1、第五章 線性定常系統的狀態反饋和狀態觀測器設計 閉環系統性能與閉環極點（特征值）密切相關，經典控制理論用輸出反饋或引入校正裝置的方法來配置極點，以改善系統性能。而現代控制理論由于采用了狀態空間來描述系統，除了利用輸出反饋以外，主要利用狀態反饋來配置極點。采用狀態反饋不但可以實現閉環系統極點的任意配置，而且還可以實現系統解耦和形成最優控制規律。然而系統的狀態變量在工程實際中并不都是可測量的，于是提出了根據已知的輸入和輸出來估計系統狀態的問題，即狀態觀測器的設計。§5-1 狀態反饋與閉環系統極點的配置一、狀態反饋1、狀態反饋的概念狀態反饋就是將系統的每一個狀態變量乘以相應的反饋系數反饋到

2、輸入端與參考輸入相加，其和作為受控系統的輸入。設SISO系統的狀態空間表達式為：狀態反饋矩陣為，則狀態反饋系統動態方程為：式中：為矩陣，即，稱為狀態反饋增益矩陣。稱為閉環系統矩陣。閉環特征多項式為。可見，引入狀態反饋后，只改變了系統矩陣及其特征值，陣均無變化。【例5.1.1】已知系統如下，試畫出狀態反饋系統結構圖。 ， 解： 其中稱為狀態反饋系數矩陣或狀態反饋增益矩陣。 說 明：如果系統為維輸入、維輸出的MIMO系統，則反饋增益矩陣是一個維矩陣。即2、狀態反饋增益矩陣的計算控制系統的品質很大程度上取決于該系統的極點在平面上的位置。因此，對系統進行綜合設計時，往往是給出一組期望的極點，或者根據時

3、域指標提出一組期望的極點。所謂極點配置問題就是通過對反饋增益矩陣的設計，使閉環系統的極點恰好處于s平面上所期望的位置，以便獲得期望的動態特性。本節只討論SISO系統的極點配置問題，因為SISO系統根據指定極點所設計的狀態反饋增益矩陣是唯一的。定理5.1: 用狀態反饋任意配置極點的充要條件是：受控系統可控。證 明：（1）充分性： 設受控系統可控，則一定可通過線性變換（即），將A、b化為可控標準型。 ， 在變換后引入狀態反饋增益矩陣故變換后的狀態反饋系統的動態方程為其中：閉環特征多項式為設閉環系統的期望極點為，則系統的期望特征多項式為欲使閉環系統的極點取期望值，只需令即只要適當選擇，就可以任意配置

4、閉環極點。（2）必要性 若受控系統不可控，必有狀態變量與無關，則，中一定有元素不存在，所以不可控子系統的特征值不可能重新配置。按指定極點配置設計狀態反饋增益矩陣的一般步驟如下：（1）對給定可控系統，進行P變換，即，化成可控標準型其中：，（2）導出在可控標準型下的閉環系統的特征多項式（3）根據閉環系統極點的期望值，導出閉環系統的期望特征多項式（4）確定對于可控標準型下的狀態變量的反饋增益矩陣（5）把化成對于給定狀態變量對應的【例5.1.2】已知SISO系統的傳遞函數為 試設計狀態反饋增益矩陣使閉環極點配置在-2，。解：由于SISO系統的無零極點對消，故系統可控。可直接寫出可控標準型。 ，設狀態反

5、饋增益矩陣為： 狀態反饋系統的特征方程為期望閉環極點對應的閉環系統期望特征方程為：令，可得 故狀態反饋系統結構圖分析說明：在例中，由于傳遞函數的實現一開始就采用了可控標準型，從而可以比較簡單地計算出反饋增益矩陣，對閉環系統進行極點配置。但是從工程實際上看，可控標準型實現的狀態變量的信息在物理上是很難采集的，如果要使設計出來的能在實際系統中方便地建立起來，應該盡可能地選擇那些其狀態變量在物理上容易采集的實現作為系統的實現。 比如例5.1.2中，選擇串聯分解所得到的動態方程作為系統實現就較為合理。即受控系統結構圖原受控系統的動態方程為： ， 設狀態反饋增益矩陣為： 狀態反饋系統的特征方程為期望閉環

6、極點對應的閉環系統期望特征方程為：令，可得 故狀態反饋系統結構圖結 論： 求解實際問題的狀態反饋增益矩陣時，沒有必要象定理5.1證明那樣去進行可控標準型的變換，只要先驗證受控系統可控，并計算及期望特征多項式，由，便可確定狀態反饋增益矩陣。【例5.1.3】已知SISO系統的傳遞函數為 試研究采用狀態反饋使閉環極點配置在-2，的可能性。解：該SISO系統的傳遞函數存在零極點對消。（1）若選擇可控標準型實現（便不可觀測），仍可以配置極點，方法步驟同【例5.1.2】。（2）若選擇可觀測標準型實現（便不可控） ， 設狀態反饋增益矩陣為： 狀態反饋系統的閉環狀態矩陣為狀態反饋系統的特征方程為期望閉環極點對

7、應的閉環系統期望特征方程為：令，可得 方程組無解，即這種情況下用狀態反饋不能配置極點。二、閉環系統期望極點的選取總的來說，系統的性能主要取決于閉環主導極點，而遠極點只有微小的影響。也就是說，把系統看作是一個其極點就是主導極點對的二階系統。可根據動態指標和來確定期望主導極點的位置： （為期望的主導極點）【例5.1.4】試設計如圖所示系統的狀態反饋增益矩陣，使閉環系統滿足下列動態指標： （1）輸出超調量 （2）調節時間秒解：確定閉環系統的期望主導極點，由解出，則令第三個極點故由，有故§5-2 狀態反饋對可控性與可觀測性的影響定理5.2: 若線性定常系統是可控的，則狀態反饋所構成的閉環系統

8、也一定是可控的。定理5.3: 狀態反饋可能影響系統的可觀測性。 說明：當任意配置的極點與零點存在對消時，狀態反饋系統的可觀測性將會改變，從而不能保持原受控系統的可觀測性。如果原受控系統不含閉環零點，則狀態反饋系統能保持原有的可觀測性。定理5.4: 引入狀態反饋前后，系統零點不發生改變。【例5.2.1】若原系統的傳遞函數為： 試求使狀態反饋閉環系統的傳遞函數為 的狀態反饋增益矩陣。解：比較和可知，中應含有的零點，故應為設，期望閉環極點為：-2，-2，-3。原系統無零極點對消，系統完全可控，寫出其可控標準型 ，由，有 故【例5.2.2】給定開環系統的傳遞函數為：要求用狀態反饋將閉環極點配置到，試計

9、算狀態反饋增益矩陣，并說明所得到的閉環系統是否可觀測。解：原系統無零極點對消，故完全可控，可控標準型為 ， 設由，有故 狀態反饋不改變系統零點，不改變系統可控性。然而反饋后系統在處出現零極點對消，所以閉環系統必不可觀測。【例5.2.3】系統狀態方程如下試判定系統是否可用狀態反饋分別配置以下兩組閉環極點和，若能配置，則求出反饋增益矩陣。解：，系統不可控，所以不能實現極點的任意配置。 考慮原系統的特征值有一個特征值本來就在處，而且由狀態方程可以看出，正是該特征值對應的狀態不可控，所以可利用系統的可控子系統將另兩個極點配置到，實現第一組閉環特征值的配置。設，其中，由，有故時，可將閉環極點配置到。 系

10、統用狀態反饋不能實現第二組閉環極點的配置。§5-3 狀態反饋下閉環系統的鎮定問題一、漸近穩定漸近穩定：線性定常系統的漸近穩定與經典控制理論中的穩定性一致。- 初始狀態- 平衡狀態二維空間漸近穩定的幾何解釋示意圖 所謂鎮定問題是指受控系統通過狀態反饋使閉環系統的極點具有負實部，使系統漸近穩定。顯然，鎮定問題是極點配置問題的一種特殊情況。其設計目標是使閉環極點分布在復平面左側，而不是嚴格位于指定的位置。二、狀態可鎮定定義定義5.1（狀態可鎮定定義）：對于線性定常系統，如果存在狀態反饋增益矩陣，使得閉環系統是漸近穩定的，則稱此系統是狀態可鎮定的。結 論： 如果完全可控，則它必然是可鎮定的。

11、但是一個可鎮定的系統未必是完全可控的。定理5.5： 線性定常系統是狀態可鎮定的充要條件是：其不可控子系統是漸近穩定的。【例5.3.1】已知系統狀態方程為試判別其是否為可鎮定的。若是可鎮定的，試求一狀態反饋增益矩陣使閉環系統為漸近穩定的。解：（1）判別系統可控性 ，故系統不完全可控。（2）將系統按可控性進行規范分解。 ，故而變換后系統的動態方程為：式中： 可控子系統動態方程：不可控子系統動態方程：可見，由可得到，故不可控子系統是穩定的，所以該系統是可鎮定的。（3）對可控子系統作狀態反饋，使系統成為穩定的。設對于變量的反饋系數矩陣為則可控子系統的閉環特征多項式為 其中：，欲使系統穩定，根據勞斯穩定

12、判據：為保證系統穩定，應有 取 取即（4）對于系統原狀態下的狀態反饋系數矩陣為§5-4 輸出反饋與極點配置 經典控制理論中所討論的反饋都是輸出反饋，輸出反饋有兩種形式： （1）將輸出量反饋至狀態微分處 （2）將輸出量反饋至參考輸入處一、輸出反饋至狀態微分1、MISO系統動態方程 ， 輸出反饋系統動態方程為： ， 即 ， 其中：為輸出反饋系數矩陣。定理5.6: 用輸出至狀態微分處的反饋任意配置閉環極點的充要條件是：受控系統可觀測。注 意： 輸出至狀態微分處的反饋系統保持原系統的可觀測性和零點，卻不一定能保持原系統的可控性。2、輸出至狀態微分處的輸出反饋增益矩陣的設計根據期望閉環極點設計

13、的方法是：將期望特征多項式與該輸出反饋系統的特征多項式相比較即可。【例5.4.1】已知系統傳遞函數為試設計輸出至狀態微分的反饋增益陣，使閉環系統的極點為，。解：SISO系統不存在零極點對消，故系統可觀測。可觀測標準型為： ， 令 令，有故二、輸出至參考輸入的反饋MISO輸出至參考輸入處的反饋系統結構圖 ， 即結 論：輸出至參考輸入的反饋不會改變受控系統的可控性和可觀測性。§5-5 狀態觀測器的設計狀態觀測器又稱狀態估計器、狀態重構器。本節只討論系統在無噪聲干擾條件下的狀態觀測器設計問題。當利用狀態反饋配置系統極點時，需要用傳感器測量狀態變量以便實現反饋。但在許多情況下，通常只有被控對

14、象的輸入量和輸出量可以用傳感器測量，而多數狀態變量不易測得或不可能測得，于是提出了利用輸入量和輸出量建立狀態觀測器而重構狀態的問題。一、全維狀態觀測器 全維狀態觀測器：重構狀態向量的維數等于受控系統狀態向量的維數。全維狀態觀測器原理結構圖狀態觀測器部分 原受控系統動態方程為： ， 全維狀態觀測器的動態方程為：也可寫成： 式中：稱為全維狀態觀測器系統矩陣。 為維矩陣：為受控系統的特征多項式最高次冪，為輸出向量維數。現在關鍵在于分析能否在任何初始條件下，其與盡管不同，但總能滿足分析：由于故上述方程的解為： 當時，恒有，所引入的輸出反饋并不起作用；當時，為使，輸出反饋起作用。這時只要的特征值具有負實

15、部。當時，總有 成立。定理5.7:若受控系統可觀測，則其狀態可用形如的全維狀態觀測器給出估值。矩陣按任意配置極點的需要來選擇。注 意：要求（或希望）觀測器的響應速度稍快于受控系統的響應速度。【例5.5.1】已知受控系統傳遞函數為若其狀態不能直接量測，試設計一狀態觀測器使的極點配置在。解：(1)列寫受控系統的狀態空間表達式。因不存在零極點對消，故系統可控可觀測。（注意：設計狀態觀測器的前提是系統完全可觀測）可控標準型為： ， （2）由于，故 （3）全維狀態觀測器系統矩陣為（4）全維狀態觀測器特征多項式為（5）期望特征多項式為（6）令，有故受控對象部分全維狀態觀測器部分 【例5.5.2】已知SIS

16、O系統的動態方 ， 試設計一狀態觀測器，使的極點配置在。解：（1）判別可觀測性： ，故系統狀態完全可觀測。（2）由于，故 （3）全維狀態觀測器的特征多項式為：（5）期望特征多項式為（6）令，有 ，全維狀態觀測器結構圖受控系統結構圖所以二、帶有全維狀態觀測器的狀態反饋系統 狀態觀測器的建立為那些狀態變量不能直接量測的系統實現狀態反饋創造了條件。然而這種依靠狀態觀測器所構成的狀態反饋系統和直接進行狀態反饋的系統畢竟是不同的。本節主要討論在帶有狀態觀測器的狀態反饋系統中，其狀態反饋增益矩陣和觀測器的反饋矩陣怎樣設計。定理5.8（分離定理）: 若受控系統可控可觀測，用狀態觀測器估值形成狀態反饋時，其系統的極點配置和觀測器設計可分別獨立進行，即狀態反饋增益矩陣和觀測器反饋矩陣的設計可分別獨立進行，互不干擾。用全維狀