1、第十講：定比分點、平移、正余弦定理1若，則稱點分有向線段所成的比為。注意：“定比”不是“比”，點分有向線段所成的比，是用數乘向量定義的，而不是兩個向量的比。當為外分點時為負，內分點時為正，為中點時=1，若起點(x1,y1)，終點(x2,y2)，則分點(x0,y0)的坐標為：x0=,y0=。由此推出：中點公式及三角形的重心公式:在ABC中，若A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），則ABC的重心G（，）。舉例1設O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一個動點，若，則的去值范圍是：A1 B1-1 C1+ D1-1+解析：思路一：，即P分有向線段所成的比為，由定比

2、分點坐標公式得：P（1-，）,于是有=（1-，），=(-1,1),=（，-），=（-1，1-），-1+(-1)- (1-)22-4+101-1+。思路二：記P(x,y)，由得：(x-1,y)=(-, )x=1-,y=即P（1-，），以下同“思路一”。思路三：=(-1,1)，=（-，），=（，-），=（1-，），新課程教育=（-1，1-），以下同“思路一”。舉例2已知ABC中，點B（-3，-1），C（2，1）是定點，頂點A在圓（x+2）2+(y-4)2=4上運動，求ABC的重心G的軌跡方程。解析：記G（x,y）,A(x0,y0),由重心公式得：x=,y=,于是

3、有：x0=3x+1,y0=3y，而A點在圓（x+2）2+(y-4)2=4上運動，（3x+1+2）2+(3y-4)2=4,化簡得：。新課程教育鞏固已知P是曲線C：y=xn(nN)上異于原點的任意一點，過P的切線分別交X軸，Y軸于Q、R兩點，且，求n的值。遷移已知是定義在R上的單調函數，實數， ，若，則（ ）ABCD2.關注點、函數圖象（曲線）按某向量平移導致的坐標、解析式（方程）的變化；點M(x,y)按向量(m,n)平移得到點M(x+m,y+n)；曲線C：f(x,y)=0按向量(m,n)平移得到曲線C/：f(x-m,y-n)=0。函數圖象（曲線）按某向量平移的

4、問題可以先“翻譯”成向左（右）、向上（下）平移，再按函數圖象變換的規律“圖進標退”操作。注意：向量無論怎樣平移，其坐標都不發生變化。舉例 將直線x-by+1=0按向量=（1，-1）平移后與圓x2-4x+y2+3=0相切，則k= 。解析：思路一：直線：x-by+1=0按向量平移即“向右、向下各平移1個單位”，亦即：x變為x-1，y變為y+1，得直線：x-by-b=0，圓：(x-2)2+ y2=1, 直線與圓相切，則有：新課程教育得b=。思路二：圓M：(x-2)2+ y2=1按向量-平移（x變成x+1,y變成y-1）后得：圓M/：(x-1)2+(y-1)2=1,

5、 圓M/與直線：x-by+1=0相切，有得b=。思路三：圓心M（2，0）按向量-平移后得M/（1，1），M/到直線的距離為1。來源:新課程教育鞏固1已知點A（1，2）、B（4，2），向量按=（1，3）平移后所得向量的坐標為（ ）（A）（3，0） （B）（4，3） （C）（-4，-3） （D）（-4，3）來源:新課程教育鞏固2若把一個函數的圖象按=（，2）平移后得到函數y=cosx的圖象，則原圖象的函數解析式為 ： Ay=cos(x+)2； By=cos(x)2；Cy=cos(x+)+2； Dy=cos(x)+2 遷移已知函

6、數f(x)= -sinxcosx+3cos2x-,xR（1） 將f(x)表示成Asin(2x+)+B的形式（其中A>0,0<<2）（2） 將y=f(x)的圖象按向量平移后，所得到的圖象關于原點對稱，求使| 得最小的向量。3三角形內的三角函數問題中，既涉及到邊又涉及到角時，往往需要進行邊角轉換，正、余弦定理是實現三角形邊角轉換的僅有的工具。對a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的齊次式，可以直接用正弦定理轉換；而對a、b、c平方的和差形式，常用余弦定理轉換。舉例1 ABC的三內角的正弦值的比為4：5：6，則三角形的最大角為 。解析：由正弦定理得：ABC三邊的比為4：5：

7、6，不妨設a=4k,b=5k,c=6k,(k>0)則邊c所對的角C為最大角，cosC=,C=arccos。舉例2在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a2+b2=6c2,則的值為 解析：對“切化弦”得：，再由正弦定理得新課程教育，再對cosC使用余弦定理得：，將a2+b2=6c2,代入接得原式等于。鞏固1 若ABC三邊成等差數列，則B的范圍是 ；若ABC三邊成等比數列，則B的范圍是 ；鞏固2若三角形三邊a、b、c滿足a2+c2=b2+ac，且a:c=:2，求角C的大小。遷移已知ABC中，sinA(sinB+cocB)=sinC,BC=3,

8、則ABC的周長的取值范圍是 。4關注正弦定理中的“外接圓”直徑，涉及三角形外接圓直徑的問題多用正弦定理。ABCPO舉例 ABC中，AB=9，AC=15，BAC=1200，它所在平面外一點P到ABC三個頂點的距離是14，那么點P到平面ABC的距離是： 。解析：記P在平面ABC上的射影為O，PA=PB=PCOA=OB=OC，即O是ABC的外心，只需求出OA（ABC的外接圓的半徑），記為R，在ABC中由余弦定理知：BC=21，在由正弦定理知：2R=14，OA=7得：PO=7。鞏固已知O的半徑為R，若它的內接ABC中，2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,求（1）C的大小；（2）ABC的

9、面積的最大值。遷移直線：過點，若可行域的外接圓直徑為，則實數的值是_5正、余弦定理是解三角形的最主要工具；涉及三角形中的兩個（或三個）角的問題常用正弦定理，只涉及三角形中的一個角常用余弦定理。關注兩定理在解相關實際問題中的運用。新課程教育舉例1已知ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,且BC邊上的高為,則的最大值為：A.2 B. C. 2 D.4BCAD解析：=，這個形式很容易聯想到余弦定理：cosA= 而條件中的“高”容易聯想到面積， 來源:新課程教育即 ，將代入得：=2（cosA+sinA）=2sin(A+)

10、，當A=時取得最大值2，故選A。舉例2 如圖，已知A、B、C是一條直路上的三點，AB與BC各等于1千米，從三點分別遙望塔M，在A處看見塔在北偏東450方向，在B處看見塔在正 東方向，在C處看見塔在南偏東600方向，求塔到直路ABC的最短距離。 解析：已知AB=BC=1，AMB=450，CMB=300，CMA=750易見MBC與MBA面積相等，AM450= CM300即CM= AM，記AM=，則CM=，在MAC中，AC=2，由余弦定理得：新課程教育4=32-22cos750，2=,記M到AC的距離為，則2sin750=2得=，塔到直路ABC的最短距離為。鞏固1 如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，且OA=2，B為半圓周長上任意一點，以AB為邊作等邊ABC，問B點在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最大面積. 鞏固2 一艘海岸緝私艇巡邏至A處時發現在其正東方向20的海面B處有一艘走私船正以的速度向北偏東300的方向逃竄，緝私艇以的速度沿 的方向追擊，才能最快截獲走私船？若=40，則追擊時間至少為 分鐘。來源:新課程教育來源:新課程教育簡答來源:新課程教育1、鞏固3；遷移A；2、，