1、第二章 Langevin方程與數值模擬問題：系統的作用量或Hamiltonian量為S平衡態分布為，（這里溫度已吸收到S）。假設系統時處于一初始狀態系統如何演化至平衡態？如果初始狀態不是平衡態，這便是一個馳豫動力學過程。如果初始狀態是平衡態，這是平衡態的動力學漲落問題。第一節 單自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程對固定 這里的 t 通常也是介觀時間。 如果沒有隨機力，平衡態為，即能量取極小值。如果存在隨機力，體系會被推離能量極小，處于某種能量較高的平衡態。例如：布朗運動 花粉在液體中的運動一維解如如，這便是隨機行走。在布朗運動的方程中加入自身的相互

2、作用可以理解為廣義的Langevin方程。設想這一方程是真正的微觀運動方程，對時間做某種介觀的平均，常常加速度的項可以忽略。 由于隨機力的存在，Langevin方程有他的復雜性，因為我們必須考慮對隨機力平均帶來的奇異性。為了簡單起見，我們對時間分立化在數值模擬中應用較直觀，Z =Langevin方程令 方程的解 是隨機變量，在數值模擬中給定初始值還不確定，與隨機力有關。也就是說，在t時刻，x 遵從一個分布。物理量的平均值問題：的含義？答：必須對t之前的所有隨機力做平均。 又 這里做分步積分時，假設另一方面Fokker-Planck方程顯然 思考題：試討論為平衡態的條件第二節 多自由度的Lang

3、evin方程和自由場這里是空間指標時空分立化 關于Kernel 練習：推導F-P方程，證明平衡態為。自由場動量變換關于Kernel的作用 Kernel不改變平衡態，但可以改變動力學演化過程。e.g.如 ，演化極慢，我們可取，則這主意似乎可應用于解決臨界點附近的臨界慢化問題，稱為Fourier加速法。但在有相互作用時，如何選取可以達到“加速”的目的，是重合懸而未決的問題。第三節 Langevin方程的路徑積分表述 生成泛函對的微商，可以得到任何物理量的平均值。恒等式對單自由度如果 只有唯一解這恒等式對任意成立。作積分變換 在積分號內， 是 的任意函數。 但積分后，由于 函數的作用， 取 的解。關

4、鍵：令，則積分后為Langevin方程的解。i.e.由于函數的存在，這里的可以看成和無關。引入輔助場玻色場，費米場第四節 復Langevin方程自然延拓 注意:保持為實數。問題：這樣的Langevin方程是否給出平衡態分布?引入復分布，令注意：這里為實數練 習形式上不難推導 假設當 似乎也有平衡態 作相似變換 注意：在類似于量子力學的框架下，定義內積 則假設為實函數，則為正定算符 設假設 的基態沒簡并>0,>0但是，如果為復函數，失去正定性，可以小于零，情形變得不確定。第五節 動力學臨界現象和臨界慢化設描述的平衡態處于二級相變點（臨界點）附近Langevin方程描寫的動力學行為是一

5、種動力學臨界現象。當然，也存在沒有平衡態的動力學臨界系統，即動力學二級相變系統。更廣義的動力學臨界現象包括自組織臨界現象等。動力學臨界現象的特征行為是發散的關聯時間和動力學標度形式。例如，定義假設足夠大，二、三十年前人們便發現， 為相變溫度:稱之為動力學臨界指數，：任意標度因子動力學標度形式代表一種自相似性，這一自相似性具有普遍意義。例： 把的單位“恰當”地改一下，后果只是把M的單位改一下（相似性）令 除了一個相似因子只與 有關，平衡態的空間關聯長度，所以 所以，應當代表一空間標度。事實上，它是t時刻的空間關聯長度。 空間單位的改變，僅導致M的單位的改變！ 動力學標度形式可用重整化群方法導出,

6、而且可以推廣重有限尺度體系。足夠大，足夠小。但是，重整化群方法的結果只能與實驗或準確結果定性比較。當然，我們可以數值求解Langevin方程，但運算量太大，特別是當時，由引起的誤差難以控制。一般相信，Monte Carlo動力學和Langevin動力學處于同一普適類。 MC模擬可以給出較好的定量結果。但是，MC模擬仍受臨界慢化的困擾。時間關聯函數 ，足夠大 包括隨機力平均和對平均， 稱之為關聯時間* ，當， 標度形式的物理基礎* ，當 ， 臨界慢化 無法獲得獨立的自旋構形，這不僅僅困擾動力學MC模型，而且困擾平衡態MC模型， 這稱之為臨界慢化。設假設當然顯然，指數上的b的因子必須自身抵消掉 思

7、 考 題為什么 傳統的測量的方法兩難境地：要測準，需要大 但當大，臨界慢化。第六節 Ising 模型的Monte Carlo模擬Ising model稱之為哈密頓量，代表能量置于格點上，例如正方格點為外磁場 對隨機狀態有序狀態 極小當體系和大熱源接觸達到“平衡”時，遵從正則分布物理量的平均值 歸一化常數 配分函數對MC模擬，可以給予概率分布的意義。引入恰當隨機過程，產生一系列自旋構形當足夠大時，遵從分布例格點尺度關鍵：構造算法·各態歷經·細致平衡單自旋翻轉法每次只試圖改變一個自旋的值，稱迭代順序掃描法按規則依次迭代點陣上所有自旋Heat-bath algorithm選定，取

8、注意：這一算法的躍遷概率與的值無關！這與Metropolis的方法不同。的能量的能量由于每次只迭代一個自旋，與無關的自旋的能量不必計算。設 各態歷經是顯然的。細致平衡練習：·構造Metropolis算法·構造二自旋迭代的Heat-bath和Metropolis算法在計算機上實現Heat-bath的算法選定計算產生隨機數，均勻分布如果否則01 概率磁化強度及其次矩1當 是二級相變點，亦稱臨界點，臨界點附近的現象稱臨界現象，特征·標度行為為任意標度因子驗證：對有限尺度體系·普適性只與對稱性和空間維數有關。我們的任務：測量在有限體系測量的方法Binder cu

9、mulant當 MC方法*計算機上的實驗*可以逼進準確解普適標度行為·關聯系統的普遍規律過去幾十年留下的重要概念之一·以標度行為基礎，可測量·廣泛應用于自然和社會第七節 短時臨界動力學問題1. 如何解決臨界慢化困難？杰出的工作：Cluster方法 非局域的迭代方法局限性 不能研究定域的動力學 不能任意推廣例如：無序系統 格點規范理論問題2. 當不太大，甚至相當小時，是否存在普適的標度行為？傳統答案不存在近十年的答案存在并且，可以給出問題1的一種答案，原則可以應用于任何體系。關鍵：*區分微觀和宏觀時間標度*認真對待宏觀初始條件初始條件很小對Ising model或理論，磁化的次矩Janssen等人，1989年 展開 > 微觀足夠大特征行為1、足夠小 有趣，幾乎總有 > 磁化的初始增加。2、 回到1、的結果 t0 冪次行為