1、).()(bfaf 0)( xF0)( f)(ba )(ba )( fabafbf )()()(ba .)()()()()()(aFbFafbfFf ,ba),( ba復習復習Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 1.1.設函數設函數)(xf在點在點0 x處延續，處延續，那么那么有有)()(lim00 xfxfxx 2.2.設設)(xf在點在點0 x處可導，處可導，那么那么有有 xe再如再如, , )()(0 xfxf)()(0 xfxf )()()(lim0000 xfxxxfxfxx 000)()()(xxxfxfxf)

2、()()()(0000 xxxxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf x當當 很小時很小時, ,即用多項式函數近似地表示超越函數即用多項式函數近似地表示超越函數. .，x 1 )1ln(x，xxy 1oxey oxy )1ln(xy 問題問題:誤差誤差)()()(xPxfxR 可以估計可以估計.尋覓函數尋覓函數),(xP使得使得)()(xPxf 1.1.假設函數假設函數)(xf本身就是一個多項式，本身就是一個多項式，)(xf設設是按是按)(0 xx 的冪寫出的冪寫出n次多項式次多項式. .nnxxaxxaxxaaxf)()()()(0202010 逐次求出在逐次求出在0 xx 處

3、的各階導數有：處的各階導數有：，)(00 xfa ，)(01xfa ，)(! 202xfa ，)(! 303xfa ，)(!0)(xfannn 3-2 3-2 泰勒中值定理泰勒中值定理一一. .泰勒公式泰勒公式于是：于是： 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)( 10021)()(2)( nnxxnaxxaaxf10021)()(2)( nnxxnaxxaaxf20032)() 1()(2312)( nnxxannxxaaxf從過程知道，從過程知道，2.2.假假設設)(xf是恣意函數是恣意函數( (不一定是多項式不一定是多項式) )，在在

4、0 x存在存在n階導數，階導數，nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 稱為函數稱為函數)(xf在在0 x的的n次泰勒多項式次泰勒多項式.于是：于是：)(xf按按)(0 xx 冪次的方式是獨一的冪次的方式是獨一的.多項式多項式)(xf只需函數只需函數總能寫出一個相應的總能寫出一個相應的n次多項式次多項式.即即于是：于是： 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)( 其誤差其誤差，)()()(xPxfxRnn 泰勒定理泰勒定理假設函數假設函數)(xf在含有在含有0 x的某個開區間的某個開

5、區間),( ba內具有直到內具有直到1 n階的導數，階的導數， 那么當那么當),( bax 時，時，存在相應的一點存在相應的一點， 使使 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 其中：其中：，10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 介于介于0 x與與x之間之間把把式稱為函數式稱為函數)(xf在在0 xx 處的處的n階泰勒公式階泰勒公式. .都至少都至少10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 而而稱為稱為)(xf在在0 xx 處的處的n階泰勒余項階泰勒余項. 也叫拉格朗日余項也叫拉格朗日余項.knkknxx

6、kxfxp)(!)()(000)( 稱為函數稱為函數)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的n次泰勒多項式次泰勒多項式.)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk 稱為函數稱為函數)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的n階泰勒公式階泰勒公式. 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR 稱為皮亞諾余項稱為皮亞諾余項.，0)()(lim00 nnxxxxxR由于由于)()(0nnxxoxR 即即)()(!)()(0000)(nknkkxx

7、oxxkxfxf 留意留意: :1.當當n=0時，時，泰勒公式即為拉格朗日中值公式泰勒公式即為拉格朗日中值公式. .，)()()(00 xxfxfxf 0 xx介于介于與與 之間之間用一個多項式函數近似表示某個復雜用一個多項式函數近似表示某個復雜函數，函數，2.2.意義：意義：雜的思想雜的思想. .那那么么且給出了誤差且給出了誤差. 表達了用簡單近似表示復表達了用簡單近似表示復例例1 1求函數求函數322531)(xxxxf 在在1 x處的泰勒公式處的泰勒公式.解解，322531)(xxxxf ,6103)(2xxxf ,1210)(xxf ,12)( xf, 0)()4( xf，7) 1 (

8、 f, 7) 1 ( f, 2) 1 ( f,12) 1 ( f, 0) 1 () 1 ()5()4( ff那么函那么函數數)(xf在在1 x處的泰勒公式為：處的泰勒公式為：.) 1( 2) 1() 1( 77)(32 xxxxf 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 例例2 2求函數求函數xxfsin)( 在在4 x處的三階泰勒公式處的三階泰勒公式.解解，xxfsin)( ,cos)(xxf ，xxfsin)( ,cos)(xxf ,sin)()4(xxf ，22)4( f，22)4( f,22)4( f,22)4( f,s

9、in)()4( f2)4(! 2122)4(2222sin xxx.)4(! 4sin)4(! 312243 xx 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 二、麥克勞林公式：二、麥克勞林公式：) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf (即即 時的泰勒公式時的泰勒公式)00 x 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 解解

10、,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffff，xnexf )()1(代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe留意到：留意到：例例3 3xexf )(的的n階麥克勞林公式階麥克勞林公式.求求由公式可知，由公式可知，! 212nxxxenx .)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR, 1 x取取!1! 2111ne 對其估計誤差對其估計誤差)0( x 設設, 0) 0 ( f解解)2sin()()( nxxfn mmmRmxxxxx212153)!12()1

11、(! 5! 3sin (n=2m), 0()!12(2)12(sin122之之間間介介于于其其中中xxmmRmm 例例4 4求求xxfsin)( 的的 n 階麥克勞林公式階麥克勞林公式.由麥克勞林公式得，由麥克勞林公式得，, 1) 0 ( f, 0) 0( f, 1) 0( f, 0) 0()4( f, 1) 0()5( f, 0) 0()6( f, 1) 0()7( f，mmmRmxxxxx212153)!12()1(! 5! 3sin ).6!3cos(332xxR 當當m=1時，時，,sinxx 當當m=2時，時，,! 3sin3xxx 當當m=3時，時，.! 5! 3sin53xxxx

12、 .)!12()1(! 5! 3sin12153 mxxxxxmm所以所以)()!2() 1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx xy xysin oxy xysin ! 33xxy oxy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy oxysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o計計算算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3

13、cos2442xoxxex4440)(127limxxoxx 原原式式.127 例例5 5),(12744xox ).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx 小結 200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 其中：其中：，10)1()()!1()()( nnnxxnfxR 介于介于0 x與與x之間之間)(0 xx 1.按按 的冪展開的的冪展開的n階泰勒公式階泰勒公式.)()(!)(0000)(nknkkxxoxxkxf )(!)0(! 2)0()