=14.4

看外高

例1:下圖兩個正方形的邊長分別是6厘米和3厘米，求陰影部分的面積。

解：從左上角向右下角添條輔助線，將s陰看成兩個鈍角三角形。（鈍角三角形有兩條外高）

S陰=$△+$△

=3x(6+3)+2+3x6+2

=22.5（平方厘米）

I例2:下圖長方形長10厘米，寬7厘米，求陰影部分面積。

解：陰影部分是一個平行四邊形。與底邊2厘米對應的高是10厘米。

S陰=10x2=20（平方厘米）

點擊查閱大圖

30道典型幾何題解析

1.【加減法求面積】如圖是一個直徑為3cm的半圓，讓這個半圓以4點為軸沿逆時針方

向旋轉60。，此時8點移動到夕點，求陰影部分的面積.（圖中長度單位為cm,圓周率按

3計算）.

【解析】面積=圓心角為60°的扇形面積+半圓-空白部分面積（也是半圓）=圓心角為

60°的扇形面積=兀x32=—n=4.5（cm2）.

3602

2.【割補法求面積】求下列各圖中陰影部分的面積（圖中長度單位為cm,圓周率按3計

算）：

【解析】由于陰影I的面積比陰影II的面積小25cm2,根據差不變原理，直角三角形

/8C面積減去半圓面積為25cm2,則直角三角形ABC面積為

?(8丫

~7rx—+25=871+25(071?),

2\2J

BC的長度為(8兀+25)x2+8=2兀+6.25=12,53(cm).

4.【等量代換】下圖(單位：厘米)是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面

【解析】所求面積等于圖中陰影部分的面積，為(20-5+20)x8+2=140(平方厘米).

5.1等面積變形】如下圖，長方形及以和長方形尸女￡拼成了長方形力88,長方形

力8CQ的長是20,寬是12,則它內部陰影部分的面積是多少？

因為^EBD=60°,那么/ABE=12伊,

則陰影部分為一圓環的;.

7.【圖形與平移】用同樣大小的瓷磚鋪一個正方形地面，兩條對角線上鋪黑色的，其它

地方鋪白色的，如圖所示.如果鋪滿這塊地面共用101塊黑色瓷磚，那么白色瓷磚用了多

少塊？

【解析】我們可以讓靜止的髡磚動起來，把對角線上的黑瓷痔，通過平移這種動態的

處理，移到兩條邊上（如圖2）.在這一轉化過程中瓷磚的位置發生了變化，但數量沒

有變，此時白色瓷磚組成一個正方形.大正方形的邊長上能放（101+1）+2=51（塊），白

色瓷磚組成的正方形的邊長上能放：51-1=50（塊），所以白色瓷豉共用了：

把三角形048繞頂點O逆時針旋轉，使長為13的兩條邊重合，此時三角形

048將旋轉到三角形的位置.這樣，通過旋轉后所得到的新圖形是一個

邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.

因此，原來四邊形的面積為12x12=144.(也可以用勾股定理)

10.【巧求周長】下圖中的陰影部分4CG/是正方形，線段777長18厘米，線段4C長

24厘米，則長方形力的周長是厘米,

【解析】本題需要注意，長方形/。/力的寬應等于正方形8CG下的邊長.

由于圖中陰影部分8CG/7是個正方形，其四條邊的邊長都相等，且等于長方形4DHE的

寬.H7+4C的和應為長方形4DHE的長加上正方形BCGF的邊長，所以等于長方形

力力HE的長與寬之和.所以長方形4DHE的周長為:(18+24)x2=84厘米.

一個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心.則花瓣圖形的面積是多少平方厘米？（兀取

3）

【解析】本題直接計算不方便，可以利用分割移動湊成規則圖形來求解.

如右上圖，連接頂角上的4個圓心，可得到一個邊長為4的正方形.可以看

出，與原圖相比，正方形的每一條邊上都多了一個半圓，所以可以把原花瓣

圖形的每個角上分割出一個半圓來補在這些地方，這樣得到一個正方形，還

剩下4個1圓，合起來恰好是一個圓，所以花瓣圖形的面積為

4

42+TTX12=19（平方厘米）.

14.【曲線型面積】如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以AB、BC、CD、DA分別為直

徑畫半圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積.（兀取3）

4DAD

【解析】根據題意可知，挖去的6個邊長1厘米的正方體相互之間是獨立的，所以挖

去之后，原正方體的表面積相當于增加了六個小正方體的側面積，所以現在它的表面

積為：4x4x6+1x1x4x6=120平方厘米.

16.【共高模型】如圖，把四邊形ABCD的各邊都延長2倍，得到一個新四邊形EFGH

如果ABCD的面積是5平方厘米，則EFGH的面積是多少平方厘米？

【解析】如下圖，連接BD,ED,BG,

17A

有^EAD、aADB同高，所以面積比為底的比，有—S.)=25,加.

AB

【解析】如圖，連接AE.BD,因為AD//BC則：S^PDC=S△的，又ABHED,則:

SgAD~S^EBD，所以'

S陰影=S△砂/)+S^PDC~SMPD+S△a/M=S4EDA=5s△4)Q,二^x6.36=3.18(平方厘米)

18.【一半模型】一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的

15%,黃色三角形面積是2k用.問：長方形的面積是多少平方厘米？

(法2)三視圖法.從前后面觀察到的面積為5?+3?+2?=38平方厘米，從左右

兩個面觀察到的面積為9+3?=34平方厘米，從上下能觀察到的面積為

5?=25平方厘米.

表面積為(38+34+25)x2=194(平方厘米).

20.【表面積計算】用棱長是1厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問該圖形的表

面積是多少平方厘米？

【解析】該圖形的上、左、前三個方向的表面分別由9、7、7塊正方形組成.

該圖形的表面積等于(9+7+7)x2=46個小正方形的面積，所以該圖形表面積

為46平方厘米.

△DEC的面積相等，設為)，平方厘米，那么△。石尸的面積為:y平方厘米.

S^Bcn=2x4-2y=1?=x+—y=lx—=—.所以有(二.比較②、①式，②

式左邊比①式左邊多2K,②式右邊比①式右邊大0.5,有2x=0.5,即

.7S5

X=0.25v=0.25.而陰影部分面積為VH—v=—x0.25=—平方厘米.

r3312

23.【周長與面積】如圖，大長方形的面積是小于200的整數，內部有三個邊長為整數的

正方形A、B、C,正方形B的邊長是長方形長的7/16,正方形C的邊長是長方形寬的

1/4,那么剩余黑色區域的面積是多少？

97

1616

BB

3

AA

1

cC

25.【面積與重疊】奧運會的會徽是五環圖，一個五環圖是由內圓直徑為6厘米，外圓直

徑為8厘米的五個環組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等，己知

五個圓環蓋住的面積是77.1平方厘米，求每個小曲邊四邊形的面積?（兀=3.14）

【解析】⑴每個圓環的面積為：兀x4?-兀x32=77t=21.98（平方厘米）；

⑵五個圓環的面積和為：21.98x5=109.9（平方厘米）；

⑶八個陰影的面積為：109.9-77.1=32.8（平方厘米）；

⑷每個陰影的面積為：32.8+8=41（平方厘米）.

26.【圓柱體表面積】如圖是一個半徑為4厘米，高為4厘米的圓柱體，在它的中間依次

向下挖半徑分別為3厘米、2厘米、1厘米，高分別為2厘米、1厘米、0.5厘米

的圓柱體，則最后得到的立體圖形表面積是多少平方厘米？

【解析】100毫升的吊瓶在正放時，液體在100毫升線下方，上方是空的，容積是多

少不好算.但倒過來后，變成圓柱體，根據標示的格子就可以算出來.

由于每分鐘輸2.5毫升，12分鐘已榆液2.5x12=30（毫升），因此開始輸液時

液面應與50毫升的格線平齊，上面空的部分是50毫升的容積.所以整個吊瓶的容積

是100+50=150（毫升）.

28.【表面積變化】如圖