1、2019屆人教A版（理科數學） 互斥事件和獨立事件的概率及條件概率一、單選題1甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠4小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機到達,試求這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的概率（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】設出甲乙到達的時刻，列出所有基本事件的約束條件同時列出至少有一艘在?？坎次粫r必須等待的約束條件，利用線性規劃作出平面區域，利用幾何概型概率公式求解?！驹斀狻俊军c睛】本題考查利用線性規劃作出事件對應的平面區域，再利用幾何概型概率公式求出事件的概率。2如圖所示，在矩形中，圖中陰影部分是以為直徑的半圓，現在向矩形內隨機撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計

2、），根據你所學的概率統計知識，下列四個選項中最有可能落在陰影部分內的豆子數目是（ ）A 1000 B 2000 C 3000 D 4000【答案】C【解析】【分析】在矩形中，面積為，半圓的面積為，故由幾何概型可知，半圓所占比例為，由此計算落在陰影部分內的豆子數目。學 【詳解】【點睛】幾何概型是計算面積、線段長度、角度、體積等的比例值，但題設不會明確的給出利用幾何概型求解，需要對題意進行等價轉化。3已知在邊長為2的正方形內，有一月牙形圖形，向正方形內隨機地投射100個點，恰好有15個點落在了月牙形圖形內，則該月牙形圖形的面積大約是（ ）A 3.4 B 0.3 C 0.6 D 0.15【答案】C【

3、解析】分析：由題意結合蒙特卡洛模擬的方法整理計算即可求得最終結果.詳解：設該月牙形圖形的面積大約是，由題意結合蒙特卡洛模擬方法可知：，解得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查幾何概型的應用，古典概型的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.4圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1中的正方形放在圖2中的某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的概率是（）A B C D 【答案】C【解析】分析：將圖1的正方形放在圖2中的位置出現重疊的面，不能圍成正方體，再根據概率公式求解可得.點睛：本題考查了概率公式和展開圖折疊成幾何體，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形，注意：只要有“田”字

4、格的展開圖都不是正方體的表面展開圖.5已知矩形中，為的中點，在矩形內隨機取一點，取到的點到的距離大于1的概率為（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：根據幾何概型的計算和意義，求出距離小于等于1的面積和整個面積，求得比值即可。點睛：本題考查了幾何概型的簡單應用，屬于基礎題。6下列說法正確的是（ ）A 一枚骰子擲一次得到2點的概率為，這說明一枚骰子擲6次會出現一次2點B 某地氣象臺預報說，明天本地降水的概率為70 ，這說明明天本地有70 的區域下雨，30 的區域不下雨C 某中學高二年級有12個班，要從中選2個班參加活動，由于某種原因，一班必須參加，另外再從二至十二班中選一個班，有人提議用如

5、下方法：擲兩枚骰子得到的點數是幾，就選幾班，這是很公平的方法D 在一場乒乓球賽前，裁判一般用擲硬幣猜正反面來決定誰先打球，這應該說是公平的【答案】D【解析】分析：根據概率的概念，逐個判斷即可。詳解：選項A，出現2點的概率為，指的是出現概率，不是擲6次會出現一次2點，A錯。選項B降水概率為70 ，這說明明天本地有70 可能性降水，不是降水區域面積。選項C兩枚骰子的和，每個數字出現的概率不相等，所以不公平。選項D硬幣兩面出現正反的概率相等，因此是公平的。所以選D學 點睛：本題考查了概率的基本概念，屬于基礎題。7甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為，那么三人中恰有兩人合格的概率是（ ）A

6、 B C D 【答案】B【解析】分析：本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，三個人中恰有2個合格，包括三種情況，這三種情況是互斥的，寫出三個人各有一次合格的概率的積，再求和詳解：由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，三個人中恰有2個合格，包括三種情況，這三種情況是互斥的三人中恰有兩人合格的概率故選B.點睛：本題考查相互獨立事件同時發生的概率，本題解題的關鍵是看出事件發生包括的所有的情況，這里的數字比較多，容易出錯8從1、2、3、4、5這五個數中，隨機抽取3個不同的數，則這3個數的和為奇數的概率是（ ） 學 A B C D 【答案】B【解析】分析：先求出基本事件的總數，再求出這3個數的和

7、為奇數所包含的基本事件的個數，利用古典概型即可求解答案 k 點睛：本題主要考查了概率的綜合應用，其中根據題意，利用組合數的公式求解基本事件的綜合和分類求得所求事件中所包含的基本事件個數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力9甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，分別以，表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結論中不正確的是（ ）A 事件與事件不相互獨立 B 、是兩兩互斥的事件C D 【答案】D【解析】分析：由題意，是兩兩互斥事件，條件概率公式求出，對照選項

8、即可求出答案.詳解：由題意，是兩兩互斥事件，,而.所以D不正確. 學 故選：D.點睛：本題考查相互獨立事件，解題的關鍵是理解題設中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較復雜，正確理解事件的內蘊是解題的關鍵.10在一個袋子中裝有個除顏色外其他均相同的小球，其中有紅球個、白球個、黃球個，從袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，連續摸次，則記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，由此能求出記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率.詳解：從袋中隨機

9、摸出一個球，摸到紅球、白球、黃球的概率分別為，由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為.故選：C.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率計算公式的合理運用.11牡丹花會期間，記者在王城公園隨機采訪6名外國游客，其中有2名游客來過洛陽，從這6人中任選2人進行采訪，則這2人中至少有1人來過洛陽的概率是（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：從名外國游客中選取人進行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來過洛陽的共有種不同選法，由古典概型的概率計算公式即可求解詳解：由題意，

10、從名外國游客中選取人進行采訪，共有種不同的選法，其中這人中至少有人來過洛陽的共有種不同選法，由古典概型的概率計算公式可得，故選C點睛：本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算公式的應用，其中解答中根據排列、組合的相關知識得到基本事件的個數和所求事件包含的基本事件的個數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力12已知圓柱的底面半徑為，高為，若區域表示圓柱及其內部，區域表示圓柱內到下底面的距離大于的點組成的集合，若向區域中隨機投一點，則所投的點落入區域中的概率為（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：根據題意，求得圓柱的體積和區域N所表示的小圓柱的體積，根據幾何概型，

11、即可求解相應的概率.點睛：本題主要考查了體積比的幾何概型及其概率的求解，其中根據題意確定區域N的體積是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力.13現有大小形狀完全相同的4個小球，其中紅球有2個，白球與藍球各1個，將這4個小球排成一排，則中間2個小球不都是紅球的概率為（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：根據古典概型的概率求解方法，列出個小球所有排列的可能共有12種，則能夠滿足中間2個小球不都是紅球的有2種情況，所以根據獨立事件的概率計算方法可求出概率。詳解：根據古典概型的概率計算，設白球為A，藍球為B，紅球為CC，則不同的排列情況為ABCC,ACBC,ACC

12、B,BACC,BCAC,BCCA,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA共12種情況，其中紅球在中間的有ACCB,BCCA兩種情況，所以紅球都在中間的概率為 所以中間兩個小球不都是紅球的概率為學 所以答案選C點睛：古典概率的計算，主要是列舉出所有的可能，不要重復和漏項。注意正確理解題目中“不都是”否定形式表達的意義，利用對立事件的概率和為1，可以求出概率。14已知一袋中有標有號碼、的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當三種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取次卡片時停止的概率為（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由題意結合排列組合知識和古典概型計算公式

13、整理計算即可求得最終結果.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.15一個正三棱錐的四個面上分別標有數字，隨機拋擲一次，記向下一面的數字為，則函數在上為減函數的概率為()A B C D 【答案】C【解析】分析：由函數在區間為減函數，求得，利用古典概型的概率計算公式，即可求解相應的概率詳解：由函數在區間為減函數則在區間上恒成立，即 在區間上恒成立，所以，所以函數在區間為減函數的概率為，故選C點睛：本題主要

14、考查了古典概型及其概率的計算問題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算的能力，屬于基礎題學 16若件產品中有件一級品，件二級品從中任取件，這件中至少有件二級品的概率是（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：首先由組合數公式求得從件產品紅任取件的情況總數，再計算出恰有一件二級品的種數和全為二級品的種數，利用古典概率的概率計算公式，即可求解詳解：由題意，從由組合數公式求得從件產品紅任取件的情況總數為，其中恰有一件二級品的種數和全為二級品的種數為，由古典概率的概率計算公式可得概率為，故選C點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中涉及排列、組合知識的應用，著重考查了學

15、生的推理與運算能力17在周易中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是系辭傳所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由題意，基本事件的總數為，這六爻恰好有三個陽爻包含基本事件數為，由此能求出這六爻恰好有三個陽爻三個陰

16、爻的概率詳解：在一次所謂“算怪”中得到六爻，基本事件的總數為，這六爻恰好有三個陽爻包含的基本數為，所以這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是，故選B點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算問題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力18在個排球中有個正品，個次品.從中抽取個，則正品數比次品數少的概率為（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：根據超幾何分布，可知共有 種選擇方法，符合正品數比次品數少的情況有兩種，分別為0個正品4個次品，1個正品3個次品，分別求其概率即可。點睛：本題考查了超幾何分布在分布列中的應用，主要區分二項分布和超幾何分布的不同。根據不同的情況求出各自的

17、概率，屬于簡單題。19甲、乙、丙、丁、戊五位同學站成一排照相留念，則在甲乙相鄰的條件下，甲丙也相鄰的概率為（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：使用捆綁法分別計算甲乙相鄰和甲同學與乙、丙相鄰的排隊順序個數，利用古典概型的概率公式，即可得出概率.詳解：甲乙相鄰的排隊順序共有種，其中甲乙相鄰，甲丙相鄰的排隊順序共有種，所以甲乙相鄰的條件下，甲丙相鄰的概率為，故選D.點睛：本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型的概率計算，其中正確理解題意，求解甲乙相鄰及甲乙相鄰且甲丙相鄰的排列順序的種數是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.20一個盒子里共有個大小形狀相同的小球，其中個紅球，

18、個黃球，個綠球.從盒中任取球，若它不是紅球，則它是綠球的概率是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：從盒子中任取一球，若它不是紅球，則所有的取法共有15種，而它是綠球的取法共有10種，由古典概型的概率計算公式，即可求解.詳解：從盒子中任取一球，若它不是紅球，所有的取法共有15種，而它是綠球的求法共有10種，根據古典概型的概率計算公式可得概率為，故選D. 學 點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中熟記古典概型的條件和概率的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.二、填空題21某班準備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷是等可能的，

19、只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則淋雨的概率是 .【答案】 學 【解析】分析：獨立事件概率，根據乘法原理即可求解。詳解：下雨概率為 ，不下雨概率為 ，收到帳篷概率為 ，收不到帳篷概率為 當下雨且收不到帳篷時會淋雨，所以淋雨的概率為 點睛：本題考查了獨立事件概率問題，主要是理解題意，分析各概率間關系，屬于基礎題。22把4個相同的球放進3個不同的盒子，每個球進盒子都是等可能的，則沒有一個空盒子的概率為 【答案】.【解析】分析：分2步進行分析：、將4個小球分成3組，其中1組2個小球，剩余2組各1個小球，、將分好的3組全排列，對應放入3個不同的盒子，由分步計數原理計算可得答案詳解：分2步進行分析：、

20、將4個小球分成3組，其中1組2個小球，剩余2組各1個小球，有C42=6種分組方法，、將分好的3組全排列，對應放入3個不同的盒子，有A33=6種情況，則此時有6×6=36種不同的放法故答案為：.點睛:排列與組合問題要區分開，若題目要求元素的順序則是排列問題，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素,高考中常見的排列組合問題還有分組分配問題，即不同元素分到不同組內時，通常先分組后分配.23一個袋中有形狀、大小完全相同的個小球，其中個紅球，其余為白球.從中一次性任取個小球，將“恰好含有個紅球”的概率記為，則當 時，取得最大值【答案】20【解析】分析

21、：由題意可知，滿足超幾何分布，列出的公式，建立與的表達式，求最大值。詳解：，取得最大值，也即是取最大，所以：解得，故。點睛：組合數的最大值，可以理解為數列的最大項來處理。24從裝有3個紅球,2個白球的袋中隨機取出2個球,設其中有個紅球,則為 .【答案】【解析】分析：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球的取法，再求得當個球都是紅球的取法，利用古典概型的概率計算公式，即可得到答案.詳解：由題意，從裝有個紅球和個白球的袋中隨機取出個球，共有種方法，其中當個球都是紅球的取法有種方法，所以概率為.點睛：本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中概率排列、組合的知識得到基本事件的總數是

22、解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.25加工某一零件需經過三道工序,設第一、二、三道工序的次品率分別為,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為 .【答案】【解析】解析：加工出來的零件的次品的對立事件為零件是正品，由對立事件公式得加工出來的零件的次品率26位于坐標原點的一個質點P按下述規則移動：質點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是.質點P 移動5次后位于點的概率為 【答案】【解析】試題分析：根據質點移動的過程可知，當質點同時移動向上5次或同時移動向右移動5次時，不滿足條件，其余則滿足，即可得到結論學 點睛：本題主要考查概率的計算，根據條件

23、確定質點移動的過程是解決本題的關鍵.27題庫中有道題，考生從中隨機抽取道，至少做對道算通過考試.某考生會做其中道，有道不會做，則此考生能通過考試的概率為 【答案】【解析】分析：由題意結合排列組合的知識求得所有事件的數量和滿足題意的事件的數量，然后利用古典概型計算公式求解概率值即可.詳解：由題意可知，此考生從道題中選擇道題，共有種方法，其中能通過考試的方法有種方法，由古典概型計算公式可得滿足題意的概率值為.點睛：本題主要考查排列組合相關知識，古典概型計算公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.28下圖為射擊使用的靶子，靶中最小的圓的半徑為1，靶中各圓的半徑依次加1，在靶中隨機取一點，則

24、此點取自黑色部分（7環到9環）的概率是 .【答案】【解析】由題意知，靶子的面積為，靶中黑色部分的面積為，根據幾何概型概率的計算公式可得，所求概率為.29若一個布袋中有大小、質地相同的三個黑球和兩個白球，從中任取兩個球，則取出的兩球中恰是一個白球和一個黑球的概率是 【答案】0.6【解析】從5個小球中任取2個，共有種取法，其中恰有一個白球和一個黑球的取法共有種取法，所以從中任取兩個球，則取出的兩球中恰是一個白球和一個黑球的概率是.30已知件次品和件正品放在一起,現需要通過檢測將其區分,每次隨機檢測一件產品,檢測后不放回,直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束,則恰好檢測四次停止的概率為 （用數

25、字作答）.【答案】【解析】由題意可知，2次檢測結束的概率為，3次檢測結束的概率為，則恰好檢測四次停止的概率為.學 . 三、解答題31國慶期間，一位游客來到某旅游城市，這里有甲、乙、丙三個著名的旅游景點，若這位游客游覽這三個景點的概率分別是，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值.（）求的分布列和數學期望；（）記“時，不等式恒成立”為事件，求事件發生的概率.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（I）用表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值，根據客人游覽的景點數的可能取值為和客人沒有游覽的景點數的可能取值為

26、，寫出變量的可能取值，根據相互獨立事件同時發生的概率，求解每個隨機變量取值對應的概率，得出分布列，求得數學期望.（）由不等式恒成立，有恒成立，分和討論，即可得到答案.【詳解】所以的分布列為13P0.760.241×0.76+3×0.24=1.48.（）的可能取值為1，3.且時，不等式恒成立，有恒成立，即 當=1時，不等式恒成立，當=3時，不等式不會恒成立.所以.【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列及數學期望的計算，同時考查了相互獨立事件的概率的計算以及一元二次不等式的恒成立問題的求解 其中試題有一定的綜合性，認真審題，合理作答是解答的關鍵，屬于中檔試題，著重考查了分

27、析問題和解答問題的能力.32甲、乙兩人投籃命中的概率分別為與，各自相互獨立.現兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球.（1）求比賽結束后甲的進球數比乙的進球數多1的概率；（2）設表示比賽結束后甲、乙兩人進球數的差的絕對值，求的概率分布和數學期望.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】【分析】（1）比賽結束后甲的進球數比乙的進球數多1個有以下幾種情況：甲進1球，乙進0球；甲進2球，乙進1球；甲進3球，乙進2球.據此可得相應的概率值；學 （2）的取值為0，1，2，3，計算相應的概率值可得的分布列，計算相應的數學期望為.【詳解】（2）的取值為0，1，2，3，且 .同理可求得：，所以的概率分布列為:0123所以數學期望.【點睛】本題主要考查古典概型概率計算，離散型隨機變量的分布列的數學期望的計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.33為了整頓道路交通秩序，某地考慮對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態度，在普通人中隨機抽取200人進行調查，當不處罰時，有80人會闖紅燈，處罰時，得到如下數據：處罰金額（單位：元）5101520會闖紅燈的人數5040200若用表中數據所得頻率代替概率.（1）當處罰金定為10元時，行人闖紅燈的概率會比不進行處罰降低多少？（2）將選取的20