1、五年高考真題分類匯編：概率一.填空題1（2013福建高考理）利用計算機產生01之間的均勻隨機數a，則事件“3a10”發生的概率為_【解析】本題考查了幾何概型與隨機模擬等知識，意在考查考生的轉化和化歸能力、運算求解能力因為0a1，由3a10得0”發生的概率為.【答案】2（2013安徽高考理）若8的展開式中x4的系數為7，則實數a_.【解析】本題考查二項展開式的通項二項式8展開式的通項為Tr1Carx8r，令8r4，可得r3，故Ca37，易得a.【答案】3（2013浙江高考理）設二項式5的展開式中常數項為A，則A_.【解析】本題考查二項式定理及相關概念，考查利用二項式定理解決相關問題的能力以及考生

2、的運算求解能力Tr1(1)rCx，令155r0，得r3，故常數項A(1)3C10.【答案】104（2013浙江高考理）將A，B，C，D，E，F六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有_種(用數字作答)【解析】本題考查對排列、組合概念的理解，排列數、組合數公式的運用，考查運算求解能力以及利用所學知識解決問題的能力“小集團”處理，特殊元素優先，CCAA480.【答案】4805（2013重慶高考理）從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫生中選派5人組成一個抗震救災醫療小組，則骨科、腦外科和內科醫生都至少有1人的選派方法種數是_(用數字作答)【解析】本題考查排列組合問題，意在考查考生的思維

3、能力直接法分類，3名骨科，內科、腦外科各1名；3名腦外科，骨科、內科各1名；3名內科，骨科、腦外科各1名；內科、腦外科各2名，骨科1名；骨科、內科各2名，腦外科1名；骨科、腦外科各2名，內科1名所以選派種數為CCCCCCCCCCCCCCCCCC590.【答案】5906.（2013新課標II高考理）從n個正整數1,2，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為，則n_.【解析】本題考查排列組合、古典概型等基本知識，意在考查考生的基本運算能力與邏輯分析能力試驗基本事件總個數為C，而和為5的取法有1,4與2,3兩種取法，由古典概型概率計算公式得P，解得n8.【答案】87（2013北京高

4、考理）將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是_【解析】本題考查排列組合中的分組安排問題，意在考查考生分析問題、解決問題的能力按照要求要把序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券分成4組，然后再分配給4人，連號的情況是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法數是4A96.【答案】968（2013山東高考理）在區間3,3上隨機取一個數x，使得|x1|x2|1成立的概率為_【解析】本題考查絕對值不等式的解法、幾何概型等基礎知識，考查分類與整合思想，考查運算求解能力當x1時，不等式|x1|x2|1，即(x1)(x2)3

5、1，此時無解；當12時，不等式|x1|x2|1，即x1x231，解得x2.在區間3,3上不等式|x1|x2|1的解集為1x3，故所求的概率為.【答案】9（2013大綱卷高考理）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數字作答)【解析】本題考查排列組合知識法一：(間接法)AAA480.法二：(直接法)AA480.【答案】48010（2013四川高考理）二項式(xy)5的展開式中，含x2y3的項的系數是_(用數字作答)【解析】本題考查二項式的通項，意在考查考生的運算能力因為C10，故含x2的項的系數是10.【答案】1011.（2013天津高考理）6的二項展開式中的常數項為_【解析

6、】本題考查二項式定理的應用，意在考查考生的運算求解能力二項式6展開式的第r1項為Tr1Cx6r()rC(1)rx6r，當6r0，即r4時是常數項，所以常數項是C(1)415.【答案】1512（2013重慶高考文）若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為_【解析】本題主要考查古典概型，考查考生的邏輯思維能力三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6種排法，其中甲、乙相鄰有4種排法，所以甲、乙兩人相鄰而站的概率為.【答案】13（2013江蘇高考文）現有某類病毒記作XmYn，其中正整數m，n(m7，n9)可以任意選取，則m，n都取到奇數的概率為_【解析】

7、本題考查古典概型的相關知識，意在考查用枚舉法求概率基本事件總數為N7963，其中m，n都為奇數的事件個數為M4520，所以所求概率P.【答案】14（2013大綱卷高考文）從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結果共有_種(用數字作答)【解析】本題主要考查組合、分步計數乘法原理的應用第一步決出一等獎1名有C種情況，第二步決出二等獎2名有C種情況，第三步決出三等獎3名有C種情況，故可能的決賽結果共有CCC60種情況【答案】6015（2013福建高考文）利用計算機產生01之間的均勻隨機數a，則事件“3a10”發生的概率為_【解析】本題主要考查幾何概型與隨機模擬等基

8、礎知識，意在考查或然與必然思想，考查考生的數形結合能力、轉化和化歸能力、運算求解能力由題意，得0a，所以根據幾何概型的概率計算公式，得事件“3a1E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大法二：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這兩人的累計得分X3”的事件為A，則事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三個兩兩互斥的事件，因為P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，

9、則X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因為E(X1)E(X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大58（2013遼寧高考理）現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答(1)求張同學至少取到1道乙類題的概率；(2)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設張同學答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立用X表示張同學答對題的個數，求X的分布列和數學期望解：本題主要考查概率的綜合應用，離散型隨機變量的分布列和數學期望同時也考查考生分析問題以及應用知識解決實際問題的能力(

10、1)設事件A“張同學所取的3道題至少有1道乙類題”，則有“張同學所取的3道題都是甲類題”因為P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值為0,1,2,3.P(X0)C02；P(X1)C11C02；P(X2)C20C11；P(X3)C20；所以X的分布列為：X0123P所以E(X)01232.59（2013安徽高考理）某高校數學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責已知該系共有n位學生，每次活動均需該系k位學生參加(n和k都是固定的正整數)假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發給該系k位學生，且所發信息都能收到記該系收到李老師或張老

11、師所發活動通知信息的學生人數為X.(1)求該系學生甲收到李老師或張老師所發活動通知信息的概率；(2)求使P(Xm)取得最大值的整數m.解：本題主要考查古典概型，計數原理，分類討論思想等基礎知識和基本技能，考查抽象的思想，邏輯推理能力，運算求解能力，以及運用數學知識分析和解決實際問題的能力(1)因為事件A：“學生甲收到李老師所發信息”與事件B：“學生甲收到張老師所發信息”是相互獨立的事件，所以與相互獨立由于P(A)P(B)，故P()P()1，因此學生甲收到活動通知信息的概率P12.(2)當kn時，m只能取n，有P(Xm)P(Xn)1.當kn時，整數m滿足kmt，其中t是2k和n中的較小者由于“李

12、老師和張老師各自獨立、隨機地發活動通知信息給k位同學”所包含的基本事件總數為(C)2.當Xm時，同時收到李老師和張老師轉發信息的學生人數恰為2km，僅收到李老師或僅收到張老師轉發信息的學生人數均為mk.由乘法計數原理知：事件Xm所含基本事件數為CCCCCC.此時P(Xm).當kmt時，P(Xm)P(Xm1)CCCC(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2kt成立，則當(k1)2能被n2整除時，k2k2k1t.故P(Xm)在m2k和m2k1處達最大值；當(k1)2不能被n2整除時，P(Xm)在m2k處達最大值(注：x表示不超過x的最大整數)下面證明k2kt.因為1kn，所以2kk0.而2k

13、n0，故2kn，顯然2k2k.因此k2kt.60（2013浙江高考理）設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分數之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分數若E()，D()，求abc.解：本題主要考查相互獨立事件、隨機變量的分布列、數學期望、方差等概念及相關計算，考查抽象概括以及運用所學知識分析問題解決問題的能力(1)由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，

14、P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()，D()222.化簡得解得a3c，b2c，故abc321.61（2013重慶高考理）某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據摸出4個球中紅球與藍球的個數，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X

15、的分布列與期望E(X)解：本題主要考查隨機變量的概率、分布列和數學期望，意在考查考生的閱讀理解能力以及轉化與化歸能力設Ai表示摸到i個紅球，Bj表示摸到j個藍球，則Ai(i0,1,2,3)與Bj(j0,1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為P(A1).(2)X的所有可能值為：0,10,50,200，且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0)1.綜上知X的分布列為X01050200P從而有E(X)010502004(元)62（2013新課標高考理）一批產品需要進行質量檢驗，檢驗方案

16、是：先從這批產品中任取4件作檢驗，這4件產品中優質品的件數記為n.如果n3，再從這批產品中任取4件作檢驗，若都為優質品，則這批產品通過檢驗；如果n4，再從這批產品中任取1件作檢驗，若為優質品，則這批產品通過檢驗；其他情況下，這批產品都不能通過檢驗假設這批產品的優質品率為50%，即取出的每件產品是優質品的概率都為，且各件產品是否為優質品相互獨立(1)求這批產品通過檢驗的概率；(2)已知每件產品的檢驗費用為100元，且抽取的每件產品都需要檢驗，對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位：元)，求X的分布列及數學期望解：本題主要考查獨立重復試驗和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機變量的分布列和數學

17、期望等，意在考查考生的閱讀理解能力及運用所學概率知識解決實際問題的能力(1)設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A1，第一次取出的4件產品全是優質品為事件A2，第二次取出的4件產品都是優質品為事件B1，第二次取出的1件產品是優質品為事件B2，這批產品通過檢驗為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800).所以X的分布列為X400500800PEX400500800506.2

18、5.63（2013新課標II高考理）經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品以X(單位：t,100X150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤(1)將T表示為X的函數；(2)根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如：若需求量X100,11

19、0)則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的數學期望解：本題考查概率、統計的知識，考查頻率分布直方圖以及隨機變量的分布列及其期望的基本求解方法，意在考查考生的理解能力以及基本運算能力(1)當X100,130)時，T500X300(130X)800X39 000，當X130,150時，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利潤T不少于57 000元，當且僅當120X150.由直方圖知需求量X120,150的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061

20、00065 000P0.10.20.30.4所以ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.64（2013北京高考理）下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；(2)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數，求X的分布列與數學期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大？(結論不要求證明)解：本題考查統計圖、古典概型、離散型隨機變量的分布列和數學期望、方差

21、等基礎知識，意在考查數形結合思想和考生的數據處理能力、運算求解能力設Ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i1,2，13)根據題意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染”，則BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列為X012P故X的期望EX012.(3)從3月5日開始連續三天的空氣質

22、量指數方差最大65（2013陜西高考理）在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，求X的分布列及數學期望解：本題考查實際生活中的古典概型和相互獨立事件的概率的計算，以及分布列和期望的計算(1)設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，則P

23、(A)，P(B).事件A與B相互獨立，觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)設C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則P(C).X可能的取值為0,1,2,3，且取這些值的概率分別為P(X0)P(A )，P(X1)P( )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P(BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列為X0123PX的數學期望EX0123.66（2013江西高考理）小波以游戲方式決定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊游戲規則為：以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)這8個點中任取兩點分別

24、為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為X.若X0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊(1)求小波參加學校合唱團的概率；(2)求X的分布列和數學期望解：本題將平面向量與概率統計知識相交匯，創新味十足，屬能力立意的好題，主要考查平面向量的數量積、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列與數學期望等相關知識(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C28種，X0時，兩向量夾角為直角共有8種情形，所以小波參加學校合唱團的概率為P(X0).(2)兩向量數量積X的所有可能取值為2，1,0,1，X2時，有2種情形；X1時，有8種情形；X1時，有10種情形所以X的分布列為：X2101PEX(2)(1)

25、01.67.（2013山東高考理）甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結果互相獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結果為30或31，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結果為32，則勝利方得2分、對方得1分求乙隊得分X的分布列及數學期望解：本題考查相互獨立事件的概率、二項分布、離散型隨機變量的概率分布與數學期望等基礎知識，考查分類與整合思想，考查運算求解能力，考查分析問題和解決問題的能力(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意知，各局比賽結果相互獨立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設“乙隊以32勝利”為事件A4，由題意知，各局比賽結果相互獨立，所以P(A4)C22.