1、13 機械振動解答13-1 有一彈簧振子， 振幅 A=2.0X10-2m,周期 T=1.0s,初相并做出 x-t 圖、v-t 圖和 a-t 圖。13-1分析彈簧振子的振動是簡諧運動。振幅A、初相邛、角頻率缶是簡諧運動方程x=Acos（0+中）的三個特征量。求運動方程就要設法確定這三個物理量。題中除 A、中已知外，2可通過關系式與=于確定。 振子運動的速度和加速度的計算仍與質點運動學中的計算方法相同。解因切=空，則運動方程 T2-t.x=Acos:t=Acostt根據題中給出的數據得x=（2.010Nm）cos（2-：s）t0.75 二振子的速度和加速度分別為v 二 dx/dt=T4 二 102

2、msbsinKZnst0.75 二a=d2x/dt2=-（8 二2102ms、）cos（2s）t,0.75 二x-t、v-t 及 a-t 圖如圖 13-l 所示13-2 若簡諧運動方程為x=（0.01m）cosJ（20jrs）t+-求：（1）振幅、頻率、角頻率、周期和.4初相；（2）t=2s 時的位移、速度和加速度。13-2分析可采用比較法求解。將已知的簡諧運動方程與簡諧運動方程的一般形式x=Acoa（0t+中）作比較，即可求得各特征量。運用與上題相同的處理方法，寫出位移、速度、加速度的表達式，代入 t 值后，即可求得結果。解（l）將 x=（0.10m）cos（20 店上）1+0.25 舊與x

3、=Acos（0t+中）比較后可得：振幅 A=0.10m,角頻率6=20態工初相中=0.25冗，則周期T=2n/8=0.1s,頻率v=1/T=10Hz。（2）t=2s 時的位移、速度、加速度分別為x=（0.10m）cos（40 二 0.25 二）=7.07102mv=dx/dt=-(21ms)sin(40 十 0.25 二)=3n/4。試寫出它的運動方程,a=d2x/dt2=-(40 二2ms2)cos(40 瓦+0.25 二)13-3 設地球是一個半徑為 R 的均勻球體，密度 p5.5x103kg?m30 現假定沿直徑鑿一條隧道。若有一質量為 m 的質點在此隧道內做無摩擦運動。（1）證明此質點

4、的運動是簡諧振動；（2）計算其周期。13-3分析證明方法與上題相似。分析質點在隧道內運動時的受力特征即可。證（l）取圖 13-3 所示坐標。當質量為 m 的質點位于 x 處時，它受地球的引力為lmxmF-GVx式中 G 為引力常量，m 是以 x 為半徑的球體質量，即 mx=4 冗以3/3。令k=4nPGm/3,則質點受力F=-4：-Gmx/3=-kx因此，質點作簡諧運動。（2）質點振動的周期為T=2 二.m/k=.3 二/G：_3=5.0710s13-4 如圖所示，兩個輕彈簧的勁度系數分別為運動仍是簡諧振動；（2）求系統的振動頻率。k1 和 k2,物體在光滑斜面上振動。（1）證明其13-4(b

5、)(b)分析從上兩題的求解知道，要證明一個系統作簡諧運動，首先要分析受力情況，然后看是否滿足簡諧運動的受力特征(或簡諧運動微分方程)。為此，建立如圖 13-4(b)所示的坐標。設系統平衡時物體所在位置為坐標原點O,Ox 軸正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿 Ox 軸，物體受彈性力及重力分力的作用，其中彈性力是變力。利用串聯時各彈簧受力相等，分析物體在任一位置時受力與位移的關系，即可證得物體作簡諧運動，并可求出頻率Vo證設物體平衡時兩彈簧伸長分別為 Xi、X2,則由物體受力平衡，有mgsin【-Kx=k2x2按圖(b)所取坐標，物體沿 x 軸移動位移 x 時，兩彈簧又分別被拉伸x和x2,即 x=

6、x+x2。則物體受力為F=mgsin二_k2(&)=mgsin二-k%x)將式(1)代人式(2)得F=-k1x1=-k2x2由式(3)得x/=-F/ki、x2=-F/k2,而x=x+x2,則得到F=-kikik2)x=-kx式中k=kik2/(ki+k2)為常數，則物體作簡諧運動，振動頻率1-1.-.;12k/mk1k2/(k1k2)/m2二 2 二討論(1)由本題的求證可知，斜面傾角日對彈簧是否作簡諧運動以及振動的頻率均不產生影響。事實上，無論彈簧水平放置、斜置還是豎直懸掛，物體均作簡諧運動。而且可以證明它們的頻率相同，均由彈簧振子的固有性質決定，這就是稱為固有頻率的原因。(2)如果

7、振動系統如圖 13-4(c)(彈簧并聯)或如圖 13-4(d)所示， 也可通過物體在某一位置的受力分析得出其作簡諧運動， 且振動頻率均為v=Aj(k1+k2)/m2 二讀者可以一試。通過這些例子可以知道，證明物體是否作簡諧運動的思路是相同的13-5 為了測得一物體得質量 m,將其掛在一彈簧上讓其自由振動，測得振動頻率M=1.0Hz而將另一質量 m=0.5kg 的物體單獨掛在該彈簧上時，測得振動頻率V2=2.0Hz。設振動均在彈簧的彈性限度內進行，求被測物體的質量。13-5分析物體掛在彈簧上組成彈簧振子系統，其振動頻率 v=Jk/m,即 vocJ1Tm。采用比較2 二頻率 V 的方法可求出未知物

8、體的質量。解由分析可知，vM1/m,則有V1/V2=dm/m。根據題中繪出的數據可得物體的質AAWv一/2m=m(:2/x)=2.0kg13-6 在如圖所示的裝置中，一勁度系數為 k 的彈簧，一端固定在墻上，另一端連接一質量為mi的物體 A,置于光滑水平桌面上。現通過一質量為 m、半徑為 R 的定滑輪 B（可視為勻質圓盤）用細繩連接另一質量為 m2的物體 C,設細繩不可伸長，且與滑輪間無相對滑動，求系統的振動角頻率。13-6分析這是一個由彈簧、物體 A、C 和滑輪 B 組成的簡諧運動系統。求解系統的振動頻率可采用兩種方法。（1）從受力分析著手。如圖 13-6（b）所示，設系統處于平衡狀態時，與

9、物體 A 相連的彈簧一端所在位置為坐標原點O,此時彈簧已伸長 x。，且k%=m2g。當彈簧沿 Ox軸正向從原點 O 伸長 x 時，分析物體 A、C 及滑輪 B 的受力情況，并分別列出它們的動力學方程，可解得系統作簡諧運動的微分方程。（2）從系統機械能守恒著手。列出系統機械能守恒方程，然后求得系統作簡諧運動的微分方程。kx。二m2g量為口 c解 1 在圖 13-6（b）的狀態下，各物體受力如圖 13-6（c）所示。其中 F=-k（x+x0）i考慮到繩子不可伸長，對物體FT1-k（xx。）=m1哈dtd2xm2g-1=m2dtA、B、C 分別列方程，有（1）（2）(FT2_F）R=J二二mRdl2

10、dt2方程（3）中用到了 F=F、FT2=FT2 、J=mR2/2、及 ct=a/R。聯立式（|）-式（4）可得2dxkdt2m1-m2-m/2則系統振動的角頻率為=k/(mim2-m/2)解 2 取整個振動裝置和地球為研究系統，因沒有外力和非保守內力作功，系統機械能守恒。設物體平衡時為初始狀態，物體向右偏移距離 X（此時速度為對 v、加速度為 a）為末狀態，則由機械能守恒定律，有1212121212kx0=-m2gxm1Vm2vJk（xx0）22222在列出上述方程時應注意勢能（重力勢能和彈性勢能）零點的選取。為運算方便，選初始狀態下物體 C 所在位置為重力勢能零點；彈簧原長時為彈性勢能的零

11、點。將上述方程對時間求導得將 J=mR2/2、由=v、dv/dt=d2x/dt2和 m2g=kx0代人上式，可得式（6）與式（5）相同，表明兩種解法結果一致。17-7 一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅 A=2.0X10m,周期 T=0.50s。當 t=0 時，（1）物體在正方向端點；（2）物體在平衡位置向負方向運動；（3）物體在.x=1.0X10-2m 處，向負方向運動；（4）物體在.x=-1.0X10-2m 處，向正方向運動。求以上各種情況的運動方程。13-7分析在振幅 A 和周期 T 已知的條件下，確定初相中是求解簡諧運動方程的關鍵。初相的確定通常有兩種方法。（1）解析法：由振動方程出發

12、，根據初始條件，即 t=0 時，x=x。和v=v0來確定中值。（2）旋轉矢量法：如圖 13-7（a）所示，將質點 P 在 Ox 軸上振動的初始位置 x0和速度 v0的方向與旋轉矢量圖相對應來確定中。旋轉矢量法比較直觀、方便，在分析中常采用。解由題給條件知A=2.0=0,取中4二一；33旋轉矢量法：分別畫出四個不同初始狀態的旋轉關量圖，如圖13-7(b)所示，它們所對應的初相分別為q=0,*=皿/2,a=n/3,%=4冗/3。振幅A、角頻率8、初相中均確定后，則各相應狀態下的運動方程為11)x-(2.0102m)cos(4 二 s)tx=(2.010-m)cos(4rs1)t2(3)x=(2.0

13、10-m)cos(4s1)t-一、2.14 二.(4)x=(2.0M10m)cos(4;isDt+313-8 有一彈簧，當其下端掛一質量為 m 的物體時，伸長量為 9.8X10-2m。若使物體上下振動,且規定向下為正方向。（1）t=0 時，物體在平衡位置上方 8.0X10-2m 處，由靜止開始向下運動，求運動方程。（2）t=0 時，物體在平衡位置并以 0.60m/s 的速度向上運動，求運動方程。J、,IV；吟步=嗎I/、/X13-8分析求運動方程，也就是要確定振動的三個特征物理量m 及彈簧勁度系數 k）決定的，即 0=qk/m,可根據物A 和初相干需要根據初始條件確定。F 與重力 P 的大小相

14、等，即 F=mg 而此時彈簧的伸長量JJVHV1,、_ X X（b b）A、6,和平。其中振動的角頻率是由彈簧振子系統的固有性質（振子質量體受力平衡時彈簧的伸長來計算；振幅解物體受力平衡時，彈性力&=9.8M102m。則彈簧的勁度系數k=F/3=mg/Al-k/m=-g/-l=10s1x10=8.0 x102m,V10=0可得振幅A=Ux2i0+(M0/2=8.0 x：10m；應用旋轉矢量法可確定系統作簡諧運動的角頻率為（1）設系統平衡時，物體所在處為坐標原點，向下為x 軸正向。由初始條件 t=0 時,初相中1=冗。圖 13-8(a)o 則運動方程為X=(8.010Jm)cos(10s

15、-)t二(2)t=0 時，X20=0,V20=0.6ms1,同理可得A=%：x220中心 E)=6.0父10上m,邛2=n/2；圖 13-8(b)。則運動方程為XI=(6.010Jm)cos(10s-)t0.5 二13-9 某振動質點的 x-t 曲線如圖所示，試求：(1)運動方程；(2)點 P 對應的相位；(3)到達點 P 相應位置所需要的時間。13-9分析由已知運動方程畫振動曲線和由振動曲線求運動方程是振動中常見的兩類問題。本題就是要通過 x-t 圖線確定振動的三個特征量量 A、co,和平0,從而寫出運動方程。曲線最大幅值即為振幅 A;而缶、90通常可通過旋轉矢量法或解析法解出，一般采用旋轉

16、矢量法比較方便解(1)質點振動振幅 A=0.10n%而由振動曲線可畫出 t=0 和 t=4s 時旋轉矢量，如圖13-9(b)所示。由圖可見初相中0=冗/3(或中0=5n/3),而由10)=%+%得=5二/24s1,則運動方程為(2)圖 14-9(a)中點 P 的位置是質點從 A/2 處運動到正向的端點處。應的旋轉矢量圖如圖 13-10(C)所示。當初相取中。=一兀/3時，點 P 的相位為%=%+(tp-0)=0(如果初相取中。=5n/3,則點 P相應的相位應表示為中P=平0+6(tp0)=2幾)(3)由旋轉關量圖可得 CO(tp-0)=%,則 tp=1.6s13-10 在一塊平板下裝有彈簧，平

17、板上放一質量為 1.0kg 的重物。現使平板沿豎直方向做上下簡諧運動，周期為 0.50s,振幅為 2.0X10-2mo求：(1)平板到最低點時，重物對平板的作用力；(2)若頻率不變，則平板以多大的振幅振動時，重物會跳離平板？(3)若振幅不變，則平板以多大的頻率振動時，重物會跳離平板？(b)(b)x=(0.10m)cosIL.2413-10分析按題意作示意圖 13-10。物體在平衡位置附近隨板作簡諧運動，其間受重力力FN作用，FN是一個變力。按牛頓定律，有F=mgg=m少dtd2v2-2-=-Acocos（ot+中），則式（l）可改與為dtFN=mg+mAC02cos（ct+9（2）（1）根據板

18、運動的位置，確定此刻振動的相位 M+中，由式（2）可求板與物體之間的作用力。（2）由式（2）可知支持力FN的值與振幅 A、角頻率切和相位時+中有關。在振動過程中,當t+平=!1 時FN最小。而重物恰好跳離平板的條件為FN=0,因此由式（2）可分別求出重物跳離平板所需的頻率或振幅。解（I）由分析可知，重物在最低點時，相位以+中=0,物體受板的支持力為FN二mgmA.2:mgmA（2二1）2=12.96N重物對木塊的作用力FN與FN大小相等，方向相反。（2）當頻率不變時，設振幅變為 Ao 根據分析中所述，將FN=0及時+中二幾代入分析中式（2）,可得A=mg/m-2=gT2/4 二2=6.2102

19、m（3）當振幅不變時，設頻率變為vo同樣將FN=0及代入分析中式（2）,可得1v=mg/mA=3.52Hz2 二 2 二13-11 一物體沿 x 軸做簡諧運動，振幅為 0.06m,周期為 2.0s,當 t=0 時位移為 0.03m,且向 x 軸正方向運動。求：（1）t=0.5s 時，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從 x=-0.03m 處向 x軸負向運動開始，到平衡位置，至少需要多少時間？P 和板支持由于物體是隨板一起作簡諧運動，因而有13-11分析已知運動方程即可求物體的位移、速度、加速度。因此，寫出運動方程是本題的關鍵。其方法可參見題 13-7。至于質點從 x=-0.03m 運動到 x

20、=0 處所需的最短時間，仍可采用解析法或旋轉矢量法求解。時解(1)由題意知 A=0.06m、6=2n/T=ns由旋轉矢量圖 13-11(a)可確定初相則振動方程為x=(0.06m)cosL：s，t-二3當 t=0.5s 時質點的位移、速度、加速度分別為x=(0.06m)cos二2當3戶0.052v=dxdt=-(0.06ms1)sin(三2一：%)=Q094msa=d2xdt2=-(0.06二2ms。cos(二2-哮3)-0.513ms(2)質點從 x=-0.03m 運動到平衡位置的過程中，旋轉關量從圖 13-11(b)中的位置 M轉至位置N,矢量轉過的角度(即相位差)中=5n/6。該過程所需

21、時間為=0.833s13-12 兩質點做通頻率、同振幅的簡諧運動。第一個質點的運動方程為=Acost+中)，當第一個質點自振動正方向回到平衡位置時，第二個質點恰在振動正方向的端點。試用旋轉矢量圖表示它們，并求第二個質點的運動方程及它們的相位差。13-12解圖 13-12 為兩質點在特定時刻 t 的旋轉矢量圖，OM 表示第一個質點振動的旋轉矢量；ON表示第二個質點振動的旋轉矢量。可見第一個質點振動的相位比第二個質點超前n/2,即它們的相位差 441/2。第二個質點的運動方程應為X2=Acos（tTI。）13-13 有一單擺，長為 1.0m,最大擺角為 50,如圖所示。（1）求擺的角頻率和周期；（

22、2）設開始時擺角最大，試寫出此單擺的運動方程；（3）當擺角為 30時的角速度和擺球的線速度時多少？13-13分析單擺在擺角較小時（SY50）的擺動，其角量日與時間的關系可表示為簡諧運動方程 0=8maxcos（ot+邛），其中角頻率0仍由該系統的性質（重力加速度g和繩長l）決定,即0=/。初相中與擺角日，質點的角速度與旋轉矢量的角速度（角頻率）均是不同的物理概念，必須注意區分解（1）單擺角頻率及周期分別為（2）由 t=0 時8=&ax=5可得振動初相中=0,則以角量表示的簡諧運動方程為二-二36cos（3.13s）t（3）擺角為 30時，有COs（0t十中）=%=0.6,則這時質點的角

23、速度為maxd%t-4ax-sin（，t：）-%ax-1cos2（t：:）=-0.8Umax-=-0.218s1線速度的大小為v=ldT1dt=0.218ms討論質點的線速度和角速度也可通過機械能守恒定律求解，但結果會有極微小的差別。這是因為在導出簡諧運動方程時曾取sine之e,所以，單擺的簡諧運動方程僅在日較小時成立。13-14 為了測月球表面的重力加速度，宇航員將地面上的秒擺（周期為 2.00s）拿到月球上去,如測得周期為 4.90s,地球表面得重力加速度為 9.80m/s2,則月球表面得重力加速度是多少？13-14解由單擺的周期公式 T=2R 曬可知 gocVT2,故有 gn/gE=TE

24、2/TM2,則月球的重力加速度為gM=TE.TMgE=1.63msm,高度為 h,如圖所示。當其繞 AB 邊（與水平軸線重合）轉動時，試證其做彳小振動的周期為 T=2njh/2ggl=3.13S-;T=2 二=2.01S13-15 一均勻等邊三角形薄板，質量為13-15分析三角形薄板繞 AB 軸的微振動是一復擺運動。復擺振動周期為 T=2nJmg1c,因此，只要知道復擺繞轉軸的轉動慣量 J 和轉軸到質心的距離1C,其振動周期就可求得。證為了求三角形薄板繞 AB 軸的轉動慣量，按圖 13-15(b)取坐標。圖中任取一距軸 y寬 dy 的狹長質元，其質量dm=ftdS=ft2(h-y)ty30y,

25、式中作為薄板的面密度，偌=m/s=；3m；h2。該質元對轉軸的轉動慣量 dJ=2 佳(h-y)ty30，y2dy，則三角形薄板對轉軸的轉動慣量為；3hJ=2企0(h-y)y2dy=mh2/6又由質心定義可知，等邊三角形薄板的質心至底邊(轉軸)的距離代入公式T=2nqJ/mglc 中，即可證得該復擺的周期為T 二 2 二.h2g13-16 有一密度均勻得金屬 T 字形細尺，如圖所示。它由兩根金屬米尺組成。若它可繞通過點 O 的垂直紙面的水平軸轉動，求其做微小振動的周期。13-16解 T 字形尺的微小振動是復擺振動。T 字形尺繞軸。的轉動慣量Jo由兩部分組成，其中尺OD對該軸的轉動慣量為J1ml2

26、3尺 AB 對軸 O 的轉動慣量為 J2,根據平行軸定理可得12.2132J2=mlml=ml1212故有17JOJ1J2ml12lc=h/3。將 J 和1c的值圖 13-16 中 T 字形尺的質心 C 至點。的距離為1C,由質心定義可得lc=0.75lo則 T 字形尺的振動周期為T 二 2 二.J。2mgic-二 2 二.,17l18g=1.95s13-17 如圖所示，一勁度系數為 k 的輕彈簧，其下掛有一質量為m的空盤。現有一質量為m的物體從盤上方高為h處自由落到盤中，并和盤粘在一起振動。問：（1）此時的振動周期與空盤作振動的周期有和不同？（2）此時的振幅為多大？13-17解（1）空盤作振

27、動，周期m物體與空盤一起作振動，周期為TmMT=2二To則-k（2）如圖示，m物體由高度h處自由落下，與盤粘在一起，此過程為非彈性碰撞，設碰撞的速度為v,根據動量守恒m,2gh=mMv.m,.2ghv二Mm設碰撞瞬時開始計時，平衡位置為坐標原點，則t=0y=_x2_X1式中x1為m物未落入盤時彈簧的伸長量，即mg=kx1x2為重物落入盤后處于平衡位置時，彈簧的伸長量即Mmg=kx2因此系統的振動表達式為13-18 一氫原子在分子中的振動可視為簡諧運動，已知氫原子的質量 m=1.68X10-27kg,振動頻率=1.4X1014Hz,振幅 A=1.0 x10-11m,試計算：（1）此氫原子的最大速

28、度；（2）與此振動相聯系的能量。13-18解（1）簡諧運動系統中振子運動的速度V=-Acosin（cot+中）故氫原子振動的最大速度為31vmax=A=2VA=6.2810ms（2）氫原子的振動能量一2一一一一20E=mvmax/2=3.3110J13-19 試證明：（1）在一個周期中，簡諧運動的動能和勢能對時間的平均值都等于 kA2/4；（2）在一個周期中，簡諧運動的動能和勢能對位置的平均值分別等于 kA2/3 和 kA2/6。13-19證（1）簡諧運動的動能和勢能分別為1OOEk=kA2sin2（，t,）22ooEkA2cos2（-t-）p2則在一個周期中，動能與勢能對時間的平均值分別為所

29、以同時此時所以yo=_pmMkgMg_mg.m.、2ghv0=v=Mmy22v02CO二-tg2m2ghkmg2khV0二tg-mgk二tg2khg(m+MLmg/2khy1：cosk：Mmg壽tg，需MkmMEk=1T1kA2sin2（鼠十dt=kA2/4T021T1oo.o.Ep=-kAcos（，t+）dt=kA/4T02(2)因簡諧運動勢能 Ep=kx2/2,則勢能在一個周期中對位置的平均值為A1212kxdx 二一 kA 二 26則動能在一個周期中對位置的平均值為_-1,.2Ek二 E-Ep=E-Ep=-kA13-20 有兩個同方向同頻率的簡諧運動，其合振動的振幅為 0.20m,和振動

30、的相位與第一個振動的相位差為 n/6,第一個振動的振幅為 0.173m。求第二個振動的振幅及兩振動的相位差。13-20解采用旋轉矢量合成圖求解。如圖 13-20 所示，取第一個振動的旋轉矢量AI沿 Ox 軸，即令其初相為零；按題意，合振動的旋轉矢量 A 與AI之間的夾角平=冗/6。根據矢量合成，可得第二個振動的旋轉矢量的大小(即振幅)為A2=JA2+A22AAcos2=0.01m由于AI、A、A 的量值恰好滿足勾股定理，故AI與 A2 垂直，即第二個振動與第一個振動的相位差為Q=-213-21 將頻率為 348Hz 的標準音叉振動和一個待測頻率的音叉振動合成，測得拍頻為 3.0Hz若在待測頻率音叉的一端上加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測頻率的固有頻率。13-21Ep12A況下，待測頻率v2可取兩個彳 t,即v2=v1。式中前正、負號的選取應根據待測音叉系分析這是利用