1、 第十三屆反應堆數值計算與粒子輸運學術會議論文書寫規范（參考論文模板）（1） 論文錄入請用word文檔，紙張為A4，頁邊距取默認上下2.54厘米，左右3.17厘米，頁面設置無網格；（2） 標題：二號黑體，單倍行距，居中；（3） 作者姓名：四號仿宋，居中；通信地址：六號仿宋，居中；（4） 腳注：包括基金資助項目名稱和項目號；六號黑體，左對齊，單倍行距。（5） “摘要”：小五號宋體，摘要內容：小五號宋體，單倍行距，兩端對齊；（6） “關鍵詞”：小五號宋體，關鍵詞內容：小五號宋體，單倍行距；（7） 論文分節編碼：阿拉伯數字分級編號，最2級。兩端對齊，字號（1級四號、2級小四號）。（8） 論文正文：五

2、號宋體，兩端對齊，首行縮進2字符，單倍行距，分兩欄；（9） 圖題、表題：圖表依次編號，小五號宋體，居中對齊；（10） 公式：所有公式以“（）”依次編號，首行縮進2字符，單倍行距，分散對齊；（11） “參考文獻”：小五號宋體； 參考文獻：以“”依次編號，懸掛縮進2字符，10磅宋體，兩端對齊。（12） 全文所有英文字母采用 Time New Roma字體。（13） 論文以“姓名_單位_論文名稱”命名。為了統一格式，將論文匯編成冊，請您在編寫論文時務必遵守通知中的規定。謝謝您的合作！以下為論文模板中子輸運方程的Daubechies小波角度離散鄭友琦1，吳宏春1，曹良志1，于穎銳2（1. 西安交通大學

3、核科學與技術學院，西安，710049; 2. 中國核動力研究設計院核反應堆系統設計技術國家級重點實驗室，成都，610041）摘要： 近年來對新型反應堆中廣泛應用的MOX燃料的研究表明，中子通量密度在該型燃料柵元中隨角度的分布呈現出劇烈的震蕩，傳統的角度離散方法很難對其進行很好的逼近。本研究利用具有緊支、正交特點的Daubechies小波離散中子輸運方程的角度變量，建立了中子輸運方程小波基函數展開的理論模型。將小波展開與離散縱標方法相結合，解決了二維張量積小波展開引入的大規模通量矩耦合問題，降低了耦合規模，實現了二維高階小波展開的數值求解。數值校驗證明：中子輸運方程小波分析方法可以高精度地模擬復

4、雜中子通量密度隨角度的分布。關鍵詞：Daubechies小波；中子輸運方程；角度離散 中圖分類號：TL323 文獻標識碼： A1 引 言中子輸運方程是一個與空間、角度、能量、時間等7個自變量相關的微分-積分形式的方程，對其角度變量的離散尤其困難。目前已經有PN方法、SN方法等多種方法，但是當中子通量密度隨角度急劇變化時，這些方法都很難精確地逼近真實值。近年來，新型MOX燃料（混合物氧化物燃料）組件受到空前重視。而Adams1在對MOX燃料柵格進行非均勻計算時，發現其快群中子通量密度隨方向變量的分布是畸形且極不規則的。這就對傳統的角度離散方法提出了挑戰。小波分析方法被廣泛地應用于信號處理、微分方

5、程的求解、圖像壓縮及機械故障診斷等領域，并取得了非常好的效果。由于Daubechies小波函數及其尺度函數具有緊支、正交的特點，可以準確逼近不規則的函數，尤其是對于具有局部振蕩的函數，具有非常高的逼近精度。因此，如果能將Daubechies小波作為基函數用于展開中子輸運方程的角度變量，則可以高精度地模擬中子通量密度隨角度變量的畸形分布。本文將Daubechies小波應用于中子輸運方程的角度變量離散中，保證了對復雜中子角通量密度分布的有效模擬。通過對中子輸運方程極角變量和幅角變量的分別處理，降低了小波展開的耦合規模，提高了數值計算的效率。通過數值驗證證明，小波展開方法不僅可以滿足傳統中子輸運問題

6、的求解，同時可以高精度地計算中子通量密度隨角度變量劇烈振蕩分布的問題。2 理論模型2.1 Daubechies小波簡介Daubechies小波定義如下2： (1) 其中，w定義為小波函數，Z、R分別表示整數和實數集合，L2(R)表示平方可積函數空間，j、k分別定義為伸縮階數和平移數。Daubechies小波有以下一些主要性質：（1） 緊支性：若某函數在區間a,b外恒為零，則稱該函數在這個區間上緊支，稱a,b為函數的支集。支集越小的小波，局部化能力越強。Daubechies小波的緊支集由Daubechies階數N決定2： (2)（2）正交性：Daubechies小波具有正交的性質： (3)（3）

7、完備性：Dohon已經證明3，Daubechies小波是平方可積函數的無條件基。因此，任意平方可積函數f(x)可以表示為： (4)對于二維問題，最常用的方法是將小波展開式表示為張量積的形式，即：(5)由于Daubechies小波本身沒有解析表達式，只能采用數值方法求解其在離散點上的值。Daubechies小波具有二尺度關系： (6) (7)其中，v定義為Daubechies小波的尺度函數，hk為Daubechies濾波器系數2。本文首先利用二尺度方程(6)求解尺度函數在整數點上的值，進而通過遞推方法求解其在二分點上的值，最后利用方程(7)求得Daubechies小波函數的值。2.2 二維中子輸

8、運方程角度變量離散二維中子輸運方程定義如下： (8)其中，分別定義極角余弦和方位角變量(見圖1)。為妥善處理邊界條件，本文采用分象限小波基函數展開對中子輸運方程進行角度離散，象限劃分見圖2。圖1 坐標系及角度變量定義 Fig. 1 the variable definition in Cartesian geometry 圖2 方位角變量象限劃分Fig.2 the quadrant division of azimuthal variable經推導可得，各象限輸運方程形式如下：其中i=1,2,3,4 ，分別代表第1-4象限 (9)若采用傳統張量積形式的二維小波函數展開，中子通量密度可以表示為：

9、 (10)其中，表示小波展開系數，定義為變量代換后的方位角變量。結合方程(4)可以看到，當采用該方法對輸運方程進行直接求解時，存在2Jm+Jn(Jm、Jn分別定義極角變量和方位角變量的展開階數)個耦合的通量矩有待求解。不難看出，在高階計算時該方法必然導致大規模的通量矩耦合，從而極大地影響二維計算的效率，甚至可能導致數值求解不穩定。事實上，中子通量密度隨極角變量的分布一般是較為光滑的。同時，小波張量積形式展開的推導表明，極角變量與方位角變量可以在展開過程中進行分別處理。因此，本文提出采用離散縱標方法離散極角變量并在此基礎上對方位角變量進行一維小波展開。于是，方程(8)按傳統離散縱標方法進行分象限

10、離散可以得到： (11)其中，a的定義同方程(9)。對應的小波展開形式可以表示為： (12)于是，可以得到各象限小波基函數展開后的中子輸運方程形式： (13)其中, N1=-1,1,1-1; N2 =-1,-1,1,1; i=1,2,3,4;。由方程(13)可以看出，離散縱標與一維小波基函數展開耦合的方法在各象限內分別存在M個獨立的2Jn個耦合的通量矩。其中，M為離散縱標方法在極角方向上的離散階數，Jn定義為方位角變量的展開階數。相比傳統的二維張量積小波展開，該方法大大降低了通量矩的耦合規模，從而提高了二維高階中子輸運計算的效率。同時，由于耦合規模的降低，計算的穩定性得到很大的改善。本文采用最

11、小二乘有限元方法對方程組(13)進行離散。對于耦合的通量矩，采用超松弛迭代方法進行脫耦處理。3 數值驗證3.1 BWR（沸水堆）基準題數值驗證以一個沸水堆柵元4為例，幾何結構如圖3所示，其中1區為均勻化的燃料棒，2區為輕水慢化劑，四周為全反射邊界條件。表1給出了各區截面參數，表2給出了計算結果與參考文獻4的比較結果，其中的參考值由基于積分輸運理論的輸運計算程序所得。圖3 BWR柵元幾何結構/(cm) Fig. 3 the geometry of BWR cell/(cm)表1 BWR柵元截面參數Table 1 the cross section of BWR cell/cm-1/cm-1/cm

12、-1/cm-11群燃料6.203E-31.78E-11.002E-21.966E-11.0慢化劑0.01.995E-12.188E-22.221E-12群燃料1.101E-11.089E-35.255E-15.961E-10.0慢化劑0.01.558E-38.783E-18.879E-1表2 BWR柵元計算結果比較Table 2 the comparison of results of the BWR cell展開階數1群2群特征值燃料慢化劑燃料慢化劑參考值1.0*0.92690.35270.45141.21272極角方位角2階展開1.00.93800.35530.46011.21342極角方

13、位角3階展開1.00.93610.35480.45971.21333極角方位角2階展開1.00.93310.35430.45651.21333極角方位角3階展開1.00.93100.35380.45611.2132*中子通量密度歸一化原則: 1區快群中子通量密度等于1.03.2 Adams中子角通量密度振蕩分布問題本例為Adams在研究燃料、慢化劑無限柵格內高能中子隨角度變量的分布時所構造的問題1。問題的幾何描述與截面參數分別參見圖4和表3。在計算中子角通量密度分布時，文獻1采用512個均勻分布的角度離散點進行求解，最終得到了高精度的中子角通量密度分布，如圖5所示。從結果中不難發現，此類問題采

14、用傳統多項式展開方法很難進行準確逼近。而從圖6可知，本文采用小波分析方法進行的角度離散計算，得到了較為理想的結果。結果證明，小波分析方法在角度變量離散中具有相當強的適用性和較高的精度。表3 Adams問題截面參數Table 3 the cross section of Adamss problemFuel0.1413670.057843Moderator0.00.0727740.008642 圖4 Adams問題幾何結構(cm) Fig. 4 the geometry of Adamss problem 圖5 Adams問題研究結果拷貝1 Fig. 5 the result of Adamss

15、 problem (copy form literature 1) 圖6 Adams問題小波分析方法計算結果Fig. 6 the wavelet solution of Adamss problem4結 論（1）Daubechies小波分析方法在中子通量密度的角度離散中具有相當強的適用性和較高的精度，可以很好地模擬中子通量密度隨角度變量的畸形分布。（2）中子通量密度的角度離散計算中采用小波展開與離散縱標方法耦合求解的二維計算策略，降低了由于二維張量積小波展開導致的大規模耦合，提高了計算效率，增強了計算穩定性，使得二維高階小波方法更加高效和易于數值實現。參 考 文 獻： 1 Adams M.L.

16、 Angular dependence of the fast flux in reactor lattices R. Trans Am Nucl Soc., 2001, 81: 212-214. 2 Daubechies I. Ten lectures on wavelets M. Philadelphia, PA: SIAM, 1992.3 Dohon D.L. Unconditional bases are optimal bases for data compression and for statisticalJ. Appl Comput Harmonic Anal. 1993, 1

17、(1): 100-115.4 Stepanek J. Calculation of four thermal reactor benchmark problems in X-Y geometry R. EPRI NP-2855, 1983.The angular discretization of neutron transport equation based on the Daubechies waveletsZheng Youqi Wu Hongchun Cao Liangzhi (School of Nuclear Science and Technology, Xian Jiaoto

18、ng University, Xian 710049, China)Abstract: Recent studies on the MOX fuel cell calculation indicate that the angular flux is a bumpy and irregular function, which is difficult to be represented by using traditional methods. The Daubechies wavelets, possessing the properties of orthonormality and compact support, are applied in the angular discretization of neutron transport equation to solve thi