1、第十七章多元函數微分學§1可微性一可微性與全微分：1可微性：由一元函數引入 .亦可寫為,時.2全微分 :例 1考查函數在點處的可微性 .P107例 1二.偏導數 :1. 偏導數的定義、記法 :2. 偏導數的幾何意義 :P109 圖案 17 1.3. 求偏導數 :例2,3,4.P109110例2,3,4.例5.求偏導數.例6.求偏導數.例 7. 求偏導數 ,并求.例 8.求和.解=,=.例 9證明函數在點連續,并求和.證.在點連續.,不存在 .三.可微條件 :1. 必要條件 :Th 1設為函數定義域的內點 .在點可微 ,和存在,且.(證 )由于,微分記為.定理 1 給出了計算可微函數全

2、微分的方法.兩個偏導數存在是可微的必要條件,但不充分 .例 10考查函數在原點的可微性 .1P110例 5 .2. 充分條件 :Th 2若函數的偏導數在的某鄰域內存在,且和在點處連續 .則函數在點可微.(證)P111Th 3若在點處連續 ,點存在 ,則函數在點可微.例 11證因此,即,在點可微,.但時,有,沿方向不存在 ,沿方向極限不存在;又時 ,因此,不存在,在點處不連續 .由四 .關于 和中值定理:對稱 ,也在點處不連續.Th 4設函數在點的某鄰域內存在偏導數.若屬于該鄰域,則存在和,使得. (證)例12設在區域D 內.證明在D 內.五.連續、偏導數存在及可微之間的關系：六.可微性的幾何意

3、義與應用：1可微性的幾何意義：切平面的定義 . P113.Th 5曲面切平面的充要條件是函數在點在點可微.存在不平行于(軸的證略 )2.切平面的求法 :設函數在點可微 ，則曲面在點處的切平面方程為（ 其中），法線方向數為，法線方程為.例 13試求拋物面在點處的切平面方程和法線方程 .P115例 63. 作近似計算和誤差估計 :與一元函數對照 , 原理 .例 14求的近似值 .P115例 7例 15應用公式計算某三角形面積 .現測得,. 若測量的誤差為的誤差為.求用此公式計算該三角形面積時的絕對誤差限與相對誤差限.P116.§ 2復合函數微分法;,;.一.鏈導法則 :以“外二內二”型復

4、合函數為例.Th設函數在點D可微 ,函數在點可微 ,則復合函數在點可微,且,.(證) P118稱這一公式為 鏈導公式 . 該公式的形式可在復合線路圖中用所謂 “分線加 ，沿線乘” 或“并聯加 ，串聯乘” ）來概括 .對所謂“外三內二”、 “外二內三”、 “外一內二”等復合情況，用 “并聯加 ，串 聯乘” 的原則可寫出相應的鏈導公式 .鏈導公式中內函數的可微性可減弱為存在偏導數 . 但對外函數的可微性假設不能減弱 .對外元,內元,有，.外元內一元的復合函數為一元函數.特稱該復合函數的導數為全導數.例1.求和.P12例2,.求和.例 3, 求和.例 4設函數可微 . 求、和.例 5用鏈導公式計算下

5、列一元函數的導數:>>.P121例4例 6設函數可微 .在極坐標變換下 ,證明.P120例 2例7設函數可微,.求證.二 . 復合函數的全微分 : 全微分和全微分形式不變性 .例 8. 利用全微分形式不變性求, 并由此導出和.P122 例 5§ 3方向導數和梯度一方向導數：1方向導數的定義：定義設三元函數在點的某鄰域內有定義 .為從點出發的射線 .為上且含于內的任一點 ,以表示與兩點間的距離 .若極限存在 ,則稱此極限為函數在點沿方向的方向導數 ,記為或、.對二元函數在點,可仿此定義方向導數.易見 ,、和是三元函數在點分別沿軸正向、軸正向和軸正向的方向導數.例1=.求在點

6、處沿方向的方向導數 , 其中>為方向;>為從點到點的方向 .解>為方向的射線為.即.,.因此 ,>從點到點的方向的方向數為方向的射線為.,;.因此 ,2. 方向導數的計算 :Th若函數在點可微 ,則在點處沿任一方向的方向導數都存在,且+,其中、和為的方向余弦.(證)P125對二元函數,+,其中和是的方向角 .註由+=,可見 ,為向量,在方向上的投影 .例2( 上述例1)解>的方向余弦為=,=,= .=1,=,=.因此,=+=. >的方向余弦為=,=,=.因此,=.可微是方向導數存在的充分條件,但不必要 .例3 P126.二 .梯度 ( 陡度):1.梯度的定義

7、:,.|=.易見 ,對可微函數,方向導數是梯度在該方向上的投影.2. 梯度的幾何意義 : 對可微函數 , 梯度方向是函數變化最快的方向 .這是因為|.其中是與夾角.可見時取最大值,在的反方向取最小值 .3. 梯度的運算 :>.>(+)=+.>()=+.>.>()=.證>,.§ 4Taylor 公式和極值問題一、高階偏導數 :1. 高階偏導數的定義、記法：例 9求二階偏導數和.P128例 1例 10.求二階偏導數 .P128例 22. 關于混合偏導數 : P129 131.3. 求含有抽象函數的二元函數的高階偏導數 :公式 , P131-132例11

8、.求和.P132例34. 驗證或化簡偏微分方程 :例 12.證明+. (Laplace 方程 )例 13將方程變為極坐標形式 .解.,.,;因此,.方程化簡為.例 14試確定和,利用線性變換將方程化為.解,.=+=+2+.=+=+.=+.因此 ,+(+.令,或或,此時方程化簡為.二中值定理和泰肋公式：凸區域 .Th 1設二元函數在凸區域 D上連續 ,在 D的所有內點處可微.則對 D內任意兩點D ,存在,使.證令.系若函數在區域 D上存在偏導數 ,且,則是 D上的常值函數 .二 .Taylor 公式 :Th 2 ( Taylor 公式 )若函數在點的某鄰域內有直到階連續偏導數 ,則對內任一點,

9、存在相應的,使證 P134例 1求函數在點的 Taylor 公式 (到二階為止 ) .并用它計算P135 136 例 4 .三 .極值問題 :1. 極值的定義 : 注意只在內點定義極值 .例 2 P136例 52極值的必要條件： 與一元函數比較.Th 3設為函數的極值點 .則當和存在時 ,有=.(證)函數的駐點、不可導點， 函數的可疑點 .3. 極值的充分條件 :代數準備:給出二元( 實) 二次型.其矩陣為. >是正定的 ,順序主子式全,是半正定的 ,順序主子式全; >是負定的 ,其中為階順序主子式 .是半負定的 ,.><0 時,是不定的.充分條件的討論 :設函數在點某鄰域有二階連續偏導數 .由 Taylor 公式 ,有+.令,則當為駐點時,有. 其中.可見式的符號由二次型完全決定 . 稱該二次型的矩陣為函數的 Hesse 矩陣 .于是由上述代數準備 ,有>,為(嚴格)極小值點 ;>,為(嚴格)極大值點 ;>時,不是極值點 ; >時,可能是極值點 ,也可能不是極值點.綜上 ,有以下定理 .Th 4設函數在點的某鄰域內有連續的二階偏導數,是駐點 .則>