1、角動量定理及角動量守恒定律一、力對點的力矩：如圖所示，定義力F 對O 點的力矩為： M =r F大小為： M Fr sin 力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法則來判斷：把右手拇指伸直，其余四指彎曲，彎曲的方向由矢徑通過小于1800的角度轉向力的方向時，拇指指向的方向就是力矩的方向。二、力對轉軸的力矩：力對O 點的力矩在通過O 點的軸上的投影稱為力對轉軸的力矩。1）力與軸平行，則M =0；2）剛體所受的外力F 在垂直于轉軸的平面內，轉軸和力的作用線之間的距離d 稱為力對轉軸的力臂。力的大小與力臂的乘積，稱為力F 對轉軸的力矩，用M 表示。力矩的大小為： M Fd 或： M Fr sin

2、 其中是F 與r 的夾角。3）若力F 不在垂直與轉軸的平面內，則可把該力分解為兩個力，一個與轉軸平行的分力F 1，一個在垂直與轉軸平面內的分力F 2，只有分力F 2才對剛體的轉動狀態有影響。對于定軸轉動，力矩M 的方向只有兩個，沿轉軸方向或沿轉軸方向反方向，可以化為標量形式，用正負表示其方向。三、合力矩對于每個分力的力矩之和。合力 F =F i合外力矩 M r F =r F i =r F i =M i即 M M i四、質點的角動量定理及角動量守恒定律在討論質點運動時，我們用動量來描述機械運動的狀態，并討論了在機械運動過程中所遵循的動量守恒定律。同樣，在討論質點相對于空間某一定點的運動時，我們也

3、可以用角動量來描述物體的運動狀態。角動量是一個很重要的概念，在轉動問題中，它所起的作用和(線 動量所起的作用相類似。在研究力對質點作用時，考慮力對時間的累積作用引出動量定理，從而得到動量守恒定律；考慮力對空間的累積作用時，引出動能定理，從而得到機械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩對時間的累積作用，可得出角動量定理和角動量守恒定律；而力矩對空間的累積作用，則可得出剛體的轉動動能定理，這是下一節的內容。本節主要討論的是繞定軸轉動的剛體的角動量定理和角動量守恒定律，在這之前先討論質點對給定點的角動量定理和角動量守恒定律。下面將從力矩對時間的累積作用，引入的角動量的概念，討論質點和剛體的角動量和角動

4、量守恒定律。1質點的角動量（Angular Momentum）描述轉動特征的物理量 1）概念一質量為m 的質點，以速度v 運動，相對于坐標原點O 的位置矢量 為r ，定義質點對坐標原點O 的角動量為該質點的位置矢量與動量的矢量積，即L =r P =r m v 角動量是矢量，大小為 L=rmvsin 式中為質點動量與質點位置矢量的夾角。角動量的方向可以用右手螺旋法則來確定。 角動量的單位： kg.m2.s -1 2）說明：（1）大到天體，小到基本粒子，都具有轉動的特征。但從18世紀定義角動量，直到20世紀人們才開始認識到角動量是自然界 最基本最重要的概念之一，它不僅在經典力學中很重要，而且在近代

5、物理中的運用更為廣泛。例如，電子繞核運動，具有軌道角動量，電子本身還有自旋運動，具有自旋角動量等等。原子、分子和原子核系統的基本性質之一，是它們的角動量僅具有一定的不連續的量值。這叫做角動量的量子化。因此，在這種系統的性質的描述中，角動量起著主要的作用。（2）角動量不僅與質點的運動有關，還與參考點有關。對于不同的參考點，同一質點有不同的位置矢量，因而角動量也不相同。因此在說明一個質點的角動量時，必須指明是相對于哪一個參考點而言的。（3）角動量的定義式L =r P =r m v 與力矩的定義式M =r F 形式相同，故角動量有時也稱為動量矩動量對轉軸的矩。（4）若質點作圓周運動，v r ，且在同

6、一平面內，則角動量的大小為 2L=mrv=mr，寫成矢量形式為L =mr 2（5）質點作勻速直線運動時，盡管位置矢量r 變化，但是質點的角動量L 保持不變。 L=rmvsin =mvd2質點的角動量定理（Theorem of Angular Momentum） （1）質點的轉動定律問題：討論質點在力矩的作用下，其角動量如何變化。設質點的質量為m ，在合力F 的作用下，運動方程為d v d (m v F =m a =m =d t d t用位置矢量r 叉乘上式，得d (m v r F =r d t考慮到d d d r(r m v =r (m v +m vd t d t d td r和 v =v v

7、 =0d td得 r F =(r m v d t由力矩 M r Fd和角動量的定義式L =(r m v d td L得 M d t表述：作用于質點的合力對參考點O 的力矩，等于質點對該點O 的角動量隨時間的變化率，有些書將其稱為質點的轉動定律（或角動量定理的微分形式）。這與牛頓第二定律F =P /t 在形式上是相似的，其中M 對應著F ，L 對應著P 。 （2）沖量矩和質點的角動量定理把上式改寫為 M t =LM dt 為力矩和作用時間的乘積，叫作沖量矩。對上式積分得t 2M t =L 2-L 1t 1t 2式中L 1和L 2分別為質點在時刻t 1和t 2的角動量，M t 為質點在時間間隔t

8、2- t 1內所受的沖量t 1矩。質點的角動量定理：對同一參考點，質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量。 成立條件：慣性系3質點的角動量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum） 若質點所受的合外力矩為零，即M =0，則L r m v 恒矢量這就是角動量守恒定律：當質點所受的對參考點的合外力矩為零時，質點對該參考點的角動量為一恒矢量。 說明：(1質點的角動量守恒定律的條件是M =0，這可能有兩種情況： 合力為零； 合力不為零，但合外力矩為零。例如：質點作勻速圓周運動就是這種情況。質點作勻速圓周運動時，作用于質點的合力是指向圓心的所謂有心力，故其力

9、矩為零，所以質點作勻速圓周運動時，它對圓心的角動量是守恒的。不僅如此，只要作用于質點的力是有心力，有心力對力心的力矩總是零，所以，在有心力作用下質點對力心的角動量都是守恒的。太陽系中行星的軌道為橢圓，太陽位于兩焦點之一，太陽作用于行星的引力是指向太陽的有心力，因此如以太陽為參考點O ，則行星的角動量是守恒的。 特例：（1）在向心力的作用下，質點對力心的角動量都是守恒的； （2）勻速直線運動。（2）角動量守恒定律是物理學的另一基本規律。在研究天體運動和微觀粒子運動時，角動量守恒定律都起著重要作用。典型例題1、如圖所示，一靜止的均勻細棒，長為L 、質量為M ，可繞通過棒的端點且垂直于棒長的光滑固定

10、軸2O 在水平面內轉動，轉動慣量為ML /3一質量為m 、速率為v 的子彈在水平面內沿與棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，設穿過棒后子彈的速率為v /2，則此時棒的角速度應為 m v 3m v 7m v 5m v(A ML (B 2ML (C 3ML (D 4ML 12v3m v v 2=俯視圖 mvL =ML +m L 322ML , 選（D ） 解：角動量守恒 ,2在一光滑水平上，有一輕彈簧，一端固定，一端連接一質量m=1kg的滑塊，如圖所示。彈簧自然l -1-1長度l 0=0.2m，倔強系數k=100N·m 。設t=0時，彈簧長度為0，滑塊速度v 0=5m·s ，方向

11、與彈簧垂直。v 在某一時刻，彈簧位于與初始位置垂直的位置，長度l=0.5m。求該時刻滑塊速度的大小和方向。解：220222mv 0 0=mv sin 2mv =mv +k ( - 0解2v =v 0-km得( - 0 2=4m /s , =3003假設衛星環繞地球中心作圓周運動，則在運動過程中，衛星對地球中心的 (A 角動量守恒，動能也守恒 (B 角動量守恒，動能不守恒(C 角動量不守恒，動能守恒 (D 角動量不守恒，動量也不守恒 提示：衛星所受唯一外力為萬有引力，是“有心力”，故角動量守恒；該外力不做功，故動能守恒。4若作用于一力學系統上外力的合力為零，則外力的合力矩_（填一定或不一定）為零

12、；這種情況下力學系統的動量、角動量、機械能三個量中一定守恒的量是 _提示：反例如：合力為0，但合力矩不為0，此時動量一定守恒。5一根長為l 的細繩的一端固定于光滑水平面上的O 點，另一端系一質量為m 的小球，開始時繩子是松弛的，小球與O 點的距離為h 使小球以某個初速率沿該光滑水平面上一直線運動，該直線垂直于小球初始位置與O 點的連線當小球與O 點的距離達到l 時，繩子繃緊從而使小球沿一個以O 點為圓心的圓形軌跡運動，則小球作圓周運動時的動能E K 與初動能E K 0的比值E K / E K 0 = _ v 2h 2v h=2=2l v 0l 提示：小球運動過程角動量守恒：mv 0h =mvh

13、 v 06如圖所示，在中間有一小孔O 的水平光滑桌面上放置一個用繩子連結的、質量m = 4 kg的小塊物體繩的另一端穿過小孔下垂且用手拉住開始時物體以半徑R 0 = 0.5 m在桌面上轉動，其線速度是4 m/s現將繩緩慢地勻速下拉以縮短物體的轉動半徑而繩最多只能承受 600 N的拉力求繩剛被拉斷時，物體的轉動半徑R 等于多少？提示：N 、G 合力矩為0，T 為有心力，故物體角動量守恒： mv 0R 0=mvR 又有拉力提供向心力：mv 2T =R 聯立可解7在光滑的水平面上，有一根原長l 0 = 0.6 m、勁度系數k = 8 N/m的彈性繩，繩的一端系著一個質量m = 0.2 kg的小球B ，另一端固定在水平面上的A 點最初彈性繩是松弛