1、初等數學部分1:考點：若干個具有非負性質的數之和等于零時，則每個非負數必然為零2：三角不等式，即 ababab左邊等號成立的條件：ab0 且 ab右邊等號成立的條件：ab03:增長率 p%原彳1a現值 41p%)下降率 p%原彳1a現值 a(1p%)一一一一.甲乙一一.一汪息：甲比乙大 p%乙p%,甲是乙的 p%甲乙？p%acamc,ac4:合分比TE理：m1bdbmdbd等比定理：-eaceabdfbdfbama1(m0)bnbaa+ma1，(m0)bbnb6X1,111，Xn為n個正數時，他們的算術平均值不小于它們的幾何平均值，即ab7:-2(ab0),ab 同號 ba8：n 個正數的算術

2、平均值與幾何平均值相等時，則這 n 個正數相等，且等于算術平均值9?J 式(a,b,cR00,兩個不相等的實根=b24ac&0,兩個相等的實根00,無實根10:根與系數的關系X1,X2是方程aX2bXc0(a0)的兩個根，則%K2是方程2aX2bXc0(a0)的兩根11：利用韋達定理可以求出關于兩個根的對稱輪換式的數值來:工一X1X2X1X25：增減性：習 b0X1,Xnn當且僅當X14X1：n，Xn(x0,i1,.,n)X2Xn時，等號成立。X1X2b/aX1X2c/a11(X1X2)22X1X2XX2(X1X2)2二項式定理：公式(a+b)nC0anC：an1bLCnn1abn1Cnbn所

3、表示的通項公式：第 k1 項為 Tk1C：ankbk,k0,1,.,n項數：展開總共 n1 項指數：a 的指數：由 n逐漸減10；b 的指數：由 0逐漸加1n;各項 a 與 b 的指數之和為 n12：二項式展開式的特征展開式的最大系數：當 n 為偶數時，則中間項(第n1 項)n系數 C，最大當 n 為奇數時，則中間兩項(第空和工項)22n1系數C/最大。C：r,即與首末等距的兩項系數相等；Cn1WWCnn2n，即展開式各項系數之和為 2n；C2C：|C：C3Cn|2n1,即奇數項系數和等于偶數項系數和微積分部分1:單調性：設有函數 y=f(x),xD,若對于 D 中任意兩點 X1，X2(X1X

4、2),都有 f(X1)f(X2)或 f(X1)f(X2)，則稱函數 f(X)在 D 上單調上升(或單調下降)。若上述不等號為嚴格不等號“”)。則稱函數 f(X)在 D嚴格單調上升(或嚴格單調下降)。2:奇偶性：(1)定義：設函數 y=f(x)的定義域次于原點 O 寸稱，若對于 D 中的任一個 x,都有f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x),則稱函數 f(x)為奇函數(或偶函數)。(2)圖像特點：奇函數圖像關于原點對稱，偶函數圖像關于 y 軸對稱，函數 y=0 既是奇函數，也是偶函數。3:遇到 f(x)g(x),只要符合“1”，按以下方法處理：1.Crn0n02c展開式系數之間的關系

5、C3.C11f(x)1g(x)lim1(f(x)1)f(x)11f(x)1g(x)_1lim(f(x)1)g(x)=lim1(f(x)1)fnexx0 xxlim(f(x)1)g(x)公式：limf(x)g(x)exx0 xx4:常用等價無窮小：當 x0 時，有xae-1Nx；ln(1x)x;(1x)1ax引申：當 a(x)0 時，ln(1a(x)ea(x)1a(x),(1a(x)n1n|a(x)5:f(x)在點 x0連續定義：limf(x)f(x0)xx06:閉區間上連續函數的性質(1 最值定理一個閉區間函數一定在某一點，達到最大值，在某一點達到最小值(2)零值定理設 f(x)C(a,b),

6、且 f(a)|f(b)0,(a.b)(開區間)，使 f()0。注意：零點定理只能說明存在性不能說明唯一性。應用：f(x)0 是一個方程，證明它在某一個區間上一定有根。7：導數的數學定義式limf(x。卜)f(x0)f(x0)(用于抽象函數?定是否可導)y0 xlimf(x)f(x0)f(x0)(用于表達式給定的具體函數，求導數值)xx0 xx08：可導與連續的關系f(X0)存在匚 nf(x)在 xx0連續9：左右導數結論：f(x0)Af(%)f(%)10:導數的幾何意義f(x)上的上點，則函數 f(x)在 x0點處的導數 f,(x0)正好是曲線 yf(x)過 M0點的切線的斜率 k,這就是導數

7、的幾何意義。limf(x)g(X)lim1XX0XX0g(x)(f(x)1)左導數：f(x0)右導數：f(x0)limf(x)f(%)xx0 xx0limxx0f(x)f(%)xx0,limPx0Jimf(x0 x)f(x0)卜f(x0 x)f(x0)設點 M0(x0,f(x0)是曲線 y(1 切線方程 y=f(x0)(xx0)f(x0)， 法線方程為(2)切線平行 x 軸；切線方程:(3)切線平行 y 軸；切線方程:y=f(x0)， 法線方程:xx0,法線方程：1-(xx)f(x)f(%)x0y=f(xo)11：常見f(x):C;Xf(x):0;axa;Vx;-;axa-1126;ex;lo

8、gJx;ln|x|1xx2;aIna;e;x11xllnax12:止g(x)13:高階導數f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)(1 設 f(x)在 U(x0)內可導,又f(x)在點 x0可導，即：，limWx0存在,x稱f(x)在點階可導。f(xf(xO),hm 口x00f(x)xlimXx0f(x)f(x。)xX。(2)如果對f(x)lim1x0 xI,f(x)在點 x 二階可導， 稱 f(x)在區間 I 上可導 f(x卜)f(x)ddy記作：一()ydxax7xd2ydx2(3)常見函數的二階導數f(x):C;Xa;4;l;ax;ex;loga*;lnxf(x):0;axa-112;

9、aIna;e;f(x):0;a(a1)xa2；x134x21;1x|lnax2_x2x;3;a(Ina);e;xx2|lnax14:可導、可微、連續與極限的關系可導一定連續，連續不一定可導連續可導15:奇偶函數，周期函數的導數(1)可導的偶函數的導函數為奇函數，且 f(0)0(2)可導的奇函數的導函數為偶函數(3)可導的周期函數的導函數仍為周期函數16:洛必達法則(0,)0若 limf(x)0(或),limg(x)0(或)，則 limf(x)=limf(x)Ag(x)g(x)1：極值點的定義(局部最大或局部最小(1)定義：設 y=f(x)，若對 x(x0,x0)均有 f(x)f(x0)(f(x

10、)f(x0)則稱 x0為 f(x)的極大值點(極小值點)，f(x0)為極大值(極小值)。(2)?定方法：兩個充分條件第一充分條件：若 f(x)在 x0處連續，在 x0的領域內可導，且當 xx0時，f(x)0,(f(x)0)當 xx0時，f(x)0,(f(x)0)，則稱 x0為極大值點(極小值點)。第二充分條件：設 f(x)在 x0點的某一領域內可導且 f(x)0,f(x)0若 f(x)0 則 x0是極小值點，f(x0)為極小值若 f(x)0 則 x0是極大值點，f(x0)為極大值注意：f(x)0 不能?定用，有可能為極值，也可能不是極值(3)極值存在的必要條件若為 f(x)的極值點，且 f(x

11、0)存在則 f(x0)0注：f(x0)0 不能推出 x0為 f(x)的極值點如：y=x3，在 x0 處必有 y=0即：x0極值點 f(x0)02：駐點(穩定點)(1)定義：滿足 f(x)0 的點，稱為駐點(2)駐點”極值點X3:函數的最值及其求解(1Hf(x)在a、b上連續，則f(x)在a、b上必有最大值、組小值(2)設函數f(x)在a、b上連續，在(a、b)內有一個極值點,則若小是f(x)的極大值點，那么小必為f(x)在a、b上的最大值點；若是f(x)的極小值點，那么小必為f(x)在a、b上的最小值點。(3)求最值的方法(最值是ab整體概念，極值是局部概念)(a)求f(x)在(a、b)內所有

12、駐點和導數不存在的點(b)求出以上各函數值及區間a、b端點的函數值(c)比較上述數值，最大的為最大值，最小的為最小值最大值：Mmaxf(a),f(b),f(%),f(%)最小值：m:minf(a),f(b),f(x1),f(x0)其中：x1x0為 f(x)所有可能的極值點4:駐點、極值點、最值點的聯系與區別加上定義：使f(x)0勺點八、圖像：找存在水平切線的點(1嚴格按照定義?斷。(適用于給定了的函數圖象?別方法：(2)第一充分條件：連續+導數兩側異號皿/士1(3)第二充分條件：駐點f(x)0f(x)0極值點小、必要條件(求參數值)：x0為極值點，且f(%)存在，則f(x0)0極值點為局部概念

13、，在很小的領域內研究，極大(小)值點為局部極大值與極小值無必然的大小關系邊界求最值點的方法目比 1 在開區間(a,b)內可能的極值點唯一，則此點為最值點八、最值為整體概念，即函數圖象在閉區間ab上最高點為最大值最低點為最小值最大(小)值點5：函數的切線與法線切線與發現求法一般地，在 x0處切線方程為 yy0f1(x0)(xx0)在幾處法線方程為 yy0一1(xx0)f(x0)6：拐點及其?定(1)定義：曲線上凸弧與凹弧的分界點稱為拐點。二階導數從大于 0 到小于 0,或從小于 0 到大于 0,中間的過渡點稱為拐點。(2)必要條件：f(x)存在且(x0,f(x。)為拐點，則 f(x0)0拐點.f

14、”(x0)0X(3)充分條件：若 f(x0)0,且在 x0的兩側 f(x)異號，則(x0,f(x0)是拐點7:基本初等函數的不定積分公式(1)不定積分與導數的關系(f(x)dx)f(x);df(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)C;df(x)f(x)C(2)基本初等函數的不定積分公式(1) 0dxC(2) xdxxC(a1)a1121/1xdx-xc,；=dx2Mxc,12Vxx1 八xax(3) dxInxC;(4)adx(xIna11lxal(5)22dteInC;(6)xa2a|xa|(77)dxInxJxaCJx2a21dx-cxC,exdxexCdx111,dxax)(bx)b

15、aaxbxx)(x)(1逆A1：AA1A1AE單位矩陣E:AEEAA(3)數量矩陣kE：A(kE)(kE)A=kA9:奇偶函數的積分a0,f(x)為奇函數af(x)dxa20f(x)dx,f(x)為偶函數10:基本概念及其計算公式(1af(x)dxJim：f(x)dxJimF(x)bblimF(b)F(a)F()F(a)F(x)(2)af(x)dxF(x)aF(a)F()(3) f(x)dxc.f(x)dxcf(x)dxF(x)F(x)F(c)F()F()F(c)F()F(F(x)11:廣義積分?別式(設 a0)廣義積分 a 史 P1時收斂axpp1 時，發散12 充分條件：設 fx(x0,y

16、0)0,fy(x0,y0)令 A&B21。若占2。若公3fxx(x0,y0),BAC,則：fxy(x,y),fxy(x0,y)B2B2B2AC0,AC0,則(x0,y0)不是極值點則(x0,y0)是極值點，且 A0 時極大值點，A0 時為極小值點AC0,則不一定1:矩陣的乘法一般沒有交換律，即線性代數部分ABBA常見可交換矩陣:(4)零陣 0:A0=0A=0(5)曷：AmAnAnAmAm+n(6)伴隨 A:AAAA=AE(重要)2：AB=0A=0,或 B=0,當且僅當 AB 可逆時才成立；對于 AB=0,應該認識到 B 的每一列都是齊次方程組 AX=0 勺解，若 B0,則齊次方程組有非零解；3

17、:AB=BCB=C,當且僅當 AM 逆時，才成立；4:A2AA=E0(2)歸一性：f(x)dx1,即 f(x)與 x 軸所圍面積的為 1應用：求待定參數值注意：前兩個性質用來?斷函數是否為密度函數的標準Pc)期望EX=5:密度函數f(x)為偶函數的重要理論1(1F(0)P(X0)=0f(x)dx-F(a)1F(3) P(Xa)2F(a)1(a0)分析：P(Xa)=P(-aXa)F(a)F(-a)=2F(a)-1(4) P(Xa)=1-P(Xa)=2(1-F(a)(5)若EX#在，則EX=0(3)對于xiX2有P(x1XxP(x1Xx2)=P(x1Xx2)=P(x1Xx2)=X2f(x)dxF(

18、x2)F(x1)4:正態分布XN(,(1)正態分布密度函數x(x)2f(x)一ek2記作：X:N(,2)(2)f(x)圖像特點其中+1a)-p(x)dx22(x)2+edx1,這一條性質非常有用，應好好掌握。b)P(X)1F()26:數學期望有以下重要性質：(1)若四常數,則E(C)=C(2)若X為一個隨機變量，通常數,則E(CX=CE(X)(3)若X為一個隨機變量，口k為常數，則E(kx+C)=kE(x)+C(4)若X,Y是兩個隨機變量，則有E(X+Y=E(X)+E(Y)有性質(2)和性質(4),我們可以得到以下結論：若X，為升為k個隨機變量,KKC1C2Ck為常數，則ECX)CiE(X).i=1i1設Y是隨機變量X的函數：Yg(X)，其中g是連續函數，則關于隨機變量的數學期望，有以下結論(i)若X是離散型隨機變量，它的概率分布為pkP(X=xk),k1,2,L,如果g(xk)pk絕對收斂，則有EY)Eg(X)g(xk)Pk.k1k1(ii)若X是連續型隨機變量，它的概率密度函數(px),如果一g(x)px)dx,絕對收斂則有E(Y)=Eg(X)一g(x)px)dx7:方差及性質(1若C為常數，則D(C)0,即常量的方差等于零。若k為常數，X為一個隨機變量，則D(kX)=k2D(X).(3)若C為常數，X為一個隨機變量