1、隴東學院數學系常微分方程精品課程教案第三講 奇解與包絡（4課時）目的要求：了解包絡和奇解的定義，掌握包絡和奇解的之間的關系，掌握奇解的求法。重點：包絡和奇解的求法。難點：奇解及其求法。教學方法：講練結合法、啟發式與提問式相結合教學法。教學手段：傳統板書與多媒體課件輔助教學相結合。教學過程： 本節討論常微分方程的奇解以及奇解的求法。2.4.1奇解在本章2.2節的例2中，我們已經看到方程的通解是，還有一解，除解外，其余解都滿足唯一性，只有解所對應的積分曲線上的點的唯一性都被破壞. 這樣的解在許多方程中存在.例1 求方程的所有解.解 該方程的通解是此外還有兩個特解和。由于該方程右端函數的根號前只取+

2、號，故積分曲線如圖2-13所示，圖 2-13顯然解和所對應的積分曲線上每一點，解的唯一性均被破壞。本節主要討論一階隱式方程 (1.8)和一階顯式方程 (1.9)的解唯一性受到破壞的情形，顯然這樣的解只能存在于方程不滿足解的存在唯一性定理條件的區域內。對于方程(1.9)，由定理2.2，這樣的區域可用無界去檢驗，而對于隱式方程(1.8)，一般來說，若能解出幾個顯式方程那么對每一個方程，應用定理2.2即可。其次對于方程(1.8)，如果函數對所有變量連續且有連續偏導數，并且在的鄰域內有成立，那么應用數學分析中的隱函數定理，可解得其中函數是連續的且有連續偏導數，特別有這樣一來，對方程(1.8)初值解的存

3、在唯一性定理的條件也就清楚了。 因此，我們可以就方程(1.8)或(1.9)給出奇解的定義。定義2.3 如果方程存在某一解，在它所對應的積分曲線上每點處，解的唯一性都被破壞，則稱此解為微分方程的奇解。奇解對應的積分曲線稱為奇積分曲線。由上述定義，可見2.2節例2中的解是方程的奇解，而例1中的解和是方程的奇解。2.4.2 不存在奇解的判別法假設方程(1.9)的右端函數在區域上有定義，如果在D上連續且在D上有界(或連續)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，從而在D內一定不存在奇解。如果存在唯一性定理條件不是在整個有定義的區域D內成立，那么奇解只能存在于不滿足解的存在唯一性定理條件的區域上.

4、進一步如果再能表明在這樣的區域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無奇解。例2判斷下列方程(1) (2) 是否存在奇解。解 (1)方程右端函數，均在全平面上連續，故方程(1)在全平面上無奇解。(2) 方程右端函數在區域上有定義且連續，在上有定義且連續，故不滿足解的存在唯一性定理條件的點集只有y = x，即若方程(2)有奇解必定是y = x，然而y = x不是方程的解，從而方程(2)無奇解。2.4.3 包絡線及奇解的求法下面，我們從幾何的角度給出一個由一階方程(1.9)或(1.8)的通積分求它奇解的方法。當任意常數C變化時，通積分給出了一個單參數曲線族(C)，其中C為參數，我們來定義(C)

5、的包絡線。定義2.4 設給定單參數曲線族 (2.10)其中C為參數，對所有變量連續可微.如果存在連續可微曲線L，其上任一點均有(C)中某一曲線與L相切，且在L上不同點，L與(C)中不同曲線相切，那么稱此曲線L為曲線族(C)的包絡線或簡稱包絡。見圖2-14圖 2-14定理2.6 方程(1.9)的積分曲線族(C)的包絡線L是(1.9)的奇積分曲線。證明 只須證明(C)的包絡線L是方程(1.9)的積分曲線即可。設p(x,y)為L上任一點，由包絡線定義，必有(C)中一曲線l過p點，且與L相切，即l與L在p點有公共切線。由于l是積分曲線，它在p點的切線應與方程(1.9)所定義的線素場在該點的方向一致，所

6、以L在p點的切線也就與方程(1.9)在該點的方向一致了。這就表明L在其上任一點的切線與方程(1.9)的線素場的方向一致，從而L是(1.9)的積分曲線。證畢。有了這個定理之后，求方程(1.9)的奇解問題就化為求(1.9)的積分曲線族的包絡線的問題了.下面我們給出曲線族包絡線的求法。定理2.7 若L是曲線族(2.10)的包絡線，則它滿足如下的C-判別式 (2.11)反之，若從(2.11)解得連續可微曲線且滿足：和,（稱為非退化條件），則是曲線族的包絡線.證明 對L上任取一點p(x,y)，由包絡線定義，有(C)中一條曲線l在p點與L相切，設l所對應的參數為C，故L上的點坐標x和y均是C的連續可微函數

7、，設為又因為p(x,y)在l上，故有恒等式 (2.12)L在p點的切線斜率為l在p點的切線斜率為因為l與L在p點相切，故有，即有關系式 (2.13)另一方面，在(2.12)式兩端對C求導得此式與(2.13)比較，無論是在和同時為零，或不同時為零的情況下均有下式 (2.14)成立。即包絡線滿足C-判別式(2.11).反之，在上任取一點q(C)=(C),(C),則有 (2.15)成立.因為不同時為零，所以對(2.10)在q點利用隱函數定理可確定一條連續可微曲線（或），它在q點的斜率為 (2.16)另一方面，在q點的斜率為 (2.17)現在，由(2.15)的第一式對C求導得再利用(2.15)的第二式

8、推出 (2.18)因為和分別不同時為零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲線族(2.10)中有曲線在q點與曲線相切.因此，是曲線族(2.10)的包絡線。例3 求的奇解.解 在本章2.2節已解得方程通解為由C-判別式解得. 由于，所以為原方程的奇解.例4 求方程的奇解。解 由上面的例1，該方程的通解為，由C-判別式 (2.19)的第二式解出代入第一式，得到。因為，故為方程的奇解。例5 求克萊洛方程的奇解，其中是二次可微函數且。解 由第1章1.6節的例2可知該方程的通解為C-判別式為 (2.19)因為,故由(2.19)所確定的曲線必定是克萊洛方程的奇解.即克萊洛方程總有奇解。本節要點：1.奇解的定義。2.不存在奇解的判別方法。（1）全平面上解唯一不存在奇解。（2）不滿足解唯一的區域上沒有方程的解無奇解。3.求奇解的包絡線求法。包絡線滿足C判別式。在非蛻化條件下，從C 判別式解出的曲線包絡線。 作業： 練習2.4 1.