1、6熱力學統計物理1、請給出嫡、始、自由能和吉布斯函數的定義和物理意義?d?d?斛：烯J的小乂： ?- ?= J?而？ d?= f?沿可逆過程的熱溫比的積分，只取決于始、末狀態，而與過程無關，與保守力作功類似。因而可認為存在一個態函數，定義為嫡。始的定義：?= ?+ ?始的變化是系統在等壓可逆過程中所吸收的熱量的度量。自由能的定義：？?= ?- ?自由能的減小是在等溫過程中從系統所獲得的最大功。吉布斯函數的定義：? = ?+ ? ? ? ?在等溫等壓過程中，系統的吉布斯函數永不增加。也就是說，在等溫等壓條件下，系統中 發生的不可逆過程總是朝著吉布斯函數減少的方向進行的。2、請給出熱力學第零、第一

2、、第二、第三定律的完整表述解：熱力學第零定律：如果兩個熱力學系統中的每一個都與第三個熱力學系統處于熱平衡 (溫度相同)，則它們彼此也必定處于熱平衡。熱力學第一定律：自然界一切物體都具有能量，能量有各種不同形式，它能從一種形式轉 化為另一種形式，從一個物體傳遞給另一個物體，在轉化和傳遞過程中能量的總和不變。 熱力學第二定律：克氏表述：不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化；開氏表述：不可能從單一熱源吸熱使之完全變成有用的功而不引起其他變化。熱力學第三定律：能氏定理：凝聚系的嫡在等溫過程中的改變隨熱力學溫度趨于零，即lim(?= 0?-0"絕對零度不能達到原理：不肯能通過有限

3、的步驟使一個物體冷卻到熱力學溫度的零度。通 常認為，能氏定理和絕對零度不能達到原理是熱力學第三定律的兩種表述。3、請給出定壓熱容與定容熱容的定義，并推導出理想氣體的定壓熱容與定容熱容關系式:?- ?= ?解：定容熱容：？?=(弱?示在體積不變的條件下內能隨溫度的變化率;定壓熱容：？?=(裁?(3=(竟 表示在壓強不變的情況下的嫡增; ?對于理想氣體，定容熱容？羽偏導數可以寫為導數，即(1)d?=-?d?定壓熱容？羽偏導數可以寫為導數，即?= d?d?理想氣體的嫡為？?= ?+ ? ?+ ?(3)由(1) (2) (3)式可得理想氣體的定壓熱容與定容熱容關系式： ?- ?= ?4、分別給出體漲系

4、數？壓強系數？/口等溫壓縮系數？?？的定義，并證明三者之間的關系： ?= ?1 ?解：體漲系數：a=?(五?y a給出在壓強不變的條件下，溫度升高1 K所引起的物體的體積的相對變化；壓強系數：？?= U? , ?合出在體積不變的條件下，溫度升高1 K所引起的物體的體積 /?的相對變化；等溫壓縮系數：？?=-、鏘、?給出在溫度不變的條件下，增加單位壓強所引起的物體 的體積的相對變化；由于p、V、T三個變量之間存在函數關系f （p, T, V） =0,其偏導數存在以下關系： （斑（凝/孤廣-1 因止匕a, ? ?加足a = ?5、分別給出內能，始，自由能，吉布斯函數四個熱力學基本方程及其對應的麥克

5、斯韋關系工解：內能的熱力學基本方程：d?= ?d? ?d?對應的麥克斯韋關系式:始的熱力學基本方程：對應的麥克斯韋關系式:?(兩?=-(書?d?= ?d? ?d?自由能的熱力學基本方程:對應的麥克斯韋關系式:?(?=(方?？d?= -?d?+ ?d?有?:？吉布斯函數的熱力學基本方程:對應的麥克斯韋關系式:?d?= -?d?2 ?d?(?)?= -(?)?6、選擇T, V為獨立變量，證明：？?= 2喀、/ （裁?證明：選擇T, V為獨立變量，內能U的全微分為?/?- ?d?=（裁 d?+ （葛？ d? ?又已知內能的熱力學基本方程d?= ?d? ?d?以T, V為自變量時，嫡S的全微分為(2)

6、(1)?d?= f?d?+ (書?d?(3)式代入(2)式可得(3)d?= ?7裁?嚴?+ ?（竟- ?（4）式與（1）式比較可得-?d?(4)_ _?_ _ ?=(兩?= ?7次?(5)?(而?= ?g?- ?(6)7、簡述節流過程制冷，氣體絕熱膨脹制冷，磁致冷卻法的原理和優缺點 解：節流過程制冷：原理：讓被壓縮的氣體通過一絕熱管，管子的中間放置一多孔塞或頸縮管。由于多孔塞的 作用，氣體在它的兩側形成壓強差，氣體從高壓側緩慢流到低壓側，并達到穩恒狀態，這 個過程被稱為節流過程。優點：（1）裝置沒有移動的部分，低溫下移動部分的潤滑是十分困難的問題；（2）在一定的壓強降落下，溫度愈低所獲得的溫度

7、降落愈大。缺點：節流過程降溫，氣體的初始溫度必須低于反轉溫度。絕熱膨脹制冷：原理：能量轉化的角度看，系統對外做功，內能減少，膨脹分子間平均距離增大，分子問 相互作用勢能增加，分子的平均動能必減少，溫度必降低。優點：不必經過預冷；缺點：膨脹機有移動的部分，溫度愈低降溫效應愈小。磁致冷卻法：在絕熱過程中順磁性固體的溫度隨磁場的減小而下降。優點：可以獲得更低的溫度；缺點：磁致冷卻過程是單一循環，不能連續工作。8、選擇T, V為獨立變量，推導出吉布斯亥姆霍茲方程解：(1)已知自由能的全微分表達式為d?= -?d?0 ?d?因此? ?=-?如果已知F (T, V),求F對T的偏導數即可得出嫡S (T,

8、V)；求F對V的偏導數即可得出 壓弓雖p (T, V),這就是物態方程。根據自由能的定義，F=UTS,有?= ?+ ? ?2 ?即為吉布斯亥姆霍茲方程；(2)已知吉布斯函數的全微分表達式為d?= -?d?+ ?d?因此? ?=?如果已知G (T, V),求G對T的偏導數即可得出嫡S (T, V)；求F對V的偏導數即可得出 壓弓雖p (T, V),這就是物態方程。根據吉布斯函數的定義，G=U-T&pV,有?= ?+ ? ? ?- ? ? ?由始的定義？?= ?+ ?得?= ?2 ?即為吉布斯亥姆霍茲方程。9、推導出克拉珀龍方程和理想氣體的蒸汽壓方程解：設(T, P)和(T+dT, p+d

9、T)是兩相平衡曲線上臨近的兩點，在這兩點上，兩相的化學 勢都相等：?(? ?)= ?7?, ?)?(?+ d? ?+ d?)= ?+ d? ?+ d?)兩式相減的d?= d?(1)表示當沿著平衡曲線由(T, p)變到(T+dT, p+dT)時，兩相的化學勢的變化相等。化學勢 的全微分為d?= -?d?+ ?(2)?和?分別表示摩爾嫡和摩爾體積, 將(2)式代入(1)式得-?m?d?+ ?m? -?d?+ ?m?d?77? 77? ?m-?m ?薩?照(3)以L表示1mol物質由肺目轉變到滸目所吸收的相變潛熱，因為相變時物質的溫度不變，則?= ?(?- ?m?)(4)將（4）式代入（3）式可得?

10、方?= 一?一募d? ?（?- ?j即為克拉珀龍方程；在（5）式中略去？?,并把氣相看作理想氣體？?= ?則（5）式可化簡為（6）6）式積分可得（7）1 ? ?d?= ?如果更進一步近似地認為相變潛熱與溫度無關，將（ln?=?+ ? ?即為蒸汽壓方程的近似表達式。10、簡述一級相變和二級相變的特點解：一級相變：在相變點兩相的化學式連續，但化學式的以及偏導數存在突變。在一級相 變中兩相有各自的非奇異的化學式函數，相變點是兩相化學勢函數的交點；在相變點兩相 的化學勢相等，兩相可以平衡共存，但是兩相化學勢的一級導數不等，轉變時有潛熱和比 體積突變；在相變的兩側，化學勢較低的相是穩定相，化學勢較低的相

11、可以作為亞穩態存 在。二級相變：在相變點兩相的化學勢和化學勢的一級偏導數連續，但化學勢的二級偏導數存 在突變。二級相變沒有相變潛熱和比體積突變，但是定壓比熱、定壓膨脹系數和等溫壓縮 系數存在突變。11、簡述你對吉布斯仔謬的理解解：假設有兩氣體，物質的量各為n,令他們在等溫等壓下混合，則由？?= -?二?沏?（1） 可知，混合后的嫡增為 C=2nRn2（2）,這結果與氣體的具體性質無關。不過應強調，由于在推導理想氣體的吉布斯函數 G時用了膜平衡條件，式中的乙？是對不同氣體的求和， 因而（1）式（2）式僅適用于不同氣體，對于同種氣體，由嫡的廣延性可知，“混合”后氣體的嫡應等于“混合”前兩氣體的嫡之

12、和。因此，由性質任意接近的兩種氣體過渡到同種 氣體，嫡由2nRn2突變為零。這成為吉布斯仔謬。12、給出吉布斯相率的數學表達式并詳細解釋其含義和物理意義解：吉布斯相率白數學表達式：？?=?+ 2 - ?f稱為稱為多元相系的自由度，式多元復相系可以獨立改變的的強度變量的數目，?坡示多元復相系有？"相，？褰示每個相有？奢組元，2表示外界因素n,多數取n=2,代 表壓力和溫度；物理意義：吉布斯相律說明了平衡體系中，系統的自由度與相數、組元數之間的關系。13、簡述熱力學和統計物理學的區別和聯系解：熱力學是用宏觀的方法研究熱現象，統計物理學是用微觀的方法研究熱現象。雖然兩 者都是研究熱現象的，

13、但理論體系是完全不一樣的；熱力學是一門極其優美的理論，只使 用最簡單的數學方法，通過四大基本定律，也就是熱力學第零定律、熱力學第一定律、熱 力學第二定律、熱力學第三定律，完全不依靠實驗，僅從四大基本定律推導出整個理論體 系。統計物理學則要使用復雜的數學方法，還要依靠實驗；是由微觀到宏觀的橋梁，它為各種宏觀理論提供依據，已經成為氣體 、液體、固體和等離子體理論的基礎，并在化學和 生物學的研究中發揮作用；統計物理為熱力學提供了清晰的物理圖像和定量的解釋。14,分別給出玻爾茲曼統計分布，波色一愛因斯坦分布，費米一狄克拉公式，并簡述三種 分布之間的關系解：玻爾茲曼統計分布：？?尸？?-?波色一愛因斯坦

14、分布:?=?+?的費米一狄克拉分布:?+?悔1三者之間的關系：玻耳茲曼系統遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統）；玻色系統遵守玻色分布；費米系統遵守費米分布；滿足經典極限條件時，玻色系統和費米系統都滿 足玻耳茲曼分布。15、給出定域系統下滿足玻爾茲曼統計的粒子配分函數，并用其表達出內能、廣義力和嫡解：定域系統下滿足玻爾茲曼統計的粒子配分函數為：?= E ?»?內能的統計表達式：?= -? ?廣義力的統計表達式：? ?= - ?嫡的統計表達式：?= ?n?l - ?）16、簡述能量均分定理及其在解釋單原子分子、雙原子分子和固體比熱等模型上的困難解：能量均分定理：對于處在溫度為 T的

15、平衡狀態的經典系統，粒子能量中每一個平方項的平均值2?對于單原子分子，定壓熱容與定容熱容之比 ？?= £= 5= 1.667,此理論結果與實驗結果符 ?37合的很好，但是在討論中是將原子看作一個質點，完全沒有考慮原子內電子的運動，原子內的電子對熱容沒有貢獻是經典理論所不能解釋的，要用量子理論才能解釋。（沒有考慮原子內的電子運動）；?9對于雙原子分子，定壓熱容與定容熱容之比 ？?=荔=1.40,除了在低溫之下的氫氣以外， 實驗結果與理論結果都符合。氫氣在低溫下的性質經典理論不能解釋。此外不考慮兩原子 的相對運動也缺乏根據。更為合理的假設是兩原子保持一定的平均距離做相對簡諧振動 但是，如

16、果采取這個假設，雙原子分子的能量將有七個平方項，能量均分定理給出的結果 將與實驗結果不符。這一點也是經典理論所不能解釋的。（不能解釋低溫氫氣的性質和柔性 連接情況）； 對于固體，？?= 3?將理論結果與實驗結果相比較，在室溫范圍內符合的很好，但在低 溫范圍內，實驗發現固體的熱容隨溫度降低的很快，當溫度趨緊絕對零度時，熱容趨近于 零。這個結果經典理論不能解釋。此外金屬中存在自由電子，如果將能量均分定理應用于 電子，自由電子的熱容與粒子振動的熱容將具有相同的能級。實驗結果是，在 3K以上自由 電子的熱容與粒子振動的熱容相比，可以忽略不計，這個事實經典理論也不能解釋。 （不能 解釋所有理想固體有相同

17、的熱容量）。17、給出普朗克公式，并討論其在低頻和高頻內的結果解：普朗克公式:U( ,T)dV2dV h 3d/kT/kT現在討論普朗克公式在高頻和低頻范圍內的極限結果:在 /kT1的低頻范圍，e 1 一，普朗克式可近似為2kTdkTU( ,T)d得到瑞利一金斯公式;在 /kT1的高頻范圍內有？?/kT1,可將普朗克公式分母中的-1忽略而得得到維恩公式;U( ,T)d由上式可以看出，當/kT 1時,當？?(?？ ？?肥的增加而迅速地趨于零，這意味著,在溫度T的平衡輻射中，/kT1的高頻光子是幾乎不存在的；也可以理解為，溫度為T時窖壁發射kT的高頻光子概率是極小的。18、試討論電子在T=0K時的分布(提示：費米能級的定義及其物理意義)解：電子在0K時服從費米分布，電子將盡可能占據能量最低的狀態，但泡利不相容原理限制每一量子態最多只能容納一個電子，因此電子從 ？袋0的狀態起依次填充至？(0)止。0K時電子氣體的內能為？?0) = 35? ?0),可知0K時電子的平均能量為3 ?0); 0K時電子氣2體的壓強為?0) = -?)