1、維秀教育小學華杯賽內部資料（一）2015.6.13小學數學競賽十大常用記憶點(1) l00以內的質數 常見合數的分解：2016=32×9×72,3，5，711.13.17.19.23.2931.37.41.43.47.53.5961.6771.73.79.83.8997.101,103,107(2) 二進制中的次方數 三進制中 3的0次方=1 3的1次方=3 2的0次方=1， 3的2次方=9 2的1次方=2， 3的3次方= 27 2的2次方=4， 3的4次方=81 2的3次方=8， 3的5次方=243 2的4次方=16， 3的6次方=7292的5次方=32， 3的7次方=2

2、1872的6次方=64，2的7次方=128，2的8次方=256，2的9次方=512，2的10次方=l024，2的11次方=2048。二進制用在天平上是把砝碼放在一端的情況, 三進制是把砝碼放在天平的兩端稱量。列式方法：從小到大依次連加，就可以滿足，任意稱量1-N的所有重量。(三)平方差公式, 三項和公式(a+b+c)²=(a+b)²+2(a+b)c+c²=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca(四)和差公式 大數=(和+差)÷2 小數=(和差)

3、7;2 小數=和大數 小數=大數差(五)等差數列 第幾項=首項+（項數-1）×公差 項數=(末項首項)÷公差十1。 和=(首項十未項)×項數÷2 如果有奇數個，和=中間數×個數(六)等比數列第幾項=首項×公比的(n一1)次方。和=或者用錯位相減的方法。(七)奇數數列的和A）1十3十5十7十.+（2n-1）=n的平方。(個數的平方） 注意是從1開始的項數=(2015一1)÷2十1=10081十2十3十4十.十n=n(n十1)÷2 注意是從1開始的 B）山頂數列求和=最大數平方。如，1十2十3+4十.十2013+201

4、42015+2014+2013+.+3+2+1=2015的平方。注意是從1開始的如果不是從1開始的，我們可以先補上，然后在減去補上的部分。(八)，勾股定理兩個直角邊的長度的平方和=斜邊長平方，常用有4組勾股數 3，4，5。 6，8，10。 5，12，13。 12,16,20. (九)，從1開始的連續自然數的平方和 A） 1平方+2平方十3平方十4平方十.+n平方=n(n十1)(2n十1)÷6 B）從1開始的連續自然數的立方和公式=n(n十1)÷2的平方。 注意是從1開始的，如果不是從1開始的，我們可以先補上，然后在減去補上的部分 C)1×2×3+2

5、15;3×4+3×4×5+.+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4 D)(十)， 火車過橋，過隧道。過。公式 1。火車速度×時間=車長十橋長 注意，車長可以變為=所有車輛數×每一節車長十車隊間隔數×間隔長 間隔數=車輛數一1， 但是如果已知有火車頭，這樣的情況下，車廂個數就是間隔數。華杯賽已經考過了這樣競賽試題。 2。還有一個關于兩路，三路，4路縱隊的問題。用總人數÷幾路=隊伍的排數 3。如果火車過一棵樹。，那么火車走過的路程就是車長 4。關于行車中的人 看見快車從身邊開過問題： 看見的快車長

6、7;（人與快車的速度和）=從身邊開過的時間小學竟賽數學三十個知識要點(1) 。上下疊放的3個大小不同的正方體，或者正方體，長方體，圓柱體，三棱柱等等，求這樣組合體的表面積，從三個方向分類相加，前后，左右，上下，在粘接一起的方向上，用壓縮法，看作一個整體想，其它方向的，只要算側面積。如果不是凸出的圖形，而是一個凹進去圖形，也是這樣思考的，我們可以把凹下去的底面拉到上面來。(二)。兀的十個值大小兀=3.l4， 2兀=6.28，3兀=9.42， 4兀=12.56，5兀=l5.70， 6兀=18.847兀=21.98， 8兀=25.129兀=28.26， 10兀=31.4(三)，常見數整除特征2看個位

7、，是0，2，4，6，8。5看個位，是0，5。3，9看數字和，用劃去法。4，25看末二位。8，125看末三位。特別8要先看個位是2的倍數偶數，末2位時4的倍數，然后再看末三位7，11，13,101,37從個位開始末三位斷尾法，求差。（大數-小數），然后在用對7，11，13同余來思考。11還有一個判斷方法:奇數位上數字和減去偶數位上數字和所得差。這樣情況奇數位上可以與偶數位上交換的。33，99從個位開始每兩位一段，分段相加求和，一般列豎式想。與被7、13整除的截取3位法類似,對被101整除的判定,有截取2位,先將數字每兩個分成一組,然后計算奇數組之和與偶數組之和的差,如果差能被101整除還有一類特

8、別就一個數是沒有特征數的倍數，比如一個五位數是2014（ ）它是73的倍數那么這個五位數最小是-，變化成（ ）（ ）（ ）×73=2014（ ），列豎式思考。(4) 關于2人或者2車的追及與相遇問題：1.圓周上的2人，2車同時同地同向，是追及問題，路程差=速度差×追上時間。(路程差就是一個圓周長度，如果是從直經兩端同時走，就是半個周長)，這里要注意：誰追誰？誰在后面，誰在前面。例如鐘表問題里的分針與時針，2;同時同地背向，是相遇問題。路程和=速度和×相遇時間，(路程和就是一個周長，如果從直徑兩端走，就是半個周長)其它類似情況，可畫圖想。3這一類問題還有二組公式 （

9、一）。甲乙兩車從A，B兩地同時出發相向而行，并在兩地之間不斷往返， 記兩地距離為1個全長，則： A。甲車與乙車的路程和為1個全長時，兩車第一次迎面相遇； 在此之后，兩車的路程和每多走2個全長時就會迎面相遇一次。 如果甲車速度大于乙車速度，則： B。當甲車與乙車的路程差為1個全長時，甲車第一次追上乙車； 在此之后，每當甲車比乙車多跑2個全長時，就會追上乙車一次。 （二）甲、乙兩車從A地同時出發同向而行，在A、B兩地之間不斷往返，記兩地距 離為1個全長，則： A.當甲車與乙車的路程和為2個全長時，兩車第一次迎面相遇； 在此之后，兩車的路程和每多出2個全長時就會迎面相遇一次。 B如果甲車速度大于乙車

10、速度，則： 當甲車與乙車的路程差為2 個全長時，甲車第一次追上乙車； 在此之后，每當甲車比乙車多跑2個全長時，就會追上乙車一次。4.還有一個特別的方法！畫柳卡圖。有關這個知識點老師會專題講解(已經專題打印成為材料二）5.一條直線上兩車，兩人或者3人等從兩端同時相對行走。第一次相遇2人或2車共同合走一個全程，然后從第1次相遇到第2次相遇，2人合走2個全程。以后每相遇1次都是合走2個全程。如果是2人從一端同時走，快的人到達終點后又折返回走，與慢的人(車)相遇，這樣第一次相遇，2車合走2個全程。第=次兩車合走就與前面一樣，也是2個全程， 畫圖可以看清楚。6. 關于行程間隔發車問題：有3個數量關系式：

11、 1）車距=車速×汽車發車時間間隔 2）車距=（車速+行人速度）×相遇時間 3）車距=（車速行人速度）×追及時間 注意：需要畫圖與題目中單位不同7.電梯問題大體上可以分為兩類：1、人沿著電梯運動的方向行走，當然也可以不動，不管動與不動，此時電梯都是幫助人在行走，共同走過了電梯的可見級數：（V人+V梯）×時間=電梯可見級數2、人與電梯運動方向相反，此時人必須要走，而且速度要大于電梯的速度才能走到電梯的另一端。這種情況人走過的級數大于電梯的可見級數，電梯幫倒忙，抵消掉一部分人走的級數。（V人V梯）×時間=電梯可見級數解決此類問題,畫圖是第一步，畫走

12、的級數大的開始，可以運用在相遇、追及問題里,常見的是列方程和比例法來求解.比例法解題的過程：1）畫圖，以較大的級數開始畫，以它的起點畫電梯的可見部分，上下分開畫，用不同的顏色 2）注意題目中詞語，找準方向。 3）計算速度比，再轉化成路程比，再在圖上標出份數。 4）求出電梯在左右兩段走的時間比例，由于對于是同一個電梯，速度是相同的，所以時間比就是左右兩段路程比。 5）求一份路程的長度，再求幾份數。8.空中加油的最遠路線問題：有2種類型：A）一個返回基地，一個飛的最遠。 1）畫圖，一個車或者飛機當雷峰，開始的一段用油全部由乙提供，且留下一份給自己返回用， 2）甲滿油飛翔最遠基地。 B）全部2車都要

13、返回開始的基地 1）畫圖：乙的油要分成4份，一份給甲，一份給自己，一份給甲返回，一份給自己返回。 2）第二步，甲盡力前進向遠方，（滿油）前進一份油，給自己返回一份。 3）這樣最原路程是第一段的1/4+第二段的1/29. 正方形或者十字路口4輛車最少相遇時間問題。 1）先估算，速度比較慢的兩輛車如果合走一個正方形的邊長相遇時，第3，4輛車的同樣時間能夠到達這個地點嗎。 如果3，4這些車的速度足夠的快，這個就是最少的時間。 2）如果這個不可以，那就是用比較快的兩輛車合走3個正方形的邊長，求出的這個時間就是最少的四輛車的相會時間10一輛車.往返接送人的最少時間問題。 1）畫圖，用不同的顏色，分三段思

14、考。 2）第一步：先讓步行快的學生從出發點行走。車同時載乙班學生向終點駛去，根據時間相同，速度比就是路程比。求出比例，用份數標在圖上。 3）第2步：讓乙班學生下車步行， 車空車返回接甲班學生，甲班學生繼續步行向前走與空車相遇。在利用甲與空車的速度比就是路程比，求出份數標圖上， 同時也要計算乙班此時步行的路程份數（可以根據甲與乙的速度比就是路程比來計算，用份數法），也標在圖上。 4）第3步：車載甲班學生與乙班學生同時向終點前進。根據此時他們的路程差份數，圖上已經標出。在根據速度比就是路程比，用份數，找到路程差的對 應份數求出1份數。 5）找到圖中全長的對應份數就可以求出1份數是多少米。進而可以求

15、出車與人步行的路程是多少米。這樣就可以根據速度計算車與人步行的時間， 然后相加就求出全程需要時間。(5) ，流水行船，順風逆風，電梯上下問題。順水速度=船速十水速，逆水速度=船速一水速， 對應的路程=順水速度x順水時間，逆向行路程=逆向速度x逆行時間。畫圖，看清詞語，單位有時也不同，分段思考。經常用的方法與比例方法一起使用。解決復雜的行程問題。當然也可以用方程 ：關于變速問題的行程，時間提前與遲到。 有一個時間的分率關系：現在的時間是原來時間的1÷（1+幾%），那么走變速的這段路程提前時間的對應分率是：11÷（1+幾%）。 如果是遲到的時間 現在的時間是原來時間的1

16、7;（1幾%），那么遲到的時間對應分率是11÷（1幾%） 記住這組時間關系可以很快的，解決相關數學問題。這里的幾%是速度的增加與減少的百分數(六)，時鐘問題。 分針每一小時走60小格，(即360度)，時針每一小時走5小格，(即30度)。分針每分鐘走6度，時針每分鐘走0.5度。分針速度是時針速度的12倍。分針速度為1，時針的速度是1/12， 正常情況分針追及時針，用路程差÷兩針速度差=追上時間。但有些問題我們通常轉化成:相遇問題來思考，路程和÷速度和=時間。畫圖不要忘了。關于求角度問題，我們用 分割法，分成3個部分分別計算。(7)(8)原有草十新長草=1×

17、天數×頭數，新長草=每天長草量×天數。先寫數量關系式，設字母，列方程。特別情況：1。冬天的草，用-。2。如果有草場面積的變化，就用下面的數量關系式： 1公頃原有的草+1公頃新長的草×時間=1×時間×頭 數 ÷總面積數(八)天數的計算方法。A，按月計算，注意大月31天，小月30天，二月特別平年28天，閏年29天，B，一個月內從幾號到幾號， 一個月內從幾號到幾號， 用大號小號1=天數，C，按年計算，平年365天，閏年366天，D，閏年'的末二位，如果有兩個0或3個0，就÷100，無余數，就是閏年，否則是平年，其它就

18、47;4，無余數，是閏年，否則是平年。E，這里要注意，二月份特別，所以上半年計算天數要看二月份，一季度要看二月份天數，容易錯。F，用總天數÷7=周期數.余數，然后直接從開始的星期數佘數就求出星期幾。注意：如果說過幾天。，那就從次日的星期數數起。（九）容斥原理兩個量參加2個數量的人數=A+B-A與B的重和部分。3個量的情況：ABC = A+B+C - AB - BC - CA + ABC）喜歡3項運動的人數=A+B+C-AB重復部分-AC重復-BC重復部分+ABC重復部分4.ABCD=A+B+C+D-AB-AC-AD-BC-BD-CD+ABC+ABD+ACD+BCD-ABCD規律是：從

19、一個集合，到兩兩相交，到三個相交，到四個相交，符號是交替改變。月牙定理：在一個半圓里，以直徑為斜邊的直角三角形的面積等于2個月牙的面積和。（11）（12） 正方形內接圓的面積是正方形面積的78.5%， 正方形面積：圓的面積=4：圓內接正方形，圓的面積：正方形面積=：2（十三）正方形面積的第2個計算公式=2條對角線乘積的一半，這個公式也適合任意四邊形的面積=2條互相垂直的對角線乘積的一半。（十四）解答數字迷的方法： 1，找重復數字， 2，找提供信息多的地方 3，加法：五位法則。 4，減法轉化成加法做， 5，乘法，對積標號，從特別數字想起 6，除法轉換乘法分析。 7，從數位的多少確定，范圍分析。

20、8。奇偶分析， 9。質數分析。能夠被3整除，2，看個位，5看個位0或者5 10，棄9法。 另外方法還有輔助：1.列分步豎式。2，對乘法或者除法算式中的積進行標序號，3，設字母4，分類列舉（15） 濃度三角法 使用條件：使用2了數量濃度配制，2個量平均問題，2個車的平均速度，計算平均數，混合2種糖果的價格等。交叉差量的比原來兩種物品數量之比，兩個量的混合問題，濃度混合，平均數混合。買東西的混合，等等記住一個數量關系式：濃度的差的比與數量比成反比。（十六)完全平方數8.是完全平方數（十七）約數有關公式 首先對一個數進行質因數的分解 約數個數公式=指數+1，再連乘。 約數和公式=不同的指數的從不同質

21、因數的0次方一直到指數最高次方的連加的和，再連乘。 奇約數個數公式=把2的次方全部去掉以后剩下的奇指數的指數+1，再連乘。 偶約數個數公式=奇約數個數×2的次方數。 奇約數的和=把所有的奇約數的從0的次方一直加到最高次方，再連乘。 所有約數和-奇約數的和=偶約數的和（十八）正方體與長方體的表面染色問題1) 正方體表面染色的小正方體個數A. 三個面都染色的小正方體個數 ，在角上，（頂 點上） 8個B. 二個面染色的個數小正方體個數，在棱上，有12條棱，去掉兩邊的2個，每一條棱上有（a-2)個，一共有12×（a-2)。C. 一個面染色的個數，在面上的中間部分，即去掉外面一層殼的

22、剩下的正方體里含有小正方體的個數。6×（a-2)×（a-2)D. 一個面也沒有染色的小正方體個數：在里面，即去掉外表一層殼的剩下正方體的所有包含所有的小正方體的個數，（a-2)的3次方。2） 長方體表面染色的小正方體個數A）三個面都染色的小正方體個數 ，在角上，（頂 點上） 8個B）二個面染色的個數小正方體個數，在棱上，有4（a-2)+4（b-2)+4（c-2)C)一個面染色的個數，在面上的中間部分，即去掉外面一層殼的剩下的正方體里含有小正方替的個數，2（a-2)b-2)+2（a-2)（c-2)+2（b-2)（c-2)D）一個面也沒有染色的小正方體個數：在里面，即去掉外表一

23、層殼的剩下正方體的所有包含所有的小正方體的個數，（a-2)（b-2)（c-2）（十九）圓柱體卷紙有關公式 A：求卷紙的長度 長×卷紙的厚度=圓環的面積 B求卷紙的截面面積 卷紙的截面面積×厚度=空心圓柱體的體積=圓環面積×圓柱體的高注意；單位是不同的需要先化。(二十）計數問題3類特別方法 1。捆綁法。解決相鄰問題。解題過程： 第一步，先把需要相鄰的人或者物捆綁起來看做1個整體，用排列A幾幾。 第二步，把這個1與其它的數加在一起，再全排列 第三步，最后把第一步與第二步的結果乘起來。 2。插空法：解決任意的2個人或者物品不放在一起的。 解題過程：第一步，先排其它的人。

24、如果有順序用排列A，如果沒有順序用組C。 第二步，找上面人或者物品形成的空格，包括兩邊的空格 第三步，插空，從上面的空格里選幾個空，插入不相鄰的人或者物品。如果這些人或者物有順序 就用排列A，如果沒有順序用組合C。 第四步，把前面2步的結果乘起來。 特別需要說明的：圓圈上的恰有2人，或者3人的相鄰的情況。因為是封閉圖形，人數就是段數，就是點數，就是棵數。 當2個數或者3個數相鄰的 情況有幾種，有多少個數就有多少種 再畫圖選另一個特別的人，看有幾種剩下情況可以選擇 還有一種特別插空情況 就是已知幾個相同的數字排幾位數。這個方法叫數字挑位置。 一個一個相同的數字選，由于數字是相同的，所以用組合C。

25、最后把每一步連乘起來。3，插板法：是表示相同的分東西的情況種數，每一份至少有1個，不能為空。解題過程： 第一步畫圖找內部的空，不包括兩邊的空。 地二步，選空用組合C，因為空與空是相同的，沒有差別。無順序的。 第三步插板。分3個部分就插2個板，分6個部分就插5個板等等。但是有些問題可以轉化為插板法4. 排列組合中分2隊，2組3隊，。等因為組與組，隊與隊是沒有差別的，無順序的。用組合C來列式。但是同時這里有重復問題。需要除以A的排列數，分成幾組就是幾的全排列。(4) 遞推計數：特別是圖形中遞推計數。畫圖形，從簡單找規律。每一條直線段與一個封閉平面圖形最多有2個交點，就是增加2個平面部分。與一個圓也

26、是這樣的。（5） 傳球法計數，列表，一位傳給另一個位置，特別是解決幾位數的相鄰數字和與差是多少或者不超過多少的問題，或者青蛙跳躍問題。（6） 用幾個不同數字排多位數個數。用數字挑位置的方法比較好解決。（7） 枚舉法中，先定數，再定位。（二十）（二十一）皮克定理： 一個計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，s表示多邊形的面積分為2種情況：A：正方形類，是一個由4個點構成的小正方形面積設為1。圖形面積計算公式是=邊上的格點數÷2+內部格點數-1 B：如果三個點構成一個小的三角形面積設為1。格點多邊形面積

27、公式是=邊上格點數+內部格點數×2-2.應用這2個公式要特別注意2點，一，有時小正方形，小三角形格點構成面積不是1，有時是2，3，4，5。有時需要我們自己計算每一個小正方形或者小三角形的面積，然后在求總面積的多少。(二十二）間隔問題中左右轉化，A:直線上位置轉化：右邊位置序號=總數-左邊序號+1環形中順時針與逆時針個數轉化B：圓形（封閉圖形） 順時針第幾個=總數-逆時針第幾個+2(二十三）在工資分配中，是按照工作量來分配的，如果甲乙時間相同，那么工作量的比例就是工作效率的比例。如果工作時間不同，就要計算出工作量的比例，然后在按工資分配。(二十四）抽屜原理：1抽屜原則：把n+1個蘋果(

28、或多于n+1個蘋果）放入n個抽屜中，至少有一個抽屜至少放入了2個蘋果。2抽屜原則2：把kn+1個蘋果，（或多于kn+1個蘋果）放入n個抽屜中，至少有一個抽屜至少放入了k+1個蘋果。關鍵：找蘋果個數與抽屜個數，方法：畫圖構造。最不利原則。(二十五）關于11的乘法計算技巧。兩邊一拉，中間相加。如果有進位就向前一位進1。 關于11。111×11。11的巧算。 1111×1111=1234321在這里應該注意，現在的考試已經進行到2次11的乘法計算技巧的知識點了。(二十六）埃及分數的拆分(二十七）91=7×13， 111=3×37 1001=7×11&

29、#215;13， 623=7×89， 10101=3×7×37×13 1360=16×5×17 9999=99×101 5568=64×3×29259=7×37， 529=23×23， 231=3×7×11， 737=11×67 2511=31×81 632=8×79 1817=23×79396=4×9×11 495=5×9×11(二十八）分數與循環小數的互化 1。純循環小數小數部分化成

30、分數：將一個循環節的數字組成的數作為分子，分母的各位都是9，9的個數與循環節的位數相同，母2。混循環小數小數部分化成分數：分子是第二個循環節以前的小數部分的數字組成的數與不循環部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，9的個數 與一個循環節的位數相同，末幾位是0，0的個數與不循環部分的位數相同。 3。整數部分不變。照抄下來。注明：=0.142857°.。風車數字法 1/14=0.714285,3/14=0.142857，5/14=571428， 7/14=0.5， 9/14=0.428571， 11/14=0.857142，13/14=0.285714另外分母是13的真分數化成

31、循環小數后的結果也有規律，請自己找一找。（二十九）幾何五大模型三十）勾股定理三十一）第一步：從簡單一一列舉，找到最小一個答案，然后在用交換系數相加的方法就得到另一個答案。二十九）求周長的一個方法=標向法三十一）水管問題三十二）數字數位頁碼問題：位數 數的 個數 數字個數 一 9 1×9=9 二 90 2×90=180 三 900 3×900=1800 四 9000 4×9000=36000 注明：如果只是奇數，就只計算一半個數。注：乘積中的一類關于乘9的積的數字和計算方法：999。99×一個不大于它的數，積的數字和是9×（9個個數）（

32、三 十三）圓沿著一個平面圖形外邊轉動一周的周長計算規律 1，形成的 圖形的周長：一個 圓心為半徑的一個周長+原來圖形的本身的周長 2. 面積：一個圓的面積+以四周的原來圖形的周長為長，直徑為寬的長方形面積。特別的情況除外。 如果圓在一個平面圖形里面轉動一周的情況？ 3.對于一條線段運動所掃過的面積計算方法：先畫2個端點的從哪里到哪里，然后描一下，在把掃過面積涂上顏色，最后轉化成規則圖形面積計算。 也可以分塊計算，將用到圓面積公式，扇形面積公式，長方形面積公式等。可以用不同顏色畫出來。對于一個小圓沿著折線上轉動，它轉動的掃過的面積可分為4種情況，第一：開始與結尾都是一個半圓， 第二：中間是長方形

33、，長是圓心走過直線段的長度，寬是圓的直徑， 第三：在直角處，是一個L形+一個四分之一圓， 第四：在其他任意角度處，是一個扇形，半徑是圓的直徑。圓心角是180那個任意角的度數。（三十四）平均速度只有一個關系式=總路程÷總時間 有關連續自然數的截成幾段，然后計算每一段的平均數=（首項+末項）。（注是這一段的首項與末項。） 這樣的問題就變化成從小到大一段一段的 首尾相接的節數計算問題。(三十五）n邊形內角和公式=180°×（n-2), 內部對角線的條數公式=n×(n-3)×½.等邊三角形一個內角度數=60°，正五邊形一個內角讀數=108°， 正六邊形一個內角度數=120°。正八邊形一個內角度數=135°，正九邊形一個內角度數=140°，正十二邊形一個內角=150° 奇數階幻方填寫口訣:“1”在上行最中間,依次斜填莫相忘，；右出匡時左邊放,上出匡時下邊放，重數往下旋；出角僅一次,轉回下格間.注意：（1）這里的“1”,是指要填的這一列數中的第一個數.（2）“1”坐邊中間,指第一個數要填在任何一邊的正中間的空格里.（3）從1到2時,必須先向邊外斜（比如：第一個數填在上邊的正中間,填第二個