1、6.5 線性變換的矩陣表示式 上頁下頁鈴結束返回首頁 設A是一個n階矩陣 則關系式T(x)Ax (xRn)表示Rn中的一個線性變換. 反之 Rn中任何線性變換T 都能用關系式T(x)Ax (xRn)表示 其中A(T(e1) T(e2) T(en). 上頁下頁鈴結束返回首頁v線性變換的矩陣 設T是線性空間Vn中的線性變換 在Vn中取定一個基 1 2 n 如果這個基在變換T下的像為 T( i)a1i 1a2i 2 ani n (i1 2 n) 記T( 1 2 n)(T( 1) T( 2) T( n) 上式可表示為 T( 1 2 n)( 1 2 n)A其中 nnnnnnaaaaaaaaaA21222

2、2111211 那么 A就稱為線性變換T在基 1 2 n下的矩陣. 顯然 矩陣A由基的像T( 1) T( 2) T( n)唯一確定. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 將矩陣A作為線性變換T在基 1 2 n下的矩陣 變換T滿足什么關系？ Vn中的任意元素記為 x1 1x2 2 xn n( 1 2 n)x 其中x(x1 x2 xn)T 有 T(x1 1x2 2 xn n)x1T( 1)x2T( 2) xnT( n) (T( 1) T( 2) T( n)x ( 1 2 n)Ax 即 T( 1 2 n)x( 1 2 n)Ax. 討論 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 將矩陣A作為線性變換T在基 1 2 n下的矩

3、陣 變換T滿足什么關系？ Vn中的任意元素記為 x1 1x2 2 xn n( 1 2 n)x 其中x(x1 x2 xn)T 有 T( 1 2 n)x( 1 2 n)Ax. 討論 這個關系式唯一地確定一個變換T 可以驗證所確定的變換T是以A為矩陣的線性變換. 總之 以A為矩陣的線性變換T由關系式T( 1 2 n)x( 1 2 n)Ax.唯一確定. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 在Vn中取定一個基以后 由線性變換T可唯一確定一個矩陣A 由一個矩陣A也可唯一地確定一個線性變換T 這樣 在線性變換與矩陣之間就有一一對應的關系. 由關系式T( 1 2 n)x( 1 2 n)Ax可見 與T( )在基 1 2

4、 n下的坐標分別為x(x1 x2 xn)T與AxA(x1 x2 xn)T. 結論 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例1 在Px3中 取基p1x3 p2x2 p3x p41求微分運算D的矩陣. 解 D(p1 p2 p3 p4) (3x2 2x 1 0) (3p2 2p3 p4 0) 0100002000030000) , , ,(4321pppp 即微分運算D的矩陣為 0100002000030000A. 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例2 在R3中 T表示將向量投影到xOy平面的線性變換 即T(xiyjzk)xiyj. (1)取基為i j k 求T的矩陣 (2)取基為 i j ijk 求T的矩陣.

5、解(1) 000010001) , ,(kji 即T的矩陣為 000010001A. (i j 0) 解(2) (i j ij) T(i j ijk) 000110101) , ,(kji 即T的矩陣為 000110101A. T(i j k) T( )下頁上頁下頁鈴結束返回首頁v定理1 設線性空間Vn中取定兩個基 1 2 n 1 2 n 由基 1 2 n到基 1 2 n的過渡矩陣為P Vn中的線性變換T在這兩個基下的矩陣依次為A和B 那么BP1AP. 按定理的假設 有 ( 1 2 n)( 1 2 n)P P可逆 及 T( 1 2 n)( 1 2 n)A T( 1 2 n)( 1 2 n)B

6、于是 ( 1 2 n)BT( 1 2 n)T( 1 2 n)P T( 1 2 n)P( 1 2 n)AP ( 1 2 n)P1AP 因為 1 2 n線性無關 所以BP1AP. 證明 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 例3 設V2中的線性變換T在基 1 2下的矩陣為22211211aaaaA 求T在基 2 1下的矩陣. 解 0110) ,() ,(2112 即 0110P 求得 01101P 于是T在基 2 1下的矩陣為 1112212222211211101100110aaaaaaaaAPPB1112212222211211101100110aaaaaaaaAPPB1112212222211211101100110aaaaaaaaAPPB. 下頁