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文檔簡介

1、世界數學十大未解難題其中“一至七為七大“千僖難題;附錄“ 希爾伯特23個問題里尚未解決的問題:P 多項式算法問題對NP非多項式算法問題在一個周六的晚上,你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安,你想知道這 一大廳中是否有你已經認識的人。 你的主人向你提議說,你一定認識那位正在甜 點盤 附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘,你就能向那里掃視,并且發現你的主 人是正確的。然而,如果沒有這樣的暗示,你就必須環顧整個大廳,一個個地審 視每一個人,看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的 解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是,如果某人 告訴你,數13,717, 421可

2、以寫成兩個較小的數的乘積,你可能不知道是否應 該相信他,但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803,那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧,判定一個 答案是可以很快利用部知識來驗證,還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來 求解,被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文考克StephenCook于 1971 年述的。霍奇Hodge猜測二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的方法。根本想法是問在怎樣的程度上,我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營 造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用,使得它可以用許多不同的

3、方式來推廣;最終導至一些強有力的工具,使數學家在對他們研究中所遇到的形 形色色的對 象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是,在這一推廣中,程序的 幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下,必須加上某些沒有任何幾何解釋的部 件。霍奇猜測斷 言,對于所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說,稱作 霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的 有理線性組合。龐加萊Po in care猜測 如果我們伸縮圍繞一個蘋果外表的橡皮帶, 那么我們可以既不扯斷它,也不讓它 離開外表,使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面,如果我們想象同樣的橡皮帶 以適 當的方向被伸縮在一個輪胎面上,那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面,是沒有

4、方法把它收縮到一點的。我們說,蘋果外表是“單連通的,而輪胎面不是。大 約在一百年 以前,龐加萊已經知道,二維球面本質上可由單連通性來刻畫,他 提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題 立即變得無比困 難,從那時起,數學家們就在為此奮斗。四: 黎曼(Riema nn)假設有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質,例如,2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數;它們在純數學與其應用中都起著重要作用。在所有自然數中,這種素數的分布并不遵循任何有規那么的模式;然而,德國數學家黎曼 (18261866)觀察到,素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s

5、$的性態。著名的黎曼假設斷言,方程 z(s)=O的所有有意義的解都在一條直 線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證 明它對于每一個有 意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。五:米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對根本粒子世界成 立的。大約半個世紀以前,振寧和米爾斯發現,量子物理揭示了在根本粒子物理 與幾 何對象的數學之間的令人注目的關系。基于一米爾斯方程的預言已經在如 下的全世界圍的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實:布羅克哈文、斯坦福、 歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此,他們的既描述重粒子

6、、又在數學上嚴 格的方程沒有的解。特別是,被大多數物理學家所確認、并且在他們的對于“夸克的不可見性的解釋中應用的“質量缺口假設, 從來沒有得到一個數學 上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本 上的新觀念。六:納維葉斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性 起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的氣流跟隨著我們的現 代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信,無論是微風還是湍流,都可以通 過理 解納維葉-斯托克斯方程的解,來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程 是19世紀寫下的,我們對它們的理解仍然極少。挑戰在于對數學理論作出實質 性的進

7、展, 使我們能解開隱藏在納維葉-斯托克斯方程中的奧秘。七: 貝赫(Birch)和斯維訥通戴爾(Swinnerton-Dyer) 猜測數學家總是被諸如xA2+yA2=zA2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。 歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答,但是對于更為復雜的方程,這就變得極為困難。事實上,正如馬蒂雅維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希爾伯特第 十問題是不可解的,即,不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時,貝赫和斯維訥通一戴爾猜測認為,有理點的群 的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是,這個有趣的猜測認為,如果

8、z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解),相反,如果z不 等于0,那么只存在有限多個這樣的點。八:幾何尺規作圖問題這里所說的“幾何尺規作圖問題是指作圖限制只能用直尺、圓規,而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。“幾何尺規作圖問題包括以下四個問題1.化圓為方-求作一正方形使其面積等於一圓;2.三等分任意角;3倍立方-求作一立方體使其體積是一立方體的二倍。4.做正十七邊形。以上四個問題一直困擾數學家二千多年都不得其解,而實際上這前三大問題都已證明不可 能用直尺圓規經有限步驟可解決的。第四個問題是高斯用代數的方法解決的,他也視此為生平得意之作,還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上, 但后來他的

9、墓碑上并沒有刻上十七邊形,而是十七角星,因為負責刻碑的雕刻家認為,正十 七邊形和圓太像了,大家一定分辨不出來。九:哥德巴赫猜測公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數學家歐拉(Euler), 提出了以下的猜測:(a)任何一個=6之偶數,都可以表示成兩個奇質數之和。b任何一個=9之奇數,都可以表示成三個奇質數之和。 從此,這道著名的 數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。 200年過去了,沒有人證明它。 哥德巴赫猜測由此成為數學皇冠上一顆可望不可與的“明珠。哥德巴赫猜測 最新最好的成果是中國數學家景潤的氏定理,通俗地講:哥德巴赫猜測如果簡稱“1+1,如今解決的是“1

10、+2。但是這樣說使得許多群眾容易 產生誤會。十:四色猜測1852年,畢業于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作 時,發現了一種有趣的現象:“看來,每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有 共同邊界的國家著上不同的顏色。1872年,英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題,于是四色猜測成了世界數學界關注的問題。 世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜測的大會戰。1976年,美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上,用了1200個小時,作了 100億判斷,終于完成了四色定理的證明。四色猜測的計算機證明, 轟動了世界。希爾伯特23問題里尚未

11、解決的問題:1、問題1連續統假設。全體正整數被稱為可數集的基數 和實數集合被稱為連續統的基數 c之 間沒有其它基數。背景:1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統,即策莫羅-佛朗克爾公理系統里,不可證偽。1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統,不能證明此假設是對的。所以,至今未有人知道,此假設到底是對還是錯。2、問題2算術公理相容性。背景:哥德爾證明了算術系統的不完備,使希爾伯特的用元數學證明算術公理系 統的無矛盾性的想法破滅。3、問題7某些數的無理性和超越性。背景 此題為希爾伯特第7問題中的一個特例。已經證明了 eAn的超越性,卻至今未有人證明 e+n的超越性。4、問題8素數

12、問題。證明:Z (s)=1+(1/2)As+(1/3)As+(1/4)As+(1/5Fs +(s屬于復數域)所定義的函數Z (s)的零點,除負整實數外,全都具有實部1/2此即黎曼猜測。也就是希爾伯特第 8問題。美國數學家用計算機算了 Z (s)函數前300萬個零點確實符合猜測。希爾伯特認為黎曼猜測的解決能夠使我們嚴格地去解決歌德巴赫猜測(任一偶數可以分解為兩素數之和)和孿生素數猜測(存在無窮多相差為2的素數)。引申的問題是:素數的表達公式?素數的本質是什么?5、問題11系數為任意代數數的二次型。 背景:德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展。& 問題12阿貝爾域上的克羅克定理在任意代

13、數有理域上的推廣。 背景:此問題只有些零散的結果,離徹底解決還十分遙遠。7、問題13僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性。背景:1957聯數學家解決了連續函數情形。如要解析函數那么此問題尚未完全解 決。8、問題15舒伯特計數演算的嚴格根底。背景:代數簌交點的個數問題。和代數幾何學有關。9、問題16代數曲線和曲面的拓撲。要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。 和微分方程的極限環的最多個數和 相對位置。10、問題18用全等多面體來構造空間。無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題,現在仍未解決。11、問題20 一般邊值問題。偏微分方程的邊值問題,正在蓬勃開展。12、問題23變分法的進一步

14、開展希爾伯特23個數學問題與其解決情況1康托的連續統基數問題。1874年,康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數,即著名的連續統假設。1938年,僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年,美國數學家科思P.Choen證明連續統假設與 ZF公理彼此獨立。因而,連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下,問題已獲解決。2算術公理系統的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義方案的證明論方法加以證明,哥德爾 1931年發表不完備性定理作出否認。根茨 G.Gentaen,1909-1945 193

15、6年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性。3只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是:存在兩個登高等底的四面體,它們不可能分解為有限個小四面體,使這兩組四面體彼此全等德思M.Dehn 1900年已解決。4兩點間以直線為距離最短線問題。此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多,因而需 要加以某些限制條件。1973年,聯數學家波格列洛夫Pogleov 宣布,在對稱距離情況下,問題獲解決。5拓撲學成為群的條件拓撲群。這一個問題簡稱連續群的解析性,即是 否每一個局部歐氏群都一定是群。1952年,由格里森Gleason 、蒙哥馬利Mon tgomery 、齊賓Zipp

16、in 共同解決。1953年,日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。6對數學起重要作用的物理學的公理化。1933年,聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。后來,在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化,很多人有疑心。7某些數的超越性的證明。需證:如果a是代數數,B 是無理數的代數數,那么a3一定是超越數或至少是無理數例如,2V2 和e n。聯的蓋爾封特Gelfond 1929年、 德國的施奈德Schneider 與西格爾Siegel 1935年分別獨立地證明了其正確性。但超 越數理論還遠未完成。目前,確定所給的數是否超越數,尚無統一的方法。8素數分布問題,尤其對黎曼猜測、哥

17、德巴赫猜測和孿生素共問題。素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼Riemann猜測、哥德巴赫Goldbach 猜測以與孿生素數問題。黎曼 猜測至今未解決。哥德巴赫猜測和孿生素數問題目前也未最終解決,其最正確結果均屬中國數學家景潤。9 一般互反律在任意數域中的證明。1921年由日本的高木貞治,1927年由德國的阿廷E.Artin 各自給以根本解決。而類域理論至今還在開展之中。10能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解?求出一個整數系數方程的整數根,稱為丟番圖約210-290,古希臘數學家方程可解。 1950年前后,美國數學家戴維斯Davis 、普 特南Put nan、羅賓遜R

18、obi nson 等取得關鍵性突破。1970年,巴克爾Baker、費羅 斯Philos 對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。聯數學家馬蒂塞維奇最終證明:在一般情況答案是否認的。盡管得出了否認的結果,卻產生了一系列很有價值的副產品,其中不少和計算機科學有密切聯系。11一般代數數域的二次型論。德國數學家哈塞Hasse和西格爾Siegel 在20年代獲重要結果。60年代,法國數學家依A.Weil 取得了新進 展。12類域的構成問題。即將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果,離徹底解決還很遠。13 一般七次代數方程以二變量連續函數之組合求解的不可能性。七次

19、方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于 3個參數a、b、c;x=xa,b,c。這一函數能否用兩變量函數表示出來?此問題已接近解決。1957年,聯數學家阿諾爾德Arnold 證明了任一在0, 1上連續的實函數fx1 , x2 , x3可寫成形式刀hi E ix1,x2,x3i=1-9,這里hi和Ei為連續實函數。柯爾莫哥洛夫證明fx1 ,x2,x3可寫成形式刀 hi E i1x1+ E i2x2+ E i3x3i=1-7這里 hi 和 Ei 為連續實函數,E ij的選取可與f完全無關。1964年,維土斯金Vituskin 推廣到連續可微情形, 對解析函數情形那么未解決。14某些完備函數

20、系的有限的證明。即域K上的以x1,x2,xn為自變量的多項式 fi (i=1,,m , R為K :X1,,Xm上的有理函數 F(X1,,Xm)構 成的環,并且F (fl,fm) Kx1,xm試問R是否可由有限個元素 F1,,FN的 多項式生成?這個與代數不變量問題有關的問題,日本數學家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否認的解決。(15)建立代數幾何學的根底。荷蘭數學家德瓦爾登 1938年至1940年,依1950年已解決。(15)注一舒伯特(Schubert )計數演算的嚴格根底。一個典型的問 題是:在三維空間中有四條直線,問有幾條直線能和這四條直線都相交?舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾

21、伯特要求將問題一般化,并給以嚴格根底。現在已有了一些可計算的方法,它和代數幾何學有密切的關系。但嚴格的根底至今仍未建立。(16)代數曲線和曲面的拓撲研究。此問題前半部涉與代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。后半部要求討論備 dx/dy=Y/X的極限環的最多個數 N ( n)和相對位置,其中 X、Y是x、y的n次多項式。對 n=2(即二次系統) 的情況,1934年福羅獻爾得到 N(2) > 1; 1952年鮑廷得到N(2) >3; 1955 年聯的波德洛夫斯基宣布 N(2) < 3,這個曾震動一時的結果,由于其中的假設干引理被否認而 成疑問。關于相對位置,中國數學家董金柱、 葉彥謙1957年證明了 ( E2)不超過兩串。1957 年,中國數學家元勛和蒲富金具體給出了n= 2的方程具有至少3個成串

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